双曲线的几何性质教学设计

1、2.3.2 双曲线的几何性质教学设计课题学科数学教学基本信息2.3.2 双曲线的几何性质学段： 第三学期                  年级  高二相关领域教材是否已实施理科选修课程系列 2 内容，希望学生在完成必修课程的基础上，进一步学习相关的知识。书名： 普通高中课程标准实验教科书 数学选修 21 （

2、B 版）出版社：人民教育出版社  出版日期：2007 年 4 月已经实施指导思想与理论依据一方面，学生对知识的获得，应是在自己已有知识中找到生长点，通过一定的思维活动，促使其生长发展为新的知识，因此，教学活动的设计要为学生头脑中的知识生长发展创设合适的土壤与环境.另一方面，学习的目的不仅仅是获取知识，更为重要的是要形成良好的知识结构，使得学生能够以此为基础，自如调用所学知识解决问题、获取新知，这就需要让学生理解知识的发现、展开、证明的线索，从而使学生把知识和知识形成过程中所蕴含的发现、推理及思维方法一起纳入到自己的知识结构中。但有些学

3、生的学习行为是与之相背的，他们重结果轻过程，更关注知识、技巧的机械记忆，从而造成了知而不能用的现象，因此教学活动的设计，应有助于学生改变原有的不当学习方式和习惯，激发学生学习的主动性，使学生的学习活动成为教师引导下的“再创造”过程，养成深入思考，积极探索，寻根溯源的习惯.此外，学生学习活动的设计，应有助于学生认识理解所学章节所蕴涵的一般思维方法，增强对数学各部分知识的联系的认识和理解，把握知识发生发展的脉络特点，体会、认识知识的形成过程，领悟问题解决过程中的思维策略与方法.教学背景分析教学内容分析：解析几何的一般研究方法是，建系求曲线方程，以曲线方程为研究对象，通过曲线方程的代数特性来研究曲线

4、的几何特性，这一研究方法在必修 2 中难以得到完全体现，一则，学生刚刚接触解析几何，需要一个认知的过程，此外，教学内容上，直线与圆都是学生非常熟悉的曲线，学生已经熟知它的性质，所以必修2 更强调确定直线与圆的几何要素，根据几何要素，用代数方法刻画直线与圆，推导出直线与圆的方程。对于直线与直线、直线与圆，圆与圆的位置关系的研究，也是更侧重于图形，依据图形把直线倾斜角、夹角、点线距（圆心与直线距离）、圆心距用代数表示出来，从而实现用它们的数量关系来确定判断、研究直线与直线、直线与圆及圆与圆的位置关系。在选修 21 第二章中研究的对象是学生不太熟悉的

5、圆锥曲线，不论从学生对解析几何研究方法的认识理解方面，还是内容方面，都使得在这一章的学习中，能够更深入的认识、理解、运用解析几何的一般研究方法。因此，在椭圆的教学中，力求突出解析研究的一般方法：即由椭圆定义，把椭圆上点的几何约束条件代数化，获得椭圆方程。然后，再以椭圆方程为研究对象，让学生研究方程的代数特性，从中预判椭圆在坐标系中分布区域及对称性，给出相关概念，获得椭圆几何性质。然后再以椭圆方程为研究对象，结合前面所得性质研究其与直线的位置关系。学生在这一学习过程中，已经对研究的程序及方法有了初步的认识。这为学生学习双曲线的几何性质打下了很好的认知基础，这使得放手让学生类比椭圆的研究过程及方法

6、，进行自主探究双曲线的几何性质成为可能。下图展现了“椭圆性质”这节课的展开方式。学生情况分析：我校是一所北京市首批示范校，授课班级又是理科实验班，因此学生的数学基础很好，思维也比较活跃，具有一定的研究、学习能力，学生类比椭圆几何性质的研究方法，自主研究获得双曲线的范围和对称性，没有太大的困难，但是对双曲线的渐近线的发现与认识仍会存在一定的困难。这些学生有较好的数学基础，学习也比较刻苦、认真，但是部分学生在学习中仍过于关注结论，而忽视结论获得的过程，重视吸收教师所讲的知识，而缺乏主动质疑并发展教师所讲内容，发现、提出问题的能力比较弱，在数学思维的深度和广度方面还有一定欠缺。教学方式与手段：根据教

7、学内容的特点和学生的实际，本节课的设计高度关注学生深层次的思维活动，注重课堂学习的实际效率，在学生能力所及的内容上，由学生自主探究完成，在学生难以独立完成的内容上，采取教师引导下的探究和合作交流，并引导学生对探究过程的一些环节提出疑问，生成课下进一步研究探索的小课题，使探究活动延续到更为广阔的课下舞台。技术准备：硬件：电脑、实物投影仪；软件：ppt、几何画板教学目标(内容框架)教学目标1了解双曲线的范围、对称轴、顶点、实轴、虚轴、渐近线等概念，知道它们刻画了双曲线的哪些几何性质。2教师通过一系列问题（含复习与预习问题）的导引及问题情景的创设，引发学生类比椭圆几何性质的研究方法，自主研究并获得双

8、曲线的几何性质。在经历探究双曲线的几何性质的过程中，体会由数论形的一般方法：曲线方程分析获得代数特性对应为曲线几何性质，促进学生对“数”与“形”的联系的运用与认识。3通过教师引导学生进行的探究活动和必要讲解，消除知识出现的生硬感，使其出现得合情合理，促使学生对研究方法与过程的关注和理解，避免学生对结论的机械记忆，鼓励学生在学习中敢于质疑，深入思考，积极探索的习惯。让学生体验数学发现和知识发生发展的过程，在思维的层层推进中享受不断获取新发现的快乐，发展学生的创新意识和能力，树立正确的数学学习观。4通过教师的讲解、分析，引领学生对无限有所认识，并尝试用无限的思想从方程角度解释双曲线存在渐近性的原因

9、。教学重点：1双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线。2进一步理解、运用、感悟从代数角度研究几何的思想和方法。教学难点：虚轴的感性接受，渐近线的发现与认识（特别是从有限到无限，用极限思想分析方程，获得对“渐近性”的解释）。教学流程示意(可选项)教学指导策略：少记忆多领悟，促参与深思维，引探究亲体验，激疑问促创新教学过程教师的教学活动控制学生的学习活动设计意图与说明课前准备：发复习与探究作业依据复习与探究布置复习1 复习椭圆的范围、对称性是从椭圆方程作业，进行复习和 任务，是的哪些代数特性获得的？ 椭圆的顶点、长轴、短轴、中心是如何定义的？2

10、60;类比椭圆几何性质的研究，从双曲线方程，你可以独立发现哪些几何性质？（特别建议：不要参看课本该节内容，但可以参看2.2.2 内容）课堂研究活动：师：和椭圆的研究过程类似，在我们由双曲线定义获得了双曲线方程后，就可以由方程来研究双曲线的几何性质了，今天我们就通过双曲线的方程来研究它的几何性质。一学生课前研究成果的交流与评析问：在课前探究作业中，让大家尝试着类比椭圆性质的研究过程，自主研究双曲线的几何性质。你发现了双曲线方程的哪些代数特征？它们表明了双曲线的哪些几何性质？二类比椭圆给出双曲线几何性质的相关概念问：回忆在椭圆几何性质的描述中，课本上给出了哪些相关概念？它们是如何定义的？

11、类比这样的定义方式，你认为需要对双曲线的哪些性质给出相关概念？问：这种从方程研究分析获得曲线几何性质的方法的理论依据是什么呢？三通过问题，引导学生进行更深层次的研究活动，发现渐近线探究学生交流自己课前的研究成果在教师问题引导下，类比椭圆，获得双曲线几何性质相关概念的认识在教师引导下，对学生的研究工作进行反思，提升这种研究方法（由代数特性获得几何特性）的理论依据的理解为了学生对本课内容的学习有较好的认 知 基础；探究任务是为了节省部分时间，以解决本节难点：渐近线让学生经历双曲线几何性质的研究发现过程明确本节课任务明确研究方法，类比椭圆几何性质的研究方法研究双曲线几何性质有利于

12、学生在椭圆性质的掌握 基 础上，理解认识双曲线的几何性质问：刚才，同学们由方程得，分析出除此之外还可以得到其它的不等关系吗？在教师问题引导下，反思自己获得， 双曲线几何性质的过程，引发更深使渐近线的出现自该不等式说明了双曲线的什么性质？学生答：双曲线的所在区域问：表示哪个区域呢？请同学们自己来研究一下（几分钟后，叫一位做得较好的学生说明自己研究的结果）层次的思维活动， 然一些。发现：突出双曲线几何性，并 质与方程问：区域边界线与双曲线有何关系?几何画板演示问：它们有怎样的位置关系？（观察发现边界线与双曲线永不相交且无限接近）思考研究该不等式的几

13、何含义：直线         所夹的含焦点的对顶角区域，双曲线分布在该区域内学生思考两曲线的联系学生观察它们的图形及其位置关系，发现边界线代数特点的联系。给学生足够时间思考探究在引发质疑，勇于探索过程中，感受思维的力四从双曲线方程与渐近线方程的代数角度，对这种渐近性寻求解释并证明讲：通过前面解析几何知识的学习，我们知道，曲线是量 与 神，即 奇，体验发现的快用方程来描述的，方程的代数特性决定了曲线的几何性质，方程间的代数关系决定了相应曲线间的几何位置关系，因此，边界线与双曲线

14、的渐近性必能反映在两曲线的方程上！问：下面，请同学们重新审视这两个方程，分析它们的联系，看看这种渐近性是如何得以体现的？你能给出一个让大家信服的解释吗？引问：根据其对称性，我们只需研究引问：在第一象限，由可得在时，它们与双曲线无限接近，但永不相交！在教师的系列引乐。促进学生对渐近线的感性认由显然不能得到，但是可以得到问下，发现边界线 同和铺垫出理性论证的途径为双曲线和方法，理解双曲线与两直线引问：考虑当时，     的变化规律是怎样的？        &#

15、160;   渐近线的代数本质的渐近性引导学生认识到时，引问：可否给出严格的论证呢？五理解渐近线对刻画双曲线图形形状的重要意义问：在双曲线的性质中，渐近线是一个在椭圆性质中找不到类比对象的特有性质，你认为它对刻画双曲线形状有哪些意义？（PPT 演示借助渐近线绘制双曲线）六在前面感性认同和理性论证基础上扩大研究成果问题：请同学们对比刚才的研究过程，分析指出焦点在轴的双曲线的几何性质吗？指出虚轴思考渐近线的价   概念值与意义，并根据  消除对虚渐近线画双曲线   轴引入的生硬感

16、，理解引入的虚轴的学生自己研究焦一个意义点在 y 轴上的双4问：曲线方程中的取值分别为 1， ，100， 曲线的范围、对称澄清错误-1，-9，-64，方程表示什么曲线呢？如果是双曲线，它 性、渐近线方程等认识，运们的渐近线分别是什么？性质用上述对问：你由此可以发现什么结论？渐近线的问：能给出与前面类似的证明吗？认识和理解，获得焦点在 y轴上的双在教师问题的启曲线的渐发引导下，学生思近线，强维再往前迈一大化对上述步！发现有公共渐研究方法近线的双曲线系。 的理解和运用，加深对上述渐近线的解释的认识课堂回顾与反思：1知识

17、要点2研究方法回顾引发出新的疑问与思考：1 双曲线平方差为 1，得到了二元一次不等式组刻画双曲线存在区域，椭圆平方和为 1 也很具特点，是否也能得到二元一次不等式组，来刻画椭圆存在的区域呢？2 由，随，联想，若是的立方差为 1，四次方差为 1 的曲线，是否也同样存在渐近线？3有同学认为在第一象限：与，由“，也可以感知两曲线无限渐近”，这具有一般性吗？只要有类似结构就有此结论 吗？比如 ：与；与反思、抽象、概括出本课学习活动过程中，在思想方法上，及认识上的收获鼓励学生课下合作讨论部分同学可形成数学

18、研究小论文引发学生更深层次的思维，并再次运用无限思想理解认识新的问题促使学生重视渐近线的发现过程明确知识重点，提升对思想方法的认识，增强研究方法的可迁移性课堂的结束，应是部分问题的解决，同时又是新问题的开端。该环节设计的目的：一方面，可促使学生发现并提出新的问题，鼓励学生用于质疑。另 一 方面，给部分学有余力的同学提出一个高思除了上述新的疑问，你还能提出其他一些问题吗？并尝试对上述疑问及自己提出的问题进行研究。课后笔头作业：课本第 56 页必做：练习 A 的 1，2，3选做：练习 B 的第 1&

19、#160;题板书设计2.3.2 双曲线的几何性质课后认真阅读教材，自学离心率和课本例 1 和例 2然后完成作业维强度的作业，给予他们更大的施展才华的空间，促使他们灵活运用所学知识和方法解决挑战 性 问题，提高数学思维水平。巩固所学尝试应用设点与    交于1.范围：2.对称性：中心3.顶点：实轴长；虚轴长第一象限：第一象限：时时，4.渐近线：即和机 动 用评价方式学生学习效果评价设计评价内容评价项目评价等级AB     C师评自评学生复习及自学能力学生参与学习的积