《中考课件初中数学总复习资料》第01讲 翻折问题专题-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版

1、硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点1. 轴对称的定义把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，对应点叫对称点，直线叫对称轴，两个图形关于某条直线对称也叫轴对称.2. 轴对称的性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）对称轴这条直线是对应点连线段的垂直平分线.1. 轴折叠两侧的部分对应相等，如对应角相等、对应边相等、折痕上的点到对应点的距离相等；2. 对应点的连线段被折痕所在直线垂直平分，这会出现垂直于中点；3. 折叠问题中，常常结合角平分线、等腰三角形、三线合一、设未知数解勾股定理等综合知识点；4. 在平面直角坐标系中出现折叠

2、，常常还会用到求解析式法、两点间距离公式、中点坐标公式等.【例题1】（2019青岛模拟）如图，在菱形纸片abcd中，ab=4，a=60°，将菱形纸片翻折，使点a落在cd的中点e处，折痕为fg，点f、g分别在边ab、ad上则sinefg的值为【解析】如图：过点e作head于点h，连接ae交gf于点n，连接bd，be四边形abcd是菱形，ab=4，dab=60°，ab=bc=cd=ad=4，dab=dcb=60°，dcabhde=dab=60°，点e是cd中点，de=cd=2在rtdeh中，de=2，hde=60°dh=1，he=，ah=ad+dh

3、=5在rtahe中，ae=2折叠，an=ne=，aegf，af=efcd=bc，dcb=60°bcd是等边三角形，且e是cd中点becd，bc=4，ec=2，be=2cdab，abe=bec=90°在rtbef中，ef2=be2+bf2=12+（abef）2ef=，sinefg=，故答案为：【点评】本题关键词：“对应点的连线段被折痕所在直线垂直平分”，“三线合一”，“转化目标角”【例题2】如图，在矩形abcd中，ab=3，bc=4，点e是边ab上一点，且ae=2eb，点p是边bc上一点，连接ep，过点p作pqpe交射线cd于点q若点c关于直线pq的对称点正好落在边ad上，求

4、bp的值【解析】过点p作pead于点e，pec'=90°矩形abcd中，ab=3，bc=4eab=b=c=qdc'=90°，cd=ab=3四边形cped是矩形de=pc，pe=cd=3ae=2eb，ae=2，eb=1设bp=x，则de=pc=4x法2：亦可过c作cgbc，连接cc点c与c'关于直线pq对称pc'qpcqpc'=pc=4x，c'q=cq，pc'q=c=90°pepqbpe+cpq=90°又bep+bpe=90°bep=cpqbepcpq同理可证：pec'c'd

5、q，cq=x（4x）c'q=x（4x），dq=3x（4x）=x24x+3，c'd=3x，ec'=ec'+c'd=de，解得：x1=1，x2=bp的值为1或【例题3】（2019秋双流区校级月考）如图，矩形oabc中，oa=4，ab=3，点d在边bc上，且cd=3db，点e是边oa上一点，连接de，将四边形abde沿de折叠，若点a的对称点a恰好落在边oc上，则oe的长为_.法2：亦可过d作dgao，连接aa【解析】连接ad，ad，四边形oabc是矩形，bc=oa=4，oc=ab=3，c=b=o=90°，cd=3db，cd=3，bd=1，cd=ab

6、，将四边形abde沿de折叠，若点a的对称点a恰好落在边oc上，ad=ad，ae=ae，在rtacd与rtdba中，rtacdrtdba（hl），ac=bd=1，ao=2，ao2+oe2=ae2，22+oe2=（4oe）2，oe=，【点评】本题关键词：“对应点的连线段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”【例题4】（2019东西湖区模拟）如图，在矩形abcd中，ab=4，bc=6，点e为bc的中点，将abe沿ae折叠，使点b落在矩形内点f处，连接cf，则cf的长为法2：亦可过e作egfc；或者过f作mn分别垂直ad和bc【解析】连接bf，bc=6，点e为bc的中点，be

7、=3，又ab=4，ae=5，bh=，则bf=，fe=be=ec，bfc=90°，根据勾股定理得，cf=故答案为：【例题5】如图，将边长为6的正方形纸片abcd对折，使ab与dc重合，折痕为ef，展平后，再将点b折到边cd上，使边ab经过点e，折痕为gh，点b的对应点为m，点a的对应点为n（1）若cm=x，则ch=（用含x的代数式表示）；（2）求折痕gh的长【解析】（1）cm=x，bc=6，设hc=y，则bh=hm=6y，故y2+x2=（6y）2，整理得：y=x2+3，hmc+mhc=90°，emd=mhc，edmmch，=，=，解得：hc=x2+2x，故答案为：x2+3或x

8、2+2x；（2）方法一：四边形abcd为正方形，b=c=d=90°，设cm=x，由题意可得：ed=3，dm=6x，emh=b=90°，故hmc+emd=90°，hmc+mhc=90°，emd=mhc，edmmch，=，即=，解得：x1=2，x2=6，当x=2时，cm=2，dm=4，在rtdem中，由勾股定理得：em=5，ne=mnem=65=1，neg=dem，n=d，negdem，=，=，解得：ng=，由翻折变换的性质，得ag=ng=，过点g作gpbc，垂足为p，则bp=ag=，gp=ab=6，当x=2时，ch=x2+3=，ph=bchcbp=6=2，

9、在rtgph中，gh=2当x=6时，则cm=6，点h和点c重合，点g和点a重合，点m在点d处，点n在点a处mn同样经过点e，折痕gh的长就是ac的长所以，gh长为6方法二：有上面方法得出cm=2，连接bm，可得bmgh，则可得pgh=hbm，在gph和bcm中，gphbcm（sas），gh=bm，gh=bm=2【例题6】已知一个矩形纸片oacb，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点a （11，0），点b（0，6），点p为bc边上的动点（点p不与点b、c重合），经过点o、p折叠该纸片，得点b和折痕op设bp=t（1）如图，当bop=30°时，求点p的坐标；（2）如图，经过点p再次折叠纸片

10、，使点c落在直线pb上，得点c和折痕pq，若aq=m，求m（用含有t的式子表示）；（3）在（2）的条件下，当点c恰好落在边oa上时，求点p的坐标（直接写出结果）【解析】（1）根据题意，obp=90°，ob=6，在rtobp中，由bop=30°，bp=t，得op=2top2=ob2+bp2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=2（舍去）点p的坐标为（2，6）；（2）obp、qcp分别是由obp、qcp折叠得到的，obpobp，qcpqcp，opb=opb，qpc=qpc，opb+opb+qpc+qpc=180°，opb+qpc=90°，bop+

11、opb=90°，bop=cpq，又obp=c=90°，obppcq，=，由题意设bp=t，aq=m，bc=11，ac=6，则pc=11t，cq=6m=，m=t2t+6（0t11）；（3）过点p作peoa于e，如图3，pea=qac=90°，pce+epc=90°，pce+qca=90°，epc=qca，pcecqa，=，在pce和ocb中，pceocb（aas），pc'=oc'=pc，bp=ac'，ac=pb=t，pe=ob=6，aq=m，ec=112t，=，m=t2t+6，3t222t+36=0，解得：t1=，t2=故

12、点p的坐标为（ ，6）或（ ，6）1如图，在菱形纸片abcd中，ab=15，tanabc=，将菱形纸片沿折痕fg翻折，使点b落在ad边上的点e处，若cead，则cosefg的值为【解析】如图，过点a作ahbc于点h，连接be，过点p作peab，ab=15，tanabc=，ah=9，bh=12，ch=3，四边形abcd是菱形，ab=bc=15，adbc，ahbc，ahad，且ahbc，cead，四边形ahce是矩形ec=9，ae=ch=3，be=3，将菱形纸片沿折痕fg翻折，使点b落在ad边上的点e处，bf=ef，befg，bo=eo=adbc，abc=pae，tanabc=tanpae=，且a

13、e=3，ap=，pe=，ef2=pe2+pf2，ef2=+（15ef+）2，ef=，fo=cosefg=，故答案为：2（2019江北区一模）如图，在菱形abcd中，ab=5，tand=，点e在bc上运动（不与b，c重合），将四边形aecd沿直线ae翻折后，点c落在c处，点d落在d处，cd与ab交于点f，当cd'ab时，ce长为 【解析】如图，作ahcd于h，交bc的延长线于g，连接ac由题意：ad=ad，d=d，afd=ahd=90°，afdahd（aas），fad=had，ead=ead，eab=eag，=（角平分线的性质定理，可以用面积法证明）abcd，ahcd，ahab

14、，bag=90°，b=d，tanb=tand=，=，ag=，bg=，be：eg=ab：ag=4：3，eg=bg=，在rtadh中，tand=，ad=5，ah=3，ch=4，ch=1，cgad，=，cg=，ec=egcg=故答案为3如图，已知e为长方形纸片abcd的边cd上一点，将纸片沿ae对折，点d的对应点d恰好在线段be上若ad=3，de=1，则ab=5【解析】折叠，adead'e，ad=ad'=3，de=d'e=1，dea=d'ea，四边形abcd是矩形，abcd，dea=eab，eab=aeb，ab=be，d'b=bed'e=ab

15、1，在rtabd'中，ab2=d'a2+d'b2，ab2=9+（ab1）2，ab=5故答案为：54（2019罗山县一模）如图，矩形abcd中，ab=8，bc=10，点n为边bc的中点，点m为ab边上任意一点，连接mn，把bmn沿mn折叠，使点b落在点e处，若点e恰在矩形abcd的对称轴上，则bm的长为5或【解析】当e在矩形的对称轴直线pn上时，如图1此时men=b=90°，enb=90°，四边形bmen是矩形又me=mb，四边形bmen是正方形bm=bn=5当e在矩形的对称轴直线fg上时，如图2，过n点作nhfg于h点，则nh=4根据折叠的对称性可知

16、en=bn=5，在rtenh中，利用勾股定理求得eh=3fe=53=2设bm=x，则em=x，fm=4x，在rtfem中，me2=fe2+fm2，即x2=4+（4x）2，解得x=，即bm=故答案为5或5（2019虹口区二模）如图，在矩形abcd中，ab=6，点e在边ad上且ae=4，点f是边bc上的一个动点，将四边形abfe沿ef翻折，a、b的对应点a1、b1与点c在同一直线上，a1b1与边ad交于点g，如果dg=3，那么bf的长为【解析】cdga'eg，a'e=4a'g=2b'g=4由勾股定理可知cg'=则cb'=由cdgcfb'设bf

17、=x解得x=故答案为6如图，已知扇形aob的半径为6，圆心角为90°，e是半径oa上一点，f是上一点将扇形aob沿ef对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径ob相切于点g若oe=4，则o到折痕ef的距离为2【解析】过点g作ogob，作aoog于o，如图，连结oo交ef于h，则四边形aogo为矩形，og=ao=6，沿ef折叠后所得得圆弧恰好与半径ob相切于点g，与所在圆的半径相等，点o为所在圆的圆心，点o与点o关于ef对称，ooef，oh=ho，设oh=x，则oo=2x，eoh=ooa，rtoehrtooa，=，即=，解得x=2，即o到折痕ef的距离为2故答案为27如图，矩形abcd中，ad

18、=4，o是bc边上的点，以oc为半径作o交ab于点e，be=ae，把四边形aecd沿着ce所在的直线对折（线段ad对应ad），当o与ad相切时，线段ab的长是【解析】设o与ad相切于点f，连接of，oe，则ofad，oc=oe，oce=oec，四边形abcd是矩形，a=b=a=90°，由折叠的性质得：aec=aec，b+bce=aeo+oec，oea=b=90°，oe=of，四边形afoe是正方形，ae=ae=oe=oc，be=ae，设be=3x，ae=5x，oe=oc=5x，bc=ad=4，ob=45x，在rtboe中，oe2=be2+ob2，（5x）2=（3x）2+（4

19、5x）2，解得：x=，x=4（舍去），ab=8x=故答案为：9如图，矩形abcd中，ab=2bc，e是ab上一点，o是cd上一点，以oc为半径作o，将ade折叠至ade，点a在o上，延长ea交bc延长线于f，且恰好过点o，过点d作o的切线交bc延长线于点g若fg=1，则ad=2，o半径=【解析】作ohdg于h，如图，设da=x，则ab=2x，ade折叠至ade，da=da=x，dae=a=90°，da与o相切，在oda和ocf中doafocda=cf=x，dg是o的切线，ohdg，h点为切点，dh=da=x，gh=gc=cf+gf=x+1，在rtdcg中，dc2+cg2=dg2，（2

20、x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，ad=2，设o的半径为r，则oc=oa=r，od=2xr=4r，在rtdoa中，da2+oa2=do2，22+r2=（4r）2，解得r=，即o的半径为故答案为2，10如图1，在abc中，ac=6，bc=8，ab=10，分别以abc的三边ab，bc，ac为边在三角形外部作正方形abde，bcij，afgc如图2，作正方形abde关于直线ab对称的正方形abde，ae交cg于点m，de交ic于点n点d在边ij上则四边形cmen的面积是24【解析】正方形abde关于直线ab对称的正方形abde，ae=ab=10，eab=90&#

21、176;，aen=90°，ac=6，bc=8，ab=10，ac2+bc2=ab2，acb为直角三角形，ac2=bcmc，mc=，mac=nae，rtacmrtaen，=，即=，en=，四边形cmen的面积=saensacm=×10××6×=24故答案为2411如图，菱形abcd中，a=60°，将纸片折叠，点a，d分别落在a，d处，且ad经过点b，ef为折痕，当dfcd时，的值为【解析】设bc与df交于点kcf=a，dk=b，四边形abcd是菱形，a=60°，c=60°，d=d=120°，kfcd，kfc=

22、90°，fkc=bkd=30°，kbd=180°dbkd=30°，bd=b，bk=b，kc=2a，kf=a，bc=cd=df+cf，b+2a=b+a+a，（1）a=（1）b，a=b，=，故答案为12如图，在abc中，c=90°，ac=bc=，将abc绕点a顺时针方向旋转60°到abc的位置，连接cb，则cb=1【解析】如图，连接bb，abc绕点a顺时针方向旋转60°得到abc，ab=ab，bab=60°，abb是等边三角形，ab=bb，在abc和bbc中，abcbbc（sss），abc=bbc，延长bc交ab于d，

23、则bdab，c=90°，ac=bc=，ab=2，bd=2×=，cd=×2=1，bc=bdcd=1故答案为：113如图，在rtabc中，acb=90°，ac=3，bc=4，点d是边bc的中点，点e是边ab上的任意一点（点e不与点b重合），沿de翻折dbe使点b落在点f处，连接af，当线段af=ac时，be的长为【解析】连接ad，作egbd于g，如图所示：则egac，begbac，=，设be=x，acb=90°，ac=3，bc=4，ab=5，=，解得：eg=x，bg=x，点d是边bc的中点，cd=bd=2，dg=2x，由折叠的性质得：df=bd=c

24、d，edf=edb，在acd和afd中，acdafd（sss），adc=adf，adf+edf=×1880°=90°，即ade=90°，ad2+de2=ae2，ad2=ac2+cd2=32+22=13，de2=dg2+eg2=（2x）2+（x）2，13+（2x）2+（x）2=（5x）2，解得：x=，即be=；故答案为：14在正方形abcd中，（1）如图1，若点e，f分别在边bc，cd上，ae，bf交于点o，且aof=90°求证：ae=bf（2）如图2，将正方形abcd折叠，使顶点a与cd边上的点m重合，折痕交ad于e，交bc于f，边ab折叠后与

25、bc边交于点g若dc=5，cm=2，求ef的长【解析】（1）如图1，四边形abcd是正方形，ab=bc，abe=bcf=90°，aof=90°，bae+oba=90°，又fbc+oba=90°，bae=cbf，在abe和bcf中，abebcf（asa）ae=bf（2）由折叠的性质得efam，过点f作fhad于h，交am于o，则adm=fhe=90°，hao+aoh=90°、hao+amd=90°，pof=aoh=amd，又efam，pof+ofp=90°、hfe+feh=90°，pof=feh，feh=a

26、md，四边形abcd是正方形，ad=cd=fh=5，在adm和fhe中，admfhe（aas），ef=am=15如图，已知e是正方形abcd的边ab上一点，点a关于de的对称点为f，bfc=90°，求的值【解析】如图，延长ef交cb于m，连接cm，四边形abcd是正方形，ad=dc，a=bcd=90°，将ade沿直线de对折得到def，dfe=dfm=90°，在rtdfm与rtdcm中，rtdfmrtdcm，mf=mc，mfc=mcf，mfc+bfm=90°，mcf+fbm=90°，mfb=mbf，mb=mc，设mf=mc=bm=a，ae=ef

27、=x，be2+bm2=em2，即（2ax）2+a2=（x+a）2，解得：x=a，ae=a，=316在长方形纸片abcd中，点e是边cd上的一点，将aed沿ae所在的直线折叠，使点d落在点f处（1）如图1，若点f落在对角线ac上，且bac=54°，则dae的度数为18°（2）如图2，若点f落在边bc上，且ab=6，ad=10，求ce的长（3）如图3，若点e是cd的中点，af的沿长线交bc于点g，且ab=6，ad=10，求cg的长【解析】（1）四边形abcd是矩形，bad=90°，bac=54°，dac=90°54°=36°，由

28、折叠的性质得：dae=fae，dae=dac=18°；故答案为：18；（2）四边形abcd是矩形，b=c=90°，bc=ad=10，cd=ab=6，由折叠的性质得：af=ad=10，ef=ed，bf=8，cf=bcbf=108=2，设ce=x，则ef=ed=6x，在rtcef中，由勾股定理得：22+x2=（6x）2，解得：x=，即ce的长为；（3）连接eg，如图3所示：点e是cd的中点，de=ce，由折叠的性质得：af=ad=10，afe=d=90°，fe=de，efg=90°=c，在rtceg和feg中，rtcegfeg（hl），cg=fg，设cg=fg=y，则a