华农概率论习题二解答

1、习 题 二 解 答1五张卡片上分别写有号码1，2，3，4，5。随即抽取其中三张，设随机变量x表示取出三张卡片上的最大号码。（1）写出 x 的所有可能取值；（2）求 x的分布率。解： （1）显然是： 3，4，5。（2）x的分布律2下面表中列出的是否时。某个随机变量的分布律（1）（2）答： （1）是（2）不是3一批产品共有 n 件，其中 m 件次品。从中任意抽取n(n=m)件产品，求这 n 件产品中次品数 x 的分布律。 （此分布律为超几何分布）解：抽取 n 件产品的抽法有nnc种，抽取到次品的抽法有knmnkcmc种，所以所求概率为：x 3 4 5 p 0.1 0.3 0.6 x 1 3 5 p

2、 0.5 0.3 0.2 x 1 2 3 p 0.7 0.1 0.1 pkx=nnknmnkmccc,k=0,1,2,3.n 4.设随机变量 x 的分布律为 px=k=15k,k=1,2,3,4,5. 求： （1）px=1 或 x=2； （2）p2521x; (3)p21x. 解： （1）px=1 或 x=2px=1 px=215215151。（2）p2521xp21xpx=1 px=215215151。（3）p21xpx=1 px=215215151。5一批产品共 10 件，其中 7 件正品， 3 件次品。从该批产品中每次任取一件， 在下列两种情况下， 分别求直至取得正品为止所需次数 x 的

3、分布律。（1）每次取后不放回；（2）每次取后放回。解： （1）,30791073)2(,107) 1(xpxp,12078910723)3(xpx 1 2 3 4 p 10730712071201(2) 1103107kkxp（k=1，2，）6.某射手每发子弹命中目标概率为0.8，现相互独立地射击5 发子弹，求： （1）命中目标弹数地分布律；（2） 命中目标的概率。解： （1）设 x为命中目标的弹数，则其分布律为px=k=kc5k8 .0k52 .0,(k=0,1,2,3,4,5). (2)p命中目标 1-px=0=1 05c08.0052.00.99968 7设随机变量 x 服从泊松分布 p

4、( ),且 px=1=px=2,求 px=4. 解：由 px=1=px=2得：! 11e ! 22e 解得： 2 或 0 （舍弃） 。故：px=4=! 424e2= 32e28.设随机变量 x 的分布律为：（1）px=k=na,k=1,2,.n (2) px=k=a! kk,k=0,1,2,试确定常数 a 解： （1）由nkkxp11 得：n *na=1,解得： a=1 (2) 由0kkxp1 得：0ka!kk1，解得： a= e9. 某车间有同类设备100 台，各台设备工作互不影响。 如果每台设备发生故障得概率是0.01 且一台设备的故障可由一个人来处理，问至少配备多少维修工人， 才能保证设

5、备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01（利用泊松定理近似计算） 。解：设 x 为发生故障设备得台数，则) 1()01.0,100( bx，即 x近似服从参数为1的 poisson 分布。设设备需要 n 个人看管“才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01”，则01. 0!1)(1!eknxpnk查表得5n10.设随机变量 x 的密度函数为 f(x)=c ex(-x+),求：（1）常数 c; (2)x落在区间（ 0，1）内的概率；（ 3 ）p5x 解： （1）因为dxxf)(0)(dxxf0)(dxxf1 即：0dxcex+0dxcex1，cex00 xce=1,解得： c21(2

6、)p10x=10)(dxxf=1021dxex=ee21(3)p5x=p5x5或x=5)(dxxf+5)(dxxf=521dxex+521dxex= e511设随机变量 x 的密度函数为,(0,1)( )0cx xf x，其他，求（1） 常数 c; (2)p0.3xa=pxb=0.64; (5)x分布函数。解：(1) dxxf)(=00dx+10cxdx+00dx=10cxdx =1 所以，解得c=2 (2) p0.3x0.7=7.03.02xdx =2x7. 03. 0=0.49-0.09 =0.4 (3)由axpaxp得：当a 1 时，()0,()1p xap xa故，a 不可能小于 0

7、或大于 1；当 0a1 时，1220( )21,( )2aaaap xaf x dxxdxap xaf x dxxdxa所以，221aa，即得： a22（4）由题设可知， b 的取值范围为： 0b1 12( )210.64bbp xbf x dxxdxb，所以 b0.6 （5）当x 1 时，f(x)12210 xdxxdxx20,0( ),011,1xf xxxx12.解：由题设可知，把x的分布函数的取值范围分为四段：当 x -1 时，f(x)0；当-1 x 0 时，f(x)61；当 0 1 时，f(x)1 0,11,106( )1,0121,1xxf xxx13.解：（1）px 2 f(2)

8、 1e2 0.8647 ；px 2 1px 21-0.8647 0.1353；（2）设 x的密度函数为 f(x). 当 x0 时，f(x)(xf0；当 x0 时，f(x)xxeexf)1()(；-xe , x0f(x)=0 , x014.解：（1）)arctan(limxbax1；即：12ba ；)arctan(limxbax0；即：02ba ；由式得： a21，b1（2）p-1x1f(1)f(-1)（2114）（2114）21（3）x 的密度函数：f(x)211.1)arctan121()(xxxf)1 (1)(2xxf， （x）15.解：当 x a1px aaaxedxe01121所以，1

9、lnln 22a17.解：设乘客候车时间为x分。由于乘客到达该汽车站的任一时刻是等可能的，且公共汽车每隔5 分钟通过车站一次，所以，x在区间 0,5内均匀分布。所以x 的密度函数为其他,050,51)(xxf所以，乘客候车时间不超过3 分钟的概率为：305351)(dxxf0.6 18.解：因为 x 在-2 , 5上服从均匀分布，所以，x 的密度函数为：其他,052,71)(xxf而要方程02xx442有实根，则要求0)2(16162xx，即得：x-1 或 x2 即，方程有实根的概率为：px-1+px27471715212dxdx19.解：)1 , 0(3. 02nx（1）12111 1()1

10、( 3.33)(3.33)0.3p xp x0.9996 （2）1.221 2 11.21.21()()( 2.67)( 10)0.30.3(10)(2.67)10.99620.0038pxp xp x20.解：（1）( )()2( )10.8pkxkkkk， 所以( )0.9k查表可得： k 的最大取值为： k=1.28 （2）11( )0.95p xkp xkk， 所以()0.95k查表可得： k 的最大取值为： k=1.65 21.解：由题设得：1cxpcxpcxp，即：21cxp，即：31()22c查表得：23c0，所以 c=3 22.解： （1）)1 ,0(5000nxy550050

11、00450050004500550055004500()()500500500()()2()10.9pxp xp x即：500()0.95；查表并计算得：303 （2）4000 5000100010004000140001()1()()0.95p xp x查表并计算得：606 23.解：要该种配件是合格品，那么，该配件的长度x 的范围应该在：9.93x10.17 （单位： cm）所以，生产该种配件是合格品的概率为：10.1710.059.9310.059.9310.1710.179.93()()(2)( 2)2(2)10.060.06pxp xp x查表得：(2)0.9773，所以概率为： 0

12、.9546 24.解：x -2 210 2 4 x+2 0 232 4 6 1x 3 211 -1 -3 x24 410 4 16 p 814181613125.解：因为 y1x 是严格单调的函数，所以：当 0y1 时，即， 0 x1 时，2)1 (3)1 ()1()(yyyfyfxy当 y为其他值时， 即，x 在区间0，1外时，0)1 ()1()(yyfyfxy所以： y1x 的密度函数为：其他,010,)1(3)(2yyyfy或：解 y=1-x 的分布函数( )yfy为),1(1)1(1)1()1()()(yfyxpyxpyxpyypyfxy其中)(xfx是x的分布函数，它满足)()()(xfdxxdfxfxxx，而其它100)1(3)1()1(1)()(2yyyfyfdyddyydfyfxxyy26.解：（1）由题设可