建立数学模型

1、第一章部分习题3(5). 决定十字路口黄灯亮的时间长度.4. 在 1.3 节“椅子能在不平的地面上放稳吗” 的假设条件中， 将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解.5. 模仿 1.4 节商人过河问题中的状态转移模型， 作下面这个众所周知的智力游戏： 人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少.6. 利用 1.5 节表 1 和表 3 给出的 1790-2000 年的美国实际人口资料建立下列模型：(1) 分段的指数增长模型 . 将时间分为若干段，分别确定增长率r.(2) 阻

2、滞增长模型 . 换一种方法确定固有增长率r 和最大容量xm .7. 说明 1.5 节中 Logistic 模型（ 9）可以表示为 x txm，其中 t0 是人口增长出现er t t01拐点的时刻，并说明t0 与 r， xm 的关系 .8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为 x(t) ， t 到 t+ t 时间内人口的增量与xm-x(t) 成正比（其中为 xm 最大容量） . 试建立模型并求解 . 作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较 .9(3). 甲乙两站之间有电车相通， 每隔 10 分钟甲乙两站相互发一趟车， 但发车时刻不一定相同。甲乙之间一中间站丙， 某人

3、每天在随机的时刻到达丙站， 并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现 100 天中约有 90 天到达甲站， 约有 10 天到达乙站。 问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。参考答案3(5). 司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离s1 ，设通过十字路口的距离为s2 ，汽车行驶速度为 v ，则黄灯的时间长度t 应使距停车线s1 之内的汽车能通过路口，即ts1s2v其中 s1 可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响.4. 相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为节相同 .f和 g，将椅子旋转 180，其余作法与1.35. 人、猫、鸡

4、、米分别记为i1,2,3,4 ，当 i 在此岸时记xi1，否则记 xi0 ，则此岸的状态可用 sx1 , x2 , x3, x4表示。 记 s 的反状态为 s'1 x1,1x2 ,1 x3 ,1x4，允许状态集合为 S1,1,1,1 ,1,1,1,0 , 1,1,0,1 , 1,0,1,1 , 1,0,1,0及他们的5 个反状态决策为乘船方案，记作du1 ,u2 , u3 , u4 ，当 i 在船上时记 ui1，否则记 ui0，允许决策集合为 D1,1,0,0 , 1,0,1,0 , 1,0,0,1 , 1,0,0,0记第k 次渡河前此岸的状态为sk ，第k 次渡河的决策为dk ，则状

5、态转移律为sk 1sk1 k dk ，设计安全过河方案归结为求决策序列d1 , d 2 ,dnD ,，使状态skS 按状态转移律由初始状态s11,1,1,1经 n 步达到sn 10,0,0,0。一个可行的方案如下：k12345678sk1,1,1,10,1,0,11,1,0,10,1,0,01,1,1,00,0,1,01,0,1,00,0,0,0d k1,0,1,01,0,0,01,0,0,11,0,1,01,1,0,01,0,0,01,0,1,06(1).分段的指数增长模型根据 1.5 节表 3 中的增长率将时间分为三段：1790 年至 1880 年平均年增长率2.83%；1890 年至 1

6、960 年平均年增长率1.53%；1970 年至 2000 年平均年增长率1.12% .三段模型为（1790 年为 t=0 ，1880 年为 t=1 ， ? ）x1(t)=3.9e 0.283t ， t=0,1, ?,10x2(t)= x1(10) e0.153(t-10)， t=11,12,?,18x3(t)= x2(18) e0112(t-18)， t=19,20,?,226(2).阻滞增长模型可以用实际增长率数据中前5 个的平均值作为固有增长率r，取某些专家的估计400百万为最大容量xm，以 1790年的实际人口为 x0，模型为1.5 节的 (9)式。以上两个模型的计算结果见下表：年17

7、901800181018201830184018501860实际人口3.95.37.29.612.917.123.231.4模型（ 1）3.95.26.99.112.116.121.328.3模型（ 2）3.95.27.09.412.616.722.229.3（续表）年18701880189019001910192019301940实际人口38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7模型（ 1） 37.549.866.177.089.7104.6121.9142.0模型（ 2） 38.449.964.181.2101.3124.1149.0174.9（续表）年195019601970198019902000实际人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4模型（ 1）165.5192.9224.7251.4281.2314.5模型（ 2） 200.9225.8248.6268.7285.9300.17.注意到 t=t0 时 xxm , 立即可得2xmx( t)1( xm1)e rtx0，且 t01xmx0， x txmlnx01 er t t 0.r8.dxr xmx ,dtx 0x0 ,其中 r 为比例系数。解上述初值问题得:x txxx0ertmm，