一元二次不等式及其解法典型例题透析

1、一元二次不等式及其解法典型例题透析类型一：解一元二次不等式例1.解下列一元二次不等式(1) x2 -5x<0 ；(2) x2 -4x+4>0；(3) -x2 +4x-5>0思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析：(1)方法一：因为 = (-5尸-4x1x0 = 25 >0所以方程5x = 0的两个实数根为：$=0,=5函数)，=5*的简图为：因而不等式/-5<0的解集是“IOvxv5.方法二：a2 -5x<0<=>(x-5)<0 或解得或，即0<x<5或因而不等式a2-5x< 0的解集是x 1

2、0 v x v 5.(2)方法一:因为 = 0 ,方程/一4工+ 4 = 0的解为$=占=2.函数y = x、4x + 4的简图为：所以，原不等式的解集是xlxW2)方法二：x2-4x + 4 = (x-2)2>0 (当 x = 2 时，一2了=0)所以原不等式的解集是“UW2(3)方法一：原不等式整理得炉-4x + 5v0.因为<(),方程，F4x + 5 = 0无实数解，函数y = W-4x + 5的简图为:所以不等式V -4工+ 5 v 0的解集是0 .所以原不等式的解集是0.方法二：*.* -x2 + 4x - 5 = -(x - 2)2 -1 < -1 < 0

3、,原不等式的解集是0.总结升华：1 .初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提 高数形结合的分析能力；2 .当AVO时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁(如第2、3小 题)；当>()且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷, (如第1小题).3 .当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.举一反三：【变式1】解下列不等式(1) 2x2-3x-2>0； (2) -3x2+6x-2>0(3) 4x2-4a: + 1<0；(4) -x2+2a-3>0.【答案】(1)方法一：因为 =(3)2 _4x2x(-2) = 25 >

4、;0方程2/一3,.2 = 0的两个实数根为：，石=2函数y = 2/-3x-2的简图为：因而不等式2f-3x-2>0的解集是：.方法二：丁原不等式等价于(2x + l)(x-2)>0,原不等式的解集是：.(2)整理，原式可化为3/-6工+ 2<0,因为>(),方程3/6x + 2 = 0的解，函数y = 3/-6x + 2的简图为：所以不等式的解集是.(3)方法一：因为 = ()方程4/_4工+ 1 = 0有两个相等的实根：，由函数y = 4/_4x + l的图象为：原不等式的的解集是；.方法二：;原不等式等价于：(2x7)2 <0,原不等式的的解集是；.(4)

5、方法一：因为<(),方程-Y+2x-3 = 0无实数解，由函数)，=-/ + 2-3的简图为：原不等式的解集是0.方法二:V -x2 + 2x-3 = -(v-1)2 -2 < -2 < 0 ,原不等式解集为。.【变式2】解不等式：-6«/7_6<6【答案】原不等式可化为不等式组，即，即，解得原不等式的解集为“1-3vx«0或l«xv4.类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数例2.不等式/+"优-<0的解集为xe(4,5),求关于的不等式 fix2 +a一1 >0的解集。思路点拨：由二次不等式的解集为(4,5)可知

6、：4、5是方程/+a一?=。的二根，故由韦达定理可求出?、的值，从而解得.解析：由题意可知方程/ +"a-=。的两根为x = 4和x = 5由韦达定理有4+5=in , 4x5 = /?m = -9 , n = -20/. nx2 + mx- 1 >0化为-20x2-9x-1>0,即 20x2 + 9x +1 <0(4x + l)(5x + l)<0,角翠得，故不等式“X2 +/U-1 > 0的解集为.总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解 集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用 韦达定理，找到不等式的解集

7、及其系数之间的关系，这一点是解此类题的 关键。举一反三：【变式1 不等式ax2+bx+12>0的解集为x -3<x<2,则a=, b=o【答案】由不等式的解集为x -3<x<2知a<0,且方程ax2+bx+12=0 的两根为-3, 2o由根及系数关系得解得 a二-2, b=-2。【变式2己知尔+ 2x + c>0的解为，试求。、c,并解不等式 -ex2 + 2x-a > 0.【答案】由韦达定理有：，代入不等式 一。/ + 2x - > 0 得-2x2 +2a + 12>0,BP x2-x-6<0, (x-3)(x + 2)<

8、;0,角军得一2vx<3,故不等式-c/+2x-a>。的解集为：(-2,3).【变式3已知关于x的不等式/+仪+ <0的解集为(1,2),求关于x的 不等式以2 +4X+1 >0的解集.【答案】由韦达定理有：，解得，代入不等式/“2+.+1>。得2x2-3x + 1>0, B|J (2x-1)(x-1)>0,解得或x>1.,加+0¥+1>0的解集为：.类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题例3.已知关于x的不等式面+编七立口1 (m-l)x+3>0对一切实数x恒 成立，求实数m的取值范围。思路点拨:不等式对一切

9、实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这 个问题还需要讨论二次项的系数。解析：(1)当 m2+4m-5=0 时，m= 1 或 m=-5若m=1,则不等式化为3>0,对一切实数x成立，符合题意。若m=-5,则不等式为24x+30,不满足对一切实数x均成立，所以 m二一5舍去。(2)当 m2+4m-50 即 mWl 且 mW5 时，由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线 y= (m2+4m-5) x2-4 (m-1) x+3开口向上，且及x轴无交点，+4m - 5 > 0所以,A = 16(m-1)2 -12(m2 +4m-5)<0即，/. Km<19o综上所述,实数m的取

10、值范围是总结升华：情况是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字 母时，一般需讨论。举一反三：【变式1若关于x的不等式。二-(2? + 1)工+ -1之。的解集为空集，求 m的取值范围.【答案】关于x的不等式机/-(2? + 1)、+m-1之0的解集为空集即 mx2 - (2m + l)x+-1 v 0 的解集为 R当“7 = 0时，原不等式为：-工-120,即x4-l,不符合题意, 舍去.当?W0时，原不等式为一元二次不等式，只需 7Vo且<(),即卜 "D2 一 4帆。一1)<°,解得，"7 < 0综上，办的取值范围为：.【变式2若关于x的

11、不等式储-(26+ 1» +川-120的解为一切实数， 求?的取值范围.【答案】当7 = 0时，原不等式为：-X-1>O,即;vW-1,不符合题意， 舍去.当"?W0时，原不等式为一元二次不等式，只需>0且ANO,即卜27 + l)j(IR0,解得心。,？ >0*综上，川的取值范围为：? e (0, +oo).【变式3若关于x的不等式山(2 + 1)x + l120的解集为非空集， 求?的取值范围.【答案】当? = 0时，原不等式为：-x-l>0,符合题意.当>0时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意当7Vo时，只需A>0,即(+1

12、)j(iR°,解得，m< 0综上，根的取值范围为：.类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法例4.解下列关于x的不等式(1) x-2ax-a-+l ；(2) x"-ax+l>0；(3) ) x- (a+1) x+a<0；解析：(1) x2 -2ax+a2 -1 <0=>(x-«)-1(x-67)+ 1<0=>6/-1 <x<« + l原不等式的解集为jda-lWx«a + l。(2) A =a：-4当A0 ,即a>2或a<-2时，原不等式的解集为,a + yl a2 - 4 外a

13、 - 4、xx>sJcx <22当二0,即a=2或-2时，原不等式的解集为。当A<0,即-2<a<2时，原不等式的解集为R。(3 ) (x-l) (x-a) <0当a>l时，原不等式的解集为x|lxa当时，原不等式的解集为x|ax<l当a=l时，原不等式的解集为。总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样儿步：定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开 口方向；求根：求相应方程的根。当无法判断判别式及0的关系时，要引 入讨论，分类求解；定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小 时，引入讨论。举一反三：【变式1解关

14、于x的不等式：x2-(a + -)x + <O(aO)【答案】原不等式化为a=l或a=-1时，解集为；当0<al或a<T时，,解集为：；当a>l或-laO时，解集为：。【变式2解关于x的不等式:x2 -(a + a2)x+a3 >Q ( a eR )【答案】 x2 -(a + a2)x + a >0=>(x- a)(x -a2)>0当aVO或a>l时，解集为xlx<或%>/)；当a=O时,解集为xlxWO；当OVaVl时，解集为xlx<42或当a=l时,解集为xUHl；例5.解关于x的不等式:ax' (a+l)x+

15、l<Oo解析：若a=0,原不等式U> x+1 VOU>x>l；若 a VO,原不等式 <=> =(%-3*-1)>0 =工<1或 x>l： aa若 a>0,原不等式<=> / -(1+)x + <0<>(x-)(x-l) <0 , aaa其解的情况应由上及1的大小关系决定，故 a(1)当a=1,时，原不等式Ox£0；(2)当a>l时，原不等式U>(3)当OVaVl时，原不等式O综上所述：当aVO,解集为；当a二。时，解集为x|x>l;当OVaVl时，解集为；当a=l时，解

16、集为0;当a>l时，解集为。总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类 时要“不重不漏，举一反三：【变式1解关于X的不等式：(ax-1)(X-2) 20；【答案】当a=0时，x£ (- ,2.当aWO时，方程(ax-1) (x-2)=0两根为当a0时，若，即时，；若,即时,x£R；若,即时，.当a<0时,则有：，。【变式2解关于x的不等式：a/+2x-l<0；【答案】当a=0时，.当aWO时，A=4+4a=4 (a+1),a>0时，则 A0, aaa<0时，若a

17、<0, A<0,即a<-l时，xR；若a<0, =0,即a=-1 时，xlMxWl;若 a<0 , >0 , 即 -Ka<0 时，/ 1 + Jl + a 1 Jl + a 、xt S，)U(、)。aa【变式3解关于x的不等式：ax2-x+l>0【答案】若a=0,原不等式化为-x+l>0,解集为x|x<l；若aWO,原不等式为关于x的一元二次不等式.方程a?-x + l = O的判别式二l-4a(1)当4=1-48<0,即时,方程“t+1=O没有实数根,故函数= x + 1的图象开口向上，及x轴没有交点，其 简图如下：所以，此时不等式ax、x + l>0的解集为实数集R;(11)当a二1-42=0,即时，方程,储一x + l = O有两个相等实数根x=2,故函数/*) = /7 + 1的图象开口向上，及x轴有唯一交点0),其简图如下：所以，此时不等式a/-x + l>0的解集为(-s,2) U (2,+s);(III)当=ia>0,即时，方程=2_%+1 = 0有两个不等实数根，当时，函数/(幻=点-X + 1的图象开口向上，及X轴有两个不同的交点，且用<修，其简图如下：所以