平面向量的正交分解及坐标表示PPT

1、2.3 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 2.3.1 平面向量基本定理平面向量基本定理2.3.2 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示1（1 1）小明从）小明从A A到到B B，再从，再从B B到到C C，则他两次的位移之和是：，则他两次的位移之和是：ABCD三角形法则三角形法则平行四边形法则平行四边形法则首尾相接，由首至尾首尾相接，由首至尾共起点共起点 连对角连对角2复习复习: :共线向量基本定理：共线向量基本定理： 向量向量 与向量与向量 共线共线当且仅当有唯一一个实数当且仅当有唯一一个实数 使得使得3思考思考 给定

2、给定平面内任意两个向量平面内任意两个向量e1 1，e2 2，如何求作向量如何求作向量3 3e1 12 2e2 2和和e1 12 2e2 2？ e1 1e2 22 2e2 2B BC C3 3e1 1O OA Ae1 1D D3 3e1 12 2e2 2e1 1-2-2e2 24aOABCMNa给定平面内两个不共线的向量给定平面内两个不共线的向量e1, , e2, ,可表示该平面内任一向量可表示该平面内任一向量a吗？吗？5 根据上述分析，平面内任一向量根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1 1，e2 2表示出来，从而可形成一个定理表

3、示出来，从而可形成一个定理. .你能完整地描述这个定理的内容吗？你能完整地描述这个定理的内容吗？若若e1 1、e2 2是同一平面内的两个不共线向量，是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量则对于这一平面内的任意向量a，有且只有，有且只有一对实数一对实数1 1，2 2，使，使a1e12e2.6 上述定理称为上述定理称为平面向量基本定理平面向量基本定理，不共线向量不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所叫做表示这一平面内所有向量的一组有向量的一组基底基底. . 那么同一平面内可那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量应向量a的表示式

4、是否相同？的表示式是否相同？若若e1 1、e2 2是同一平面内的两个不共线向量，是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量则对于这一平面内的任意向量a，有且只有，有且只有一对实数一对实数1 1，2 2，使，使a1e12e2.700，180180 思考思考 不共线的向量有不同的方向，对不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量于两个非零向量a和和b，作，作 a， b，如图如图. .为了反映这两个向量的位置关系，为了反映这两个向量的位置关系，称称AOBAOB为向量为向量a与与b的的夹角夹角. .你认为向量你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？的夹角的取值范围应如何约定为宜？OA

5、OB baabA AB BO O8 如果向量如果向量a与与b的夹角是的夹角是9090，则称，则称向量向量a与与b垂直垂直，记作，记作ab. . 互相垂直的互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？组基底？ba9 把一个向量分解为两个互相垂直的把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量向量，叫做把向量正交分解正交分解. .如图，向量如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量是两个互相垂直的单位向量，向量a与与i的夹角是的夹角是3030，且，且| |a|=4|=4，以向量，以向量i、j为基底，向量为基底，向量a如何表示？如何表示？B BaiO O

6、jA AP P2 32aij10 在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个轴方向相同的两个单位单位向量向量i、j作为基底，作为基底，对于平面内的一个向量对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数理知，有且只有一对实数x x、y y，使得，使得 ax xiy yj. .我们把我们把有序数对（有序数对（x x，y y）叫做向量）叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a(x(x，y).y).其中其中x x叫做叫做a在在x x轴上轴上的坐标，的坐标，y y叫做叫做a在在y y轴轴上的坐标，上式叫做向量上的坐标，上式叫

7、做向量的的坐标表示坐标表示. .那么那么x x、y y的的几何意义如何？几何意义如何？aix xy yO Ojx xy y11思考思考 相等向量的坐标必然相等，作向相等向量的坐标必然相等，作向量量 a，则，则 (x(x，y)y)，此时点，此时点A A是坐是坐标是什么？标是什么？OA OA A Aaix xy yO OjA(x,y)A(x,y)12理论迁移理论迁移 例例1 1 如图，已知向量如图，已知向量e1 1、e2 2，求作向，求作向量量2.52.5e1 13 3e2 2. .e1e2C CO OA A2.52.5e1 1B B3 3e2 213例例2 2 如图，写出向量如图，写出向量a，b

8、，c，d的坐标的坐标. .2452abcd4 252xyOa=(2,3)=(2,3)b=(-2,3)=(-2,3)c=(-2,-3)=(-2,-3)d=(2,-3)=(2,-3)14AB 例例3 3 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，中， =a， =b，E E、M M分别是分别是ADAD、DCDC的中的中点，点点，点F F在在BCBC上，且上，且BC=3BFBC=3BF，以，以a，b为为基底分别表示向量基底分别表示向量 和和 . .2ABAC3 ADAM EFA AB BE ED DC CF FM M12AMab 16EFab 15小结作业小结作业 1. 1.平面向量基本

9、定理是建立在向量加平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点一个承前起后的重要知识点. .2.2.向量的夹角是反映两个向量相对位置向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是关系的一个几何量，平行向量的夹角是0 0或或180180，垂直向量的夹角是，垂直向量的夹角是9090. .16 3. 3.向量的坐标表示是一种向量与坐向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意标的对应关系，它使得向量具有代数意义义. .将向量的起点平移到坐标原