数学归纳法证明PPT

1、2.3数学归纳法数学归纳法(1)问题问题 1: :如何证明粉笔盒中的粉笔如何证明粉笔盒中的粉笔 它们都是白色的？它们都是白色的？ 问题问题 2: : 11,11,2,.1nnnnaaaana 对对于于数数列列已已知知，猜猜想想其其通通项项公公式式111a 212a 1nan 313a 有限步骤有限步骤考察对象考察对象无限无限3多多米米诺诺骨骨牌牌课课件件演演示示 45多米诺骨牌游戏的原理多米诺骨牌游戏的原理 这个猜想的证明方法这个猜想的证明方法1nan（1）第一块骨牌倒下。）第一块骨牌倒下。（2）若第）若第k块倒下时，块倒下时，则相邻的第则相邻的第k+1块也倒下。块也倒下。根据（根据（1）和）

2、和 （2），），可知不论有多少块骨牌，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。都能全部倒下。（1）当）当n=1时猜想成立。时猜想成立。（2）若当）若当n=k时猜想成立，时猜想成立，即即 ，则当，则当n=k+1时猜想时猜想也成立，即也成立，即 。1kak111kak根据（根据（1）和（）和（2），可），可知对任意的正整数知对任意的正整数n，猜，猜想想 都成立。都成立。nn1n+1naa,a =1,a=(n),1+a*N已知数列已知数列1(1)当n=1时a =1成立111111kkakakkk+1则n=k+1时,a即n=k+1时猜想也成立根据根据(1)(2)可知对任意正整数可知对任意正整数n猜想都成立

3、猜想都成立.*Nnn1n+1nna对于数列 a,已知a =1,a=(n),1+a1猜想其通项公式为a =,怎样证明?n证明证明：(2)假设n=k时猜想成立即1ka k7例例:证明凸证明凸n边形内角和为边形内角和为 中，中， 初始值应该从几取？初始值应该从几取？初始值应取初始值应取3(2) 180n8例如：用数学归纳法证明 1+3+5+ +（2n-1)= ()n N 21n 证明：假设证明：假设n=k时等式成立，即时等式成立，即21 3 5(23) (21)1kkk 那么那么1 3 5(21) (21)kk 221 (21)(1)1kkk 即即n=k+1时等式成立。所以等式对时等式成立。所以等式

4、对一切正整数一切正整数n均成立。均成立。9例如：用数学归纳法证明 1+3+5+ +（2n-1)= ()n N 21n 证明证明：假设：假设n=k时等式成立，即时等式成立，即21 3 5(23) (21)1kkk 那么那么1 3 5(21) (21)kk 221 (21)(1)1kkk 即即n=k+1时等式成立。所以等式对时等式成立。所以等式对一切正整数一切正整数n均成立。均成立。证明：证明：假设假设n=k时等式成立，即时等式成立，即n=1时，左边时，左边=1，右边，右边=0，左边，左边 =右边右边1021 3 5(23) (21)kkk 当当n=k+1n=k+1时时, 代入得代入得证明证明:(

5、1) 当当1n 左边左边 = 1，右边，右边 = 12= 1 ，等式成立，等式成立（2）假设当）假设当n=kn=k时成立，即：时成立，即：21 3 5(21) (21) (1) ,kkk 所以等式也成立。所以等式也成立。综合（综合（1）（）（2）等式对一切正整数）等式对一切正整数n均成立均成立v例如：用数学归纳法证明v 1+3+5+ +（2n-1)= 2n1121 3 5(23) (21)kkk 当当n=k+1n=k+1时时, 代入得代入得证明证明:(1) 当当1n 左边左边 = 1，右边，右边 = 12= 1 ，等式成立，等式成立（2）假设当）假设当n=kn=k时成立，即：时成立，即：21

6、3 5(21) (21) (1) ,kkk 所以等式也成立。所以等式也成立。综合（综合（1）（）（2）等式对一切正整数）等式对一切正整数n均成立均成立v例如：用数学归纳法证明v 1+3+5+ +（2n-1)= 2*()n nN 1+3+5+1+3+5+（2k-1)+(2k+1)2k-1)+(2k+1)=k=k2 2+(2k+1)+(2k+1)=(k+1)=(k+1)2 212问题情境一问题情境一练习：某个命题当练习：某个命题当n=k (kN )N )时成立，时成立，可证得当可证得当n=k+1时也成立。现在已知当时也成立。现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（时该命题不成立，那么可推得（

7、） A. n=6时该命题不成立时该命题不成立 B. n=6时该命题成立时该命题成立 C. n=4时该命题不成立时该命题不成立 D. n=4时该命题成立时该命题成立C13练习巩固练习巩固 221nn* *- -+ + + += =a a1 1, , n n N N 1 11 1- -a a1 1+ +a aa a a aa a.1.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明： 在验证在验证 n=1n=1成立时，左边计算所得的成立时，左边计算所得的结果是（结果是（ ） A A1 1 B. B. C C D.D. 1 1+ +a a2 21 1+ +a a+ +a a2 23 31 1+ +a a+ +a

8、a + +a aC例例1.用数学归纳法证明用数学归纳法证明22221)211236n nnnn N （）（）1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) 1(1)(2)3n nn15练习练习.用数学归纳法证明用数学归纳法证明：1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) 1(1)(2)3n nn 从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化凑假设凑假设凑结论凑结论证明证明:2)假设假设n=k时命题成立时命题成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk则当则当n=k+1时，时， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31

9、kkk+)2)(1( kk= =)2)(1( kk)131( k n=k+1时命题正确。时命题正确。 由由(1)和和(2)知，当知，当 ，命题正确，命题正确。Nn = 2111)1(31 kkk1)当当n=1时，左边时，左边=12=2,右边右边= =2. 命题成立命题成立1 11 12 23 33 316)() 1(131.2111)(. 2kfkfnnnnf则已知11431331231KKKK答案：17课堂小结课堂小结1、数学归纳法能够解决哪一类问题？、数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2、数学归纳法证明命题的步

10、骤是什么？、数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可两个步骤和一个结论，缺一不可3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？、数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确4、数学归纳法体现的核心思想是什么？、数学归纳法体现的核心思想是什么？递推思想，运用运用“有限有限”的手段，来解决的手段，来解决“无限无限”的问题的问题注意类比思想的运用18用数学归纳法证明：如果用数学归纳法证明：如果aan n 是一个等差数列，是一个等差数列，则则a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d对于一切对于一切n

11、NnN* *都成立。都成立。 证明证明:(1):(1)当当n=1n=1时时, ,左边左边=a=a1 1, ,右边右边=a=a1 1 + +（1-11-1）d=ad=a1 1, , 当当n=1n=1时，结论成立时，结论成立(2)(2)假设当假设当n=kn=k时结论成立时结论成立, ,即即a ak k=a=a1 1+(k-1)d +(k-1)d 当当n=k+1n=k+1时，结论也成立时，结论也成立. .由由(1)(1)和和(2)(2)知知, ,等式对于任何等式对于任何nNnN* *都成立。都成立。凑假凑假设设1kkaad则1(1)akdd1akd凑结论凑结论1(1)1akd19证证:(1)当当n=

12、2时时, 左边左边= 不等式成立不等式成立.111 11413,2 1 2 23 42424 (2)假设当假设当n=k(k2)时不等式成立时不等式成立,即有即有: 11113,12224kkk 则当则当n=k+1时时,我们有我们有:11111(1)1(1)222122111111()12221221kkkkkkkkkkk 131113113().24212224(21)(22)24kkkk 即当即当n=k+1时时,不等式也成立不等式也成立.由由(1)、(2)原不等式对一切原不等式对一切 都成立都成立. *,2nN n 例例2.用数学归纳法证明用数学归纳法证明:*11113(2,).12224nnNnnn 20(4)在证明在证明n=k+1命题成立用到命题成立用到n=k命题成立命题成立时时,要分析命题的结构特点要分析命题的结构特点,分析分析“n=k+1时时”命题是什么，并找出与命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式时命题形式的差别的差别.弄清右端应增加的项弄清右端应增加的项.例如：利用