正定二次矩阵(论文)

1、正定（半正定）二次型的判定及其应用摘要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文主要探讨了常见的正定二次型以及正 定二次型的判定。重点讨论了止定二次型与行列式的联系，在函数最值问题中的应用。利用 半正定二次型的性质，证明相关不等式，降低了证明的难度，简单易懂。关键字：二次型正定二次型半正定二次型相关应用目录引言1一、止定二次型11. 1定义112常见正定二次型1二、正定二次型的判定2三、正定二次型的应用43在函数极值问题中的应用43.2正定二次型在线性最小二乘法问题中解中的应用63.3利用半正定二次型的性质证明不等式6参考文献：8弓i言：设p是一个数域，ai e p,几个文字西，兀2,，暫的

2、二次齐次多项式/ 0,£)= d| 1兀；+ 2。2斗兀2 + 2。|3兀1兀3 + + 2ainxlxn+如球 + 2a23x2x3 + + 2a2nx2xn=xs aijxixj （气=%i，ji，2,/=1 j=称为数域p上的一个斤元二次型，简称二次型.当列为实数时，称.f为实二次型.当勺为复数时，称/为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即.f（x,x2,，暫）=d彳 +2兀；+ + /；称f为标准型.-正定二次型1. 1定义：实二次型/（西,吃，心）称为正定二次型，如果対于任意一组不全为零的实数 c。，,c” ,都有 /（c,c2,心）012常见正定二次型1.2.1二

3、次型f （歼,兀2,£）=彳+卅+处是正定的,因为只有在cx =c2 = = cn =0时,£ +£ + + £ 才为零。1.2.2实二次型于（兀”2,，兀“）= £分+2於+ d“分 是正 定的，当且 仅当 £ 0,7 = 1,2,，几1.2.3设实二次型n n f（xvx2-,xn） = xxaijxixjau f（1）是正定的，经过非退化实线性替'换'变成二次型x=cy (2)n ng（）w2,儿）=工工沙小，血=妇j-*1我们指出,关于儿,）勺,，儿的二次型g（yi，2,，儿）也是正定的,或者说,对于任意一 组

4、不全为零的实数灯,他，kn,都有g&,他,，你）0.证明:事实上,令y =kyy2 =k2,-,yn =klt,代入的右端,就得到xyx2,-,xn对应的一 组值,设其为eg,cn ,贝i因为c 口j逆，就有/ 、c|*2= c-1c'2h丿s）所以当%,霭,出是一纽不全为零的实数时，则sc?,也是一纽不全为零的实数.显然gg,伦,&） = f（cj,c2,c“） 0.二、正定二次型的判定定理6：77元实二次型/（歼,兀2,，心）是正定的充分冃必要条件是它的正惯性指数等 于n.证 设二次型/（“,兀2,，心）经过非退化实线性替换变成标准形d 1 yf + 2）彳+心&#

5、163; 上面的讨论表明，/（州內內）正定，当且仅当是正定的，而二次型是正定的，当 且仅当£ 0,/ = l,2,.,n ,即正惯性指数为n.定理5.4. 1说明，正定二次型几西宀,宀）的规范形为）+ ）$+ + £定义 实对称矩阵力称为正定的，若二次型x久x正定.因为二次型（5）的矩阵是单位矩阵人，所以一个实对称矩阵是正定的，当h-仅当它与单 位矩阵合同引入：子式alla2d 13 aika2la22a23a2kp产a3a32a33.a3k （匸,2算a ka k2a k3 akk称为a=（d“） 的顺序主子式. j ' nxn定理7实二次型n n/（“宀，心）=

6、工工切恥丿=xaxi=l j=l是正定的充分h必要条件为矩阵a的顺序主了式全人于零证必要性设二次型n n1=1 j=是正定的.对于每个k,嗨门,令k k几("，尤2，心)二工工旬七勺，/=! ；=1则对丁任意一组不全为零的实数5，c2,"，有k k人(5心,心)=工工a汽勺=/(c“g,o,，0) >0<=1 j=i因此人(“,兀2,，心)是正定的.由推论5.4.1,齐的矩阵的行列式(1 2 ka>0,k = 1,， u 2 . k)故矩阵a的顺序主子式全大于零.充分性 对刀作数学归纳法.当庐1时，/(") =局，由条件5> 0,显然有/(

7、“)是 正定的.假设充分性的论断对于i元二次型已经成立，那么对元情形，令'dll a.n-( 、ana =,a =n-ln-1)n-.n 丿则矩阵分块为j，u2 ann)由/!的顺序主子式全大于零知道a的顺序主子式也全大于零因此，山归纳假定，刍是止 定矩阵，即有"1阶可逆矩阵g使g'ag =殆取°)'g' o'/ 4xa a(g 0、耳g"3 bc叽,0 1,o'g ann 丿3c；ac=1丿再取c2 =10c；c；actc2 =0g匕、(弗-g"-afg1丿/&g仏1 01 j0%-a'g

8、g'a)令 6-6162,沪曰如一 dgg a. 则有cxac =两边取行列式，得ic|2|ai=q. rti于|川o,因此日o.显然1', 1' 11 <勺<亿这就是说，矩阵s与单位矩阵合同.所以/是正定矩阵，故二次型/（“宀,，心正定它的顺序主子式21-2-4、-25 ,52>0,52-45>0,2121-2-4-25/>0,例 1 判别二次型 f（xifx2,x3） =5x2+x +5xj+4x x2-sxix3-4x2x3 是否正定. 解/（兀,兀2，兀3）的矩阵为所以，/（“宀旳）止定.三、正定二次型的应用3.1在函数极值问题中的

9、应用定理设n元实函数/（“，£）在点po的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数/（禹,勺,，捡）在点p（）近旁有性质：1）若xmx正定，则p（）为极小点；2）若xmx负定，则p。为极人点；3）若xx不定，则p。非极人点或极小点；4）其余情形时，/在点p（）性质有待研究余项r的性质來确定。特别当/是二次函数时，r=0, 只要x久x半正（负）定，则po为极小（人）点例2：求函数z = xyln（x2 + y2）的极值z/=xln(x2 + y2)+ xy .jr + yx = ±1” _ 2xy(x2 +)“) 兀xxyy”_2xy2(3/ + y2) u2 + y

10、2)2，兮 (2 + y2)2ftj_"/ o 2、2(x4 + y4)7xx7yx、xy7幼丿-200、l0、-2>正定;负定;a l(±i,o)= a l(o,±i)=不定。=),(-7,-)点，z故在点（±1,0）,点（o,±i）, z不取极值；在（丄，l八'/， ryj2e j2e 、/2w v2e取极小值,%卜=9仪土'一点z取极人值，z极大二土。例3已知实数x, y满足? +求f(x,y) = x2+2y2-2xy的最大值和最小值.解f(x,y)的矩阵为(1 一1)a=1-1 2 丿ae-a= 212-2= 2

11、2-32 + b因此,特征值=1(3 + 75),人=*(3-亦)于是，由定理可知，/(x,y)在/+),2=i下的最大值为1(3 + 75),最小值为丄(3一為.2 23.2正定二次型在线性最小二乘法问题中解中的应用 众所周知，线性方程组可能无解。q內+舛2花+ %兀_b =0 a2x +a22x2 +eee + 25x5= 0色“+%2勺+ %兀化=0即任何一组和兀2兀都可能使得y = t(a,lxl +°必+冷兀-勺)不等于0,我们设法找到 1=1x,°,x2°兀0,使得y最小,这样岸宀°才称为方程组的最小二乘解。这种问题就叫最 小二乘法问题。若记

12、a为上述方程组的系数矩阵，b = (bl9b2,仇几 于是，使得y值最小的x定是 方程组的解，而其系数矩阵a'a是一个正定矩阵，它的惯性指数等于m因此 这个线性方程组总是有解的，这个解就是最小二乘解。3.3利用半正定二次型的性质证明不等式其证明思路是：首先构造二次型，然后利用二次型半正定性的定义或等价 条件，判断该二次型(矩阵)为半正定，从而得到不等式.例3 (caumy不等式)设4，$红= 1,2,，n)为任意实数，则4曲+如兀2+坷$兀$_勺=°a2ix +a22x2+ + a2sxs -b2 =0< 。”曲+%2*2+仏兀$_仇=0 邸,兀2°兀,/t&

13、gt;，= z(%內 + ai2x2 + + 兀x厂 bj t=lb = (b、,b2,byafax = a'b2证明记 7*3,兀2)= £(q兀i+q兀2)=(£q2)#+2(£qo)“2+(£；)球i=li=i=i=因为对于任意xpx2,都有/（xpx2）0,故关于兀,兀2的二次型/（xpx2）是半正定的因而定理1知，该二次型矩阵的行列式人于或等于0,即nn/=! /=1故得（t）2（z2）xo）-/=!/=）i=i例4证明“£心茲2r=li=l证明记皿2,4:-（£兀）5亦，其中r=11=111 -1将矩阵a的第2,

14、3,n列分别加到第一列，再将第2, 3,，n行减去第1行,得° _1 . 一1a 0n 0、00n >于是4的特征值为0,仏/,出定理可知,4为半正定矩阵，即二次型是半正定的，从而得/（西,兀2,心）0,即n£x；述殆2r-1i-l结论得证.例5设ccg是一个三角形的三个内角，证明对任意实数x,y,z,都有x2 + y2 + z2 > 2xy cos a + 2xz cos 0 + 2yz cos / 证明 f(x) = xfa x2 + y2 + z2 - 2xy cos a 一 2xz cos 0 2yz cos /，其屮 x = (x, y, z)： a

15、=-cos a-cos p-coscr -cos 01 -cos/-cos/ 1,a + 0 + y =龙,cos y = cos(a + 0)对人做初等行变换得：人1 -cos a0 sin a0 0-cos 0-sin 00,于是a的特征值为0, 1, sincr,从而得二次型/(x)是半正定的，即对于任意实数/(x)>0,得证. 例6设a为阶半正定矩阵，且ah0,证明|a + e|>1证明设a的全部特征值为&(心1,2,)，则a + e的全部特征值为& + 1 (心1,2,/)因为a + e为实对称矩阵，所以存在正交矩阵7使得石+ 1a+e=t由于a为半正定矩阵，月.ah0,则a + e是半正定的，且其屮至少有一个九>0,同时至少有一个等于零故卜+日=巾仏