利用垂线段最短解决最值问题

1、利用垂线段最短解决最值问题模型一垂线段最短如图，已知直线l外一定点A和直线l上一动点B,求A、B之间距离的最小值.通常过点A作直线l的垂线AB ,利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所 有线段中，垂线段最短.4【典型例题】1 .如图，在 RtAABC中，/C = 90° ,AD 是/BAC的平分线，点 E是 AB上任意一点.若AD=5, AC = 4,则DE的最小值为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6答案：A .当DELAB时，DE最小，此时 DE = CD ,在Rt必CD中，根据勾股定理易得 CD = 3 .2 .如图，在 MBC中，AB=AC=5, BC

2、边上高 AD=4,若点P在边 AC上（不含端点）移动,则BP长的最小值为4答案：24/5 .如图，延长 CA,过点B作BP'XCA于点P',此时BP'的长最小在等腰AABC中根据 “三线合一”的性质可知BD = CD = 3 ,S必BC = 1/2 X BP' X AC = 1/2 X AD X BC ,可得 BP'= 24/5 .（等积求距）3 .如图，点A坐标为（2, 0）,点B在直线y=x 4上运动，当线段 AB最短时，点B坐标为答案：（1,-3）.如图，当AB'，直线y=x4时，此时线段 AB最短设直线AB'的解析式为y = kx

3、 + b (k*0),AB' ±BB' , KBB'= 1 , ( KBB'为直线 y = x-4 的斜率) . KAB' X KBB' = - 1 ,(两条直线垂直斜率乘积为-1 ) . KAB' = - 1, 即 k = -1 , 直线AB'的解析式为y = -x + b , 点 A (-2,0 )在直线 AB'上，0 = 2 + b ,解得 b = -2 , 直线AB'的解析式为y = -x - 2 .联立直线y = x - 4 ,解方程可得B' （1 , -3）模型二胡不归问题PA + k

4、 PB ( 0 < k < 1 )”型最值问题“胡不归”问题即点P在直线l上运动时的问题：如图，已知 sin/MBN =k，点P为 /MBN 其中一边BM上的一个动点,点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当确定？解题思路：本题的关键在于如何确定 “ k PB ”的大小.“ PA + kPB ”的值最小时，点 P的位置如何过点 P 作 PQXBN 于点 Q,则 k PB= PB sin ZMBN =PQ,可将求 “ PA+kPB ”的最小值转化为求“ PA+PQ ”的最小值（如图 ）, 当A、Q、P三点共线时，PA+PQ 的值最小（如图），此时 AQ XBN .【典型例题】1 .

5、如图，四边形 ABCD 是菱形，AB = 6,且 /ABC = 60 ° ,M为对角线BD （不与点B重合）上任意一点，则 AM +1/2 BM 的最小值为HC答案：3".如图，过 A点作 AEXBC于点E,交 AB于点 M',则 AM +1/2 BM 的最小值为 AE .» E C在 RtAAEB 中，AB = 6 , /ABC = 60 ° ,AE = AB ? sin ZABC = 6 X v3 / 2 = 3 v3 .拓展应用：对于求“ mPA + kPB” 的最值，若 m > k > 1 ,可转化为 “m ( PA + k/m PB ) ” 的最值此时 0V k/m < 1.(1)本题若要求“ 2AM +BM ”的最小值，你会吗？请求解.答案：6V3 .(2)本题若要求 “AM +BM+CM”的最小值，你会吗？请求解.答案：6V3 .AM+BM+CM最小时，此时点 M为XBC的“费马点”，所以 AM+BM+CM = BD = 2 X 瓷 / 2 X 6 = 6V3 .v3 ）、2 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y = ax2 + bx +c的图象经过点 A(1, 0)、B(0,C(2 , 0),其对称轴与 x轴交于点D .若P为y轴上的一个动点，连接 PD,则1/2 PB +PD的最小值为答