《中考课件初中数学总复习资料》专题18：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之互补型旋转-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）

1、专题18：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之互补型旋转一、单选题1rtabc中，ab=ac，点d为bc中点mdn=90°，mdn绕点d旋转，dm、dn分别与边ab、ac交于e、f两点下列结论(be+cf)=bc，ad·ef，adef，ad与ef可能互相平分，其中正确结论的个数是（ ）a1个b2个c3个d4个二、填空题2如图，p是等边三角形abc内一点，将线段bp绕点b逆时针旋转60°得到线段bq，连接aq若pa=4，pb=5，pc=3，则四边形apbq的面积为_3如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，o1，o2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积

2、是_4如图，在平面直角坐标系xoy中，a,b两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且oa=ob，点c在第一象限，oc=3，连接bc，ac，若bca=90°，则bc+ac的值为_三、解答题5如图，在中，点在上，点在上，连接，垂足为证明：6在中，于点,（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：;7探究问题：(1)方法感悟：如图，在正方形abcd中，点e，f分别为dc，bc边上的点，且满足baf45°，连接ef，求证debfef感悟解题方法，并完成下列填空：将ade绕点a顺时针旋转90

3、°得到abg，此时ab与ad重合，由旋转可得：abad，bgde，12，abgd90°， abgabf90°90°180°，因此，点g，b，f在同一条直线上 eaf45° 23badeaf90°45°45° 12，1345°即gaf_又agae，afae gaf_ _ef，故debfef(2)方法迁移：如图，将rtabc沿斜边翻折得到adc，点e，f分别为dc，bc边上的点，且eaf12dab试猜想de，bf，ef之间有何数量关系，并证明你的猜想8如图，abc是边长为4的等边三角形，点d是线段b

4、c的中点，edf=120°，把edf绕点d旋转，使edf的两边分别与线段ab、ac交于点e、f（1）当dfac时，求证：be=cf；（2）在旋转过程中，be+cf是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由9如图所示，中，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将三角板绕点按逆时针方向旋转.（1）在如图所见中，交于，交于，证明；（2）继续旋转至如图所见，延长交于，延长交于，证明.10如图1，四边形abcd中，bdad，e为bd上一点，aebc，cebd，ceed（1）已知ab10，ad6，求cd；（2）如图2，f为ad上一点，afde

5、，连接bf，交bf交ae于g，过g作ghab于h，bgh75°求证：bf2gh+eg11一位同学拿了两块三角尺，做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设.（1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为_，周长为_.（2）将如图1所示中的绕顶点逆时针旋转，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为_，周长为_.（3）如果将绕旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为_.（4）在如图3所示情况下，若，求出重叠部分图形的周长.12阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点e、f分别在正方形abcd的边bc，cd上，eaf=45&

6、#176;，连结ef，则ef=be+df，试说明理由小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段ab，ad是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法她的方法是将abe绕着点a逆时针旋转90°得到adg，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形abcd中，ab=ad，bad=90°点e，f分别在边bc，cd上，eaf=45°若b，d都不是直角，则当b与d满足_ 关系时，仍有ef=be+df；（2）如图4，在abc中，bac=90&#

7、176;，ab=ac，点d、e均在边bc上，且dae=45°，若bd=1， ec=2，求de的长参考答案1c【解析】【分析】【详解】解:rtabc中，ab=ac，点d为bc中点mdn=90°，ad =dc，ead=c=45°，eda=mdnadn =90°adn=fdcedafdc（asa）ae=cfbe+cf= be+ ae=ab在rtabc中，根据勾股定理，得ab=bc(be+cf)=bc结论正确设ab=ac=a，ae=b，则af=be= ab结论正确如图，过点e作eiad于点i，过点f作fgad于点g，过点f作fhbc于点h，adef相交于点o四边

8、形gdhf是矩形，aei和agf是等腰直角三角形，eoei（efad时取等于）=fh=gd，ofgh（efad时取等于）=agef=eoofgdag=ad结论错误edafdc，结论错误又当ef是rtabc中位线时，根据三角形中位线定理知ad与ef互相平分结论正确综上所述，结论正确故选c2【解析】【分析】由旋转的性质可得bpq是等边三角形，由全等三角形的判定可得abqcbp(sas)，由勾股定理的逆定理可得apq是直角三角形，求四边形的面积转化为求两个特殊三角形的面积即可【详解】解：连接pq，由旋转的性质可得，bp=bq，又pbq=60°，bpq是等边三角形，pq=bp，在等边三角形a

9、bc中，cba=60°，ab=bc，abq=60°-abpcbp=60°-abpabq=cbp在abq与cbp中 ，abqcbp(sas)，aq=pc，又pa=4，pb=5，pc=3，pq=bp=5，pc=aq=3，在apq中，因为，25=16+9，由勾股定理的逆定理可知apq是直角三角形，故答案为：【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及特殊三角形的面积，解题的关键是作出辅助线，转化为特殊三角形进行求解32【解析】【分析】根据题意作图，连接，可得，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面

10、积的关系，从而得出答案【详解】解：连接、，如图：，四边形是正方形，在和中，、两个正方形阴影部分的面积是，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是，故答案为：2【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，把阴影部分进行合理转移是解决本题的难点，难度适中4【解析】【分析】可将obc绕着o点顺时针旋转90°，所得的图形与oac正好拼成等腰直角三角形bc+ac等于等腰三角形的斜边cd.【详解】解：将obc绕o点旋转90°，ob=oa点b落在a处，点c落在d处且有od=oc=3，cod=90°，oad=obc，在四边形oacb中boa=bca=90°，obc

11、+oac=180°，oad+oac=180°c、a、d三点在同一条直线上，ocd为等要直角三角形，根据勾股定理cd2=oc2+od2即cd2=32+32=18解得cd= 即bc+ac=.【点睛】本题考查旋转的性质，旋转前后的图形对应边相等，对应角相等.要求两条线段的长，可利用作图的方法将两条线段化成一条线段，再求这条线段的长度即可，本题就是利用旋转的方法做到的，但做本题时需注意，一定要证明c、a、d三点在同一条直线上.本题还有一种化一般为特殊的方法，因为答案一定可考虑cby轴的情况，此时四边形oacb刚好是正方形，在做选择或填空题时，也可以起到事半功倍的效果.5见解析【解析

12、】【分析】如图，延长到点，使，连接、，根据四边形的内角和和邻补角互补可得，进而可根据sas证明，可得，进一步即可求得，然后利用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识即可证得结论【详解】证明：如图，延长到点，使，连接、，【点睛】本题考查了四边形的内角和、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和解直角三角形等知识，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键6(1) ；(2)见解析；(3)见解析.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 adbddc ，求出 mbd30°，根据勾股定理计算即可； （2）证明bdeadf，根据全等三角形的性质证明； （3）过点 m作

13、 mebc交 ab的延长线于 e，证明bmeamn，根据全等三角形的性质得到 bean，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论【详解】（1）解：，由勾股定理得，即，解得，；（2）证明：，在和中，；（3）证明：过点作交的延长线于，则，在和中，【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键7(1)eaf、eaf、gf；(2)debfef.【解析】【分析】（1）利用角之间的等量代换得出gaf=fae，再利用sas得出gafeaf，得出答案；（2）将ade顺时针旋转90°得到abg，再证明agfaef，

14、即可得出答案；【详解】解：（1）如图所示；根据等量代换得出gaf=fae，利用sas得出gafeaf，gf=ef，故答案为：fae；eaf；gf； (2)debfef，理由如下：假设bad的度数为m，将ade绕点a顺时针旋转，m°得到abg，如图，此时ab与ad重合，由旋转可得： abad，bgde，12，abgd90°， abgabf90°90°180°， 因此，点g，b，f在同一条直线上 eaf=12m°， 2+3=bad-eaf=m°-12m°=12m° 12， 1312m° 即gafea

15、f在agf和aef中，agaegafeafafaf， gafeaf（sas） gfef又 gfbgbfdebf， debfef【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、以及折叠的性质和旋转变换性质等知识，证得gafeaf是解题的关键8（1）证明见解析；（2）是，2.【解析】【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求dea=90°，根据“aas”可判定bdecdf，即可证be=cf；（2）过点d作dmab于m，作dnac于n，如图2，易证mbdncd，则有bm=cn，dm=dn，进而可证到emdfnd，则有em=fn，就可得到be+cf=bm+em+cf=bm+fn+

16、cf=bm+cn=2bm=2bd×cos60°=bd=bc=2.【详解】（1）abc是边长为4的等边三角形，点d是线段bc的中点，b=c=60°，bd=cd，dfac，dfa=90°，a+edf+afd+aed=180°，aed=90°，deb=dfc，且b=c=60°，bd=dc，bdecdf（aas）（2）过点d作dmab于m，作dnac于n，则有amd=bmd=and=cnd=90°a=60°，mdn=360°-60°-90°-90°=120°edf

17、=120°，mde=ndf在mbd和ncd中，mbdncd（aas）bm=cn，dm=dn在emd和fnd中，emdfnd（asa）em=fn，be+cf=bm+em+cf=bm+fn+cf=bm+cn=2bm=2bd×cos60°=bd=bc=2.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到bm=cn，dm=dn，em=fn是解决本题的关键9(1)见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）连接bd，证明dmbdnc根据已知，全等条件已具备两个，再证出mdb=ndc，用asa证明全等，四边

18、形dmbn的面积不发生变化，因为它的面积始终等于abc面积的一半；（2）同样利用（1）中的证明方法可以证出dmbdnc；（3）方法同（1）【详解】证明：（1）连接bd,ab=bc，abc=90°，点d为ac的中点bdac，a=c=45°bd=ad=cdabd=a=45°mbd=c=45°mdb+bdn=90°ndc+bdn=90°mdb=ndc在mdb和ndc中 mdbndc（asa）dm=dn（5分）（2）dm=dn仍然成立理由如下：连接bd，由（1）知bdac，bd=cdabd=acb=45°abd+mbd=180

19、76;acb+ncd=180° mbd=ncdbdacmdb+mdc=90°又ndc+mdc=90°mdb=ndc在mdb和ndc中 mdbndc（asa） dm=dn.【点睛】本题主要考查学生的推理能力，题目比较典型，利用asa求三角形全等（手拉手模型），还运用了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，及等腰三角形三线合一定理等知识10（1）2；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由勾股定理得出bd8，由hl证得rtadertbec，得出bead，则ceedbdbebdad2，由等腰直角三角形的性质即可得出结果；（2）连接cf，易证afce，adce

20、，得出四边形aecf是平行四边形，则aecf，aecf，得出cfdead，cfbagf，由rtadertbec，得出cbeead，推出cbecfd，证得bcf是等腰直角三角形，则bfbccfae，fbcbfc45°，推出agf45°，agh60°，gah30°，则ag2gh，得出bfae（ag+eg），即可得出结论【详解】（1）解：bdad，bd8，cebd，cebeda90°，在rtade和rtbec中，rtadertbec（hl），bead，ceedbdbebdad862，cdce2；（2）解：连接cf，如图2所示：afde，dece，af

21、ce，bdad，cebd，adce，四边形aecf是平行四边形，aecf，aecf，cfdead，cfbagf，由（1）得：rtadertbec，cbeead，cbecfd，fbd+bfc+cfd90°，fbd+bfc+cbe90°，bcf90°，aebc，bccf，bcf是等腰直角三角形，bfbccfae，fbcbfc45°，agf45°，bgh75°，agh180°45°75°60°，ghab，gah30°，ag2gh，bfae（ag+eg），bf2gh+eg【点睛】本题考查了等腰

22、直角三角形的判定与性质、含30°角直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质、作辅助线构建平行四边形是解题的关键11（1）4，；（2）4，8；（3）4；（4）【解析】【分析】根据，得出ab的值，再根据m是ab的中点，得出，求出重叠部分的面积，再根据am，mc，ac的值即可求出周长；  易得重叠部分是正方形，边长为，面积为，周长为  过点m分别作ac、bc的垂线mh、me，垂足为h、求得，则阴影部分的面积等于正方形cemh的面积  先过点m作于点e，于点h，根据，得出，从而得出，最后根据ad和df的值，算出，即可得出答案【详解】解：，是ab的中点，重叠部分的面积是，周长为：；故答案为4，；重叠部分是正方形，边长为，面积为，周长为故答案为4，8过点m分别作ac、bc的垂线mh、me，垂足为h、e，是斜边ab的中点，又，在和中，阴影部分的面积等于正方形cemh的面积，正方形cemh的面积是；