(完整版)2019届初高中数学衔接知识点及习题

1、平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 1 - 数学亲爱的 2019 届平冈学子：恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了，做好了充分的准备吗？其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题，善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。从 2016 年开始， 广东省高考数学试题使用全国i 卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大，选拔性很明显，难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子，是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性，能有效地克服知识和方法上的跳跃，利于激发你们学习数学的兴趣。

2、你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。这里给大家几个学数学的建议：1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。3、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“ 整体集装

3、” ，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：从数学思想分类从解题方法归类从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。8、经常在做题后进行一定的“ 反思 ” ，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解

4、法，在解其它问题时，是否也用到过。9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。初高中数学衔接呼应版块1立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多 ,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。3二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图

5、、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，6图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8几何部分很多概念

6、（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。9. 角度问题，三角函数问题。在初中只涉及360范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。同时，度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。10. 高中阶段特别注重数学思维，数学思想方法的培养。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 2 - 目录1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2. 乘法公式1.1.3二次根式1.1.分式1 2 分解

7、因式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2.2 二次函数2.2.1 二次函数yax2 bxc 的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法2.3.2 一元二次不等式解法1.1 数与式的运算1.1.1绝对值一、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即,0,|0,0,0.aaaaa a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离二、典型

8、例题：例 1 解不等式：4|1| x解法一：由01x，得1x；若1x，不等式可变为4) 1(x，即41x，得3x，又 x1，x-3；若x1，不等式可变为4)1(x，即5x又1x5x综上所述，原不等式的解为3x或5x。解法二：如图111，1x表示 x 轴上坐标为x 的点 p 到坐标为1 的点 a 之间的距离 |pa|，即 |pa|x1|；所以4|1| x的几何意义即为|pa|4可知点 p 在点 c(坐标为 -3)的左侧、或点 p 在点 d(坐标 5)的右侧3x或5x。练 习 a 1填空：（ 1）若5x， 则 x=_；若4x，则 x=_. （ 2）如果5ba，且1a，则 b _；若21c，则 c_

9、. 2选择题：下列叙述正确的是（）1 a x -3 c x p |x1| 图 111 d 5 平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 3 - （a）若ab，则ab（ b）若ab，则ab（c）若ab，则ab（ d）若ab，则ab练习 b 3解不等式：3|2| x4、化简： |x5|2x13|（x 5） 1.1.2. 乘法公式一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()ab abab；（2）完全平方公式222()2abaabb我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()ab aabbab；（2）立方差公式2233()()ab

10、 aabbab；（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac；（4）两数和立方公式33223()33abaa babb；（5）两数差立方公式33223()33abaa babb对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明二、典型例题例 1 计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx解法一：原式=2222(1) (1)xxx=242(1)(1)xxx=61x解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)xxxxxx=33(1)(1)xx=61x例 2 已知4abc，4abbcac，求222abc的值解：2222()2()8abcabcabbcac练 习 a 1填空：（ 1）

11、221111()9423abba（） ；（ 2）(4m22)164(mm)；(3 )2222(2)4(abcabc)2选择题：（ 1）若212xmxk是一个完全平方式，则k等于（）（a）2m（ b）214m（c）213m（d）2116m（ 2）不论a，b为何实数，22248abab的值（）（a）总是正数（b）总是负数（c）可以是零（d）可以是正数也可以是负数1.1.3二次根式一、概念：一般地，形如(0)a a的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如232aabb，22ab等是无理式，而22212xx，222xxyy，2a等是有理式必须记住平冈中学 2019

12、届初高中数学衔接知识点及习题- 4 - 1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3 a与a，36与36，2 33 2与2 33 2，等等一般地，ax与x，axb y与a xby，axb与a xb互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行

13、，运算中要运用公式(0,0)abab ab；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2 二次根式2a的意义2aa,0,0.aaa a二、典型例题例 1 将下列式子化为最简二次根式：（1）12b；（ 2）2(0)a b a；（3）64(0)x y x解：（1）122 3bb；（2）2(0)a baba b a；（3）633422(0)x yxyxy x例 2计算：3(33)解法一：3(33)3333 (33)(33)(33)3 33933( 31)6312解法二：3(33)33333(

14、31)13131( 31)( 31)312例 3 试比较下列各组数的大小：（ 1）1211和1110；（2）264和2 26. 解：（1）1211( 1211)( 1211)11211112111211，1110( 1110)( 1110)11110111101110，又12111110，12111110（2）2 26(2 26)(226)22 26,12 262 26+又 42 2，64622，2642 26. 例 4化简：20042005( 32)( 32)解：20042005(32)(32)20042004(32)(32)( 32)2004( 32) ( 32)(32)20041(32)

15、32例 5 化简： （1）94 5；（2）2212(01)xxx解： （1）原式 =4545222522)5(平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 5 - 2(25)2552（2）原式 =21()xx1xx，01x，11xx， 所以，原式1xx练 习 a 1填空：（ 1）1313_ _；（ 2）若2(5)(3)(3) 5x xxx，则x的取值范围是 _ _ _；（ 3）4246 543 962 150_ _；（ 4）若52x，则11111111xxxxxxxx_ _（提示先简化后代入）2选择题：等式22xxxx成立的条件是（）（ a）2x（b）0 x（c）2x（d）02x练习 b

16、 3若22111aaba，求ab的值4比较大小：23 54（填 “ ” ，或 “ ” ） 1.1.4分式一、概念： 1分式的意义形如ab的式子，若 b 中含有字母， 且0b， 则称ab为分式 当 m0 时，分式ab具有下列性质：aambbm；aambbm上述性质被称为分式的基本性质2繁分式像abcd，2mnpmnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式二、典型例题：例 1若54(2)2xabx xxx，求常数,a b的值解：(2)()2542(2)(2)(2)aba xbxab xaxxxx xx xx x，5,24,aba解得2,3ab例 2（1）试证：111(1)1n nnn（其中

17、n 是正整数）；（ 2）计算：1111 22 39 10l；（3）证明：对任意大于1 的正整数 n， 有11112334(1)2n nl平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 6 - （1）证明：11(1)11(1)(1)nnnnn nn n，111(1)1n nnn（其中 n 是正整数）成立（2）解：由（ 1）可知1111 22 39 10l11111(1)()()223910l1110910（3）证明：1112 334(1)n nl111111()()()23341nnl1121n，又 n2，且 n 是正整数，1n1一定为正数，1112 334(1)n nl12例 3设cea，

18、且 e 1，2c25ac 2a20，求 e的值解：在 2c25ac2a20两边同除以a2，得2e25e20，(2e1)(e 2)0，e121，舍去；或e2e2练习 a 1填空题：对任意的正整数n，1(2)n n(112nn)；2选择题：若223xyxy，则xy（）（a）（b）54（c）45（d）653正数,x y满足xyyx222，求xyxy的值4计算1111.1 2233499 100习题 11 a 组1解不等式：13x平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 7 - 已知1xy，求333xyxy的值3填空：（1）1819(23)(23)_；（2）若22(1)(1)2aa，则a的取

19、值范围是_；（3）111111223344556_4填空：12a，13b，则2223352aabaabb_ _；5已知：11,23xy，求yyxyxy的值b 组1选择题：（ 1）若2ababba，则（）（a）ab（ b）ab（c）0ab（d）0ba（ 2）计算1aa等于（）（a）a（b）a（c）a（ d）a2计算：11111 32435911l12 分解因式一、复习引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1 分解因式：（1）x23x2；（2）x24x12；（3）22()xab xyaby；（4）1xyxy解： （1

20、）如图 121，将二次项x2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2 分解成 1 与 2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2)平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 8 - 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图12 1 中的两个x 用 1 来表示（如图1 22 所示）（2）由图 123，得 x24x12 (x2)(x6)（3）由图 124，得22()xab xyaby()()xayxby（4）1xyxyxy(xy)1(x1) (y+1) （如图 125 所示） 2提取公因式法与分组分解法例

21、2 分解因式：（ 1）32933xxx；（ 2）222456xxyyxy解：（ 1）32933xxx=32(3)(39)xxx=2(3)3(3)xxx=2(3)(3)xx或32933xxx32(331)8xxx3(1)8x33(1)2x22(1)2(1)(1)22 xxx2(3)(3)xx二次项一次项常数项（2）222456xxyyxy=22(2)(45 )6xxyyxy=(2)()(45 )6xyxyxy=(22)(3)xyxy3关于 x 的二次三项式ax2+bx+c(a 0) 的因式分解若关于 x 的方程20(0)axbxca的两个实数根是1x、2x，则二次三项式2(0)axbxc a就可

22、分解为12()()a xxxx. 例 3把下列关于x 的二次多项式分解因式：（ 1）221xx；（ 2）2244xxyy解：（1）令221xx=0，则解得112x，212x，221xx=( 12)( 12)xx=(12)(12)xx（2）令2244xxyy=0，则解得1( 22 2)xy，1( 22 2)xy，2244xxyy=2(12)2(12)xyxy二、练习a 1选择题：多项式22215xxyy的一个因式为（）（a）25xy（b）3xy（c）3xy（d）5xy2分解因式：（ 1）x26x 8；（2） 8a3b3；（ 3）x22x 1；（4）4(1)(2 )xyy yx练习 b 组1分解因

23、式：（1）31a；（ 2）424139xx；1 2 x x 图 121 1 2 1 1 图 122 2 6 1 1 图 123 ay by x x 图 124 1 1 x y 图 125 x+y 2x-y 2 -3 平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 9 - （3）22222bcabacbc；2在实数范围内因式分解：（1）253xx；（2）22 23xx；（ 3）2234xxyy；3分解因式：x2x(a2a)2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式一、概念：我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0（a0 ） ，用配方法可以将其变形为2224()24bbacxaa因为 a0 ，所

24、以， 4a2 0于是（1）当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2242bbaca；（2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个相等的实数根x1x22ba；（3）当 b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边2()2bxa一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程ax2bx c0（a0 ）的根的情况可以由b2 4ac 来判定，我们把b24ac 叫做一元二次方程ax2bxc0（ a0 ）的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程ax2 bxc 0（a0 ） ，有（1）当 0 时，方程有两

25、个不相等的实数根x1，2242bbaca；（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根x1 x22ba；（3）当 0 时，方程没有实数根二、典型例题：例 1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30；（2）x2ax10；（3） x2 ax(a1)0；（4）x22x a0解： （1） 324 1 3 30，方程没有实数根平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 10 - （ 2） 该 方 程 的 根 的 判 别 式 a2 4 1 ( 1) a2 4 0， 所 以 方 程 一 定 有 两 个 不 等 的 实 数 根2142aax

26、，2242aax（ 3）由于该方程的根的判别式为 a24 1 (a1)a24a4(a2)2，所以，当 a2 时， 0，所以方程有两个相等的实数根x1x21；当 a2 时， 0， 所以方程有两个不相等的实数根x1 1，x2a1（ 4）由于该方程的根的判别式为 224 1 a44a4(1a)，所以当 0，即 4(1a) 0，即 a1 时，方程有两个不相等的实数根111xa，211xa；当 0，即 a 1 时，方程有两个相等的实数根x1x21；当 0，即 a 1 时，方程没有实数根说明：在第3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行

27、讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）一、概念： 1、若一元二次方程ax2bxc0（a0 ）有两个实数根2142bbacxa，2242bbacxa，则有2212442222bbacbbacbbxxaaaa；2222122244(4)42244bbacbbacbbacaccx xaaaaa所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果 ax2bx c0（a0 ）的两根分别是x1，x2，那么 x1x2ba，x1 x2ca这一关系也被称为韦达定理2、特别地，对于二次项系数为1

28、 的一元二次方程x2pxq0，若 x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1x2 p，x1 x2q，即p (x1x2)，qx1 x2，所以，方程x2pxq0 可化为x2(x1x2)xx1 x20，由于x1，x2是一元二次方程x2px q0 的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)x x1 x20 的两根，因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2(x1x2)xx1 x20二、典型例题：例 2 已知方程2560 xkx的一个根是2，求它的另一个根及k 的值分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦

29、达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值解法一： 2 是方程的一个根，5 22k 260，k 7所以，方程就为5x27x60，解得 x12，x235所以，方程的另一个根为35，k 的值为 7解法二：设方程的另一个根为x1，则2x165， x135由（35） 25k，得k 7所以，方程的另一个根为35，k 的值为 7例 3 已知关于x 的方程 x2 2(m2)xm2 40 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求 m 的值分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比

30、两个根的积大21 得到关于m 的方程，从而解得m 的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设 x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1x2 2(m2)，x1 x2m2 4平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 11 - x12x22x1 x221， (x1x2)23 x1 x221，即2(m2)23(m24)21，化简，得m216m 170，解得m 1，或 m17当 m 1 时，方程为x2 6x5 0， 0，满足题意；当 m17 时，方程为x230 x2930， 3024 1 2930，不合题意，舍去综上， m-1说明： （1）在

31、本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“ 两个实数根的平方和比两个根的积大21” 求出 m 的值，取满足条件的m 的值即可（）在今后的解题过程中，如果用由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于等于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例 4 已知两个数的和为4，积为 12，求这两个数分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一：设这两个数分别是x，y，则xy 4，xy 12由，得y4x，代入，得x(4x) 12，即x24x120，x1 2， x26112,6,xy

32、或226,2.xy因此，这两个数是2 和 6解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2 4x120 的两个根解这个方程，得x1 2，x26 所以，这两个数是2 和 6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷例 5 若 x1和 x2分别是一元二次方程2x2 5x3 0 的两根（1）求 | x1 x2|的值；（ 2）求221211xx的值；（3）x13x23解： x1和 x2分别是一元二次方程2x25x30 的两根，1252xx，1232x x（1） | x1 x2|2x12+ x222 x1x2(x1 x2)24 x1x2253()4()22254649

33、4， | x1x2|72（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24xxxxx xxxxxx x（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22) (x1x2) ( x1x2) 23x1x2 (52) (52)23 (32)2158注意：说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设 x1和 x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0 ） ，则2142bbacxa，2242bbacxa，| x1x2|2224424222bbacbbacbac

34、aaa24|bacaa于是有下面的结论：若 x1和 x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0 ） ，则 | x1x2|a（其中 b24ac） 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例 6 若关于 x 的一元二次方程x2xa 40 的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围解：设 x1，x2是方程的两根，则x1x2a 40，平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 12 - 且 (1)24(a4)0由得a4，由得a174a 的取值范围是a4练习 a 1选择题：（ 1）方程222 330 xkxk的根的情况是（）（a）有一个实数根（ b）有两个不相等的

35、实数根（c）有两个相等的实数根（ d）没有实数根（2）若关于x 的方程 mx2 (2m1)x m 0 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）（a）m14（b）m14（c）m14，且 m0 （d）m14，且 m0 （3）已知关于x 的方程 x2kx 20 的一个根是1，则它的另一个根是（）（a） 3 （b）3 （c） 2 （d）2 （4）下列四个说法：方程 x2 2x7 0的两根之和为2，两根之积为7；方程 x2 2x7 0 的两根之和为2，两根之积为7；方程 3 x270 的两根之和为0，两根之积为73；方程 3 x22x0 的两根之和为2，两根之积为0其中正确说法的个数是（）（a）

36、1 个（b）2 个（c）3 个（d）4 个（5）关于 x 的一元二次方程ax25x a2a0 的一个根是0，则 a 的值是（）（a）0 （b）1 （ c） 1 （d）0，或 1 2填空 : （1）若方程x23x10 的两根分别是x1和 x2，则1211xx（2）方程 mx2x2m0（ m0 ）的根的情况是（3）以 3 和 1 为根的一元二次方程是（4）方程 kx24x10 的两根之和为2，则 k（5）方程 2x2x4 0的两根为 ， ，则 22（6）已知关于x 的方程 x2ax3a0 的一个根是2，则它的另一个根是（7）方程 2x22x10 的两根为x1和 x2，则 | x1x2|3已知281

37、6 |1| 0aab，当 k 取何值时，方程kx2axb0 有两个不相等的实数根？4已知方程x23x10 的两根为x1和 x2，求 (x13)( x23)的值5 试判定当m 取何值时，关于 x 的一元二次方程m2x2(2m1) x10 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？6求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10 各根的相反数练习 b 组1选择题 : 若关于 x 的方程 x2 (k21) xk1 0 的两实根互为相反数，则k 的值为（）（a）1，或 1 （b）1 （c） 1 （d）0 2填空 : （1）若 m，n 是方程 x22005x1 0的两个实数根，则m2n

38、mn2mn 的值等于平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 13 - （2）如果 a，b 是方程 x2 x10 的两个实数根，那么代数式a3a2bab2b3的值是3已知关于x 的方程 x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和 x2，如果 2(x1x2)x1x2，求实数k 的取值范围4一元二次方程ax2bx c0（a0 ）的两根为x1和 x2求：（1）| x1x2|和122xx； （2）x13 x235关于 x 的方程 x24xm0 的两根为x1，x2满足 | x1x2|2，求实数m 的值22 二次函数2.2.1 二次函数 yax2bxc 的图像和

39、性质一、复习引申：问题1 函数 yax2与 yx2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y2x2，y12x2，y 2x2的图象，通过这些函数图象与函数yx2的图象之间的关系，推导出函数yax2与 yx2的图象之间所存在的关系先画出函数y x2，y2x2的图象先列表：x 3 2 1 0 1 2 3 x2 9 41 0 1 4 9 2x218 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数yx2，y2x2的图象（如图2 1 所示） ，从图 21 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y2x2的

40、图象可以由函数yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y12x2， y 2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数yx2的图象之间的关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：1、 二次函数y ax2(a 0)的图象可以由y x2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到在二次函数yax2(a 0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小问题 2 函数 y a(xh)2k 与 yax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数y2(x1)21 与 y2x2的图象（如

41、图22 所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y2(x 1)21 的图象 这两个函数图象之间具有“ 形状相同，位置不同” 的特点类似地，还可以通过画函数y 3x2， y 3(x1)2 1 的图象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：2、二次函数ya(x h)2k(a 0)中， a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移， 而且 “ h 正左移， h 负右移 ” ； k 决定了二次函数图象的上下平移，而且 “ k 正上移， k 负下移 ” 由上面的结论，我们可以得到研

42、究二次函数yax2bxc(a 0)的图象的方法：由于 yax2bxca(x2bxa) ca(x2bxa224ba)c24ba224()24bbaca xaa，所以， yax2bxc(a 0)的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，图 2.2-2 x y o 1 y2x2y2(x1)2y 2(x1)21 y x2y 2x2图 2.2-1 x o y 平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 14 - 于是，二次函数y ax2bxc(a 0)具有下列性质：3、 （1）当 a0 时，函数yax2bxc 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线

43、x2ba；当 x2ba时， y随着 x 的增大而减小；当x2ba时， y 随着 x 的增大而增大；当x2ba时，函数取最小值y244acba（2）当 a 0时，函数yax2 bxc 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线x2ba；当 x2ba时， y 随着x 的增大而增大；当x2ba时， y 随着 x 的增大而减小；当x2ba时，函数取最大值y244acba上述二次函数的性质可以分别通过图223 和图 2 24 直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题二、典型例题：例 1 求二次函数y3x2 6x1 图象的开口

44、方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时， y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象解： y3x26x1 3(x1)24，函数图象的开口向下；对称轴是直线x 1；顶点坐标为 (1，4)；当 x 1 时，函数y 取最大值y4；当 x 1 时， y 随着 x 的增大而增大；当x 1 时， y 随着 x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点a(1，4)，与 x 轴交于点b2 33(,0)3和 c2 33(,0)3，与 y 轴的交点为 d(0，1)，过这四点画出图象（如图25 所示） 说明： 从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点

45、，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确例 2 某种产品的成本是120 元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：x /元130 150 165 y/件70 50 35 若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析： 由于每天的利润日销售量y (销售价 x 120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值解： 由于 y 是 x 的一次

46、函数，于是，设ykx +b 将 x130，y 70；x150， y50 代入方程，有70130,50150,kbkb解得k 1，b200y x200设每天的利润为z（元） ，则z (x+200)(x 120) x2320 x24000 (x 160)21600，当 x160 时， z 取最大值1600答： 当售价为160 元/件时，每天的利润最大，为1600 元例 3 把二次函数yx2bxc 的图像向上平移2 个单位，再向左平移4 个单位，得到函数yx2的图像，求b，c 的值解法一： yx2bxc(x+2b)224bc，把它的图像向上平移2 个单位， 再向左平移4 个单位， 得到22(4)22

47、4bbyxc的图像，也就是函数yx2的图像，所以，x y o x2baa24(,)24bacbaa图 2.2-3 x y o x2baa24(,)24bacbaa图 2.2-4 x o y x 1 a(1,4) d(0,1) b c 图 2.25 平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 15 - 240,220,4bbc解得 b 8，c 14解法二： 把二次函数yx2bx c 的图像向上平移2 个单位，再向左平移4 个单位，得到函数yx2的图像，等价于把二次函数yx2的图像向下平移2 个单位，再向右平移4 个单位，得到函数yx2bxc 的图像由于把二次函数yx2的图像向下平移2 个

48、单位，再向右平移4 个单位，得到函数y(x 4)22 的图像，即为yx28x14 的图像，函数yx2 8x14 与函数 yx2bxc 表示同一个函数，b 8，c14说明： 本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题三、练习a 1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（a

49、）y2x2（b）y2x2 4x2 （c）y2x2 1 （d）y2x2 4x（2）函数 y2(x 1)22 是将函数y 2x2（）（a）向左平移1 个单位、再向上平移2 个单位得到的（b）向右平移2 个单位、再向上平移1个单位得到的（c）向下平移2 个单位、再向右平移1 个单位得到的（d）向上平移2 个单位、再向右平移1 个单位得到的2填空题（1）二次函数y2x2mx n 图象的顶点坐标为(1， 2)，则 m， n（2）已知二次函数yx2+(m2)x2m，当 m时，函数图象的顶点在y 轴上；当m时，函数图象的顶点在x 轴上；当 m时，函数图象经过原点（3） 函数 y 3(x2)2 5 的图象的开

50、口向， 对称轴为， 顶点坐标为； 当 x时， 函数取最值y；当 x时， y 随着 x 的增大而减小3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随 x 的变化情况，并画出其图象（1）yx2 2x3；（2） y16 x x22.2.2 二次函数的三种表示方式一、复习引申：通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式： yax2 bxc(a 0)；2顶点式： ya(x h)2k (a 0)，其中顶点坐标是(h，k)除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数yax2bxc(a 0)的图象与x 轴交点个数当抛

51、物线yax2bx c(a 0)与 x 轴相交时，其函数值为零，于是有ax2bxc0并且方程的解就是抛物线yax2bxc(a 0)与 x 轴交点的横坐标（纵坐标为零） ，于是，不难发现，抛物线 yax2bxc(a 0)与 x 轴交点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式 b24ac 有关，由此可知，抛物线yax2bxc(a 0)与 x 轴交点个数与根的判别式 b24ac 存在下列关系：（1）当 0 时，抛物线yax2bxc(a 0)与 x 轴有两个交点；反过来，若抛物线yax2bxc(a 0)与 x 轴有两个交点，则0 也成立（2）当 0 时，抛物线yax2 bxc(a

52、0)与 x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线yax2bxc(a 0)与 x 轴有一个交点，则 0 也成立（3）当 0 时，抛物线yax2 bxc(a 0)与 x 轴没有交点；反过来，若抛物线yax2bx c(a 0)与 x 轴没有交点，则 0也成立于是，若抛物线yax2bxc(a 0)与 x 轴有两个交点a(x1，0)，b(x2，0)，则 x1，x2是方程ax2bx c0 的两根，所以x1x2ba，x1x2ca，即ba (x1x2)，cax1x2平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 16 - 所以， yax2bxca(2bcxxaa) = ax2(x1 x2)x x

53、1x2 a(xx1) (x x2)由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线yax2bx c(a 0)与 x 轴交于 a(x1，0)，b(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为ya(xx1) (xx2) (a 0)这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式： ya(x x1) (xx2) (a 0)，其中 x1，x2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题二、典型例题：例 1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1 上，并且图象经过点（3， 1） ，求二次函数的

54、解析式分析： 在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件 最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a解： 二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2又顶点在直线yx1 上，所以， 2x1， x1顶点坐标是（1，2） 设该二次函数的解析式为)0(2)1(2axay，二次函数的图像经过点（3， 1） ， 2)13(12a，解得 a43二次函数的解析式为2)1(432xy，即 y=4523432xx说明： 在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘

55、题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题例 2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式分析一： 由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式解法一： 二次函数的图象过点(3，0)，(1， 0)，可设二次函数为ya(x 3) (x1) (a0) ，展开，得yax22ax3a， 顶点的纵坐标为2212444aaaa，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2， |4a|2，即 a12所以，二次函数的表达式为y21322xx，或 y21322xx分析二： 由于二次函

56、数的图象过点(3，0)， (1，0)，所以，对称轴为直线x 1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为 2，或 2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或 (1，0)，就可以求得函数的表达式解法二： 二次函数的图象过点(3，0)，(1， 0)，对称轴为直线x 1又顶点到x 轴的距离为2，顶点的纵坐标为2，或 2于是可设二次函数为ya(x1)22，或 ya(x1)22，由于函数图象过点(1，0)，0a(1 1)22，或 0a(1 1)22 a12，或 a12所以，所求的二次函数为y12(x1)2 2，或 y12(x1)22说明： 上述两种解法分别从

57、与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题例 3 已知二次函数的图象过点(1， 22)，(0， 8)，(2，8)，求此二次函数的表达式解： 设该二次函数为yax2bxc(a 0)由函数图象过点( 1， 22)，(0， 8)， (2， 8)，可得22,8,842,abccabc解得a 2，b12，c 8所以，所求的二次函数为y 2x212x8通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？三、练习a 1选择题 : （1）函数 y x2x1 图象与

58、 x 轴的交点个数是（）（a）0 个（b）1 个（c）2 个（d）无法确定平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 17 - （2）函数 y12(x1)22 的顶点坐标是（）（a）(1，2) （b）(1， 2) （c）( 1，2) （d）(1， 2) 2填空：（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点 ( 1，0)和 (2， 0)，则该二次函数的解析式可设为y a(a0) （2）二次函数y x2+23x1 的函数图象与x 轴两交点之间的距离为3根据下列条件，求二次函数的解析式（1）图象经过点(1， 2)，(0， 3)，(1， 6)；（2）当 x3 时，函数有最小值5，且经过点 (1，

59、11)；（3）函数图象与x 轴交于两点 (12，0)和(12，0)，并与 y 轴交于 (0， 2)2.2.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1平移变换问题 1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点 只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可例 1 求把二次函数yx24x3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2 个单位，向下平移1 个单位；（2）向上平移

60、3 个单位，向左平移2 个单位分析： 由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式解： 二次函数y2x2 4x3 的解析式可变为y2(x1)21，其顶点坐标为(1， 1)（1）把函数 y2(x1)21 的图象向右平移2 个单位， 向下平移1 个单位后， 其函数图象的顶点坐标是(3，- 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y 2(x3)22（2）把函数 y2(x1)21 的图