《中考课件初中数学总复习资料》2020年中考数学一轮复习培优训练：《三角形》

1、2020年中考数学一轮复习培优训练：三角形1点d为abc外一点，acb90°，acbc（1）如图1，dce90°，cdce，求证：adcbec；（2）如图2，若cdb45°，aebd，cecd，求证：aebd；（3）如图3，若adc15°，cd，bdn，请直接用含n的式子表示ad的长2如图，abc是等边三角形，d是bc边的中点，以d为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线ab、直线ac于m、n两点以点d为中心旋转mdn（mdn的度数不变），当dm与ab垂直时（如图所示），易证bm+cnbd（1）如图，当dm与ab不垂直，点m在边ab上，点n

2、在边ac上时，bm+cnbd是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图，当dm与ab不垂直，点m在边ab上，点n在边ac的延长线上时，bm+cnbd是否仍然成立？若不成立，请写出bm，cn，bd之间的数量关系，不用证明3如下图，在abc中，abbc，adbc于点d，beac于点e，ad与be交于点f，bhab于点b，点m是bc的中点，连接fm并延长交bh于点h（1）在图1中，abc60°，af3时，fc ，bh ；（2）在图2中，abc45°，af2时，fc ，bh ；（3）从第（1）、（2）中你发现了什么规律？在图3中，abc30°，af

3、1时，试猜想bh等于多少？并证明你的猜想4在图1、2中，已知abc120°，bd2，点e为直线bc上的动点，连接de，以de为边向上作等边def，使得点f在abc内部，连接bf（1）如图1，当bdbe时，ebf ；（2）如图2，当bdbe时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明，若不成立请说明理由；（3）请直接写出线段bd，be，bf之间的关系式5在abc中，acbc，点e是在ab边上一动点（不与a、b重合），连接ce，点p是直线ce上一个动点（1）如图1，acb120°，ab16，e是ab中点，em2，n是射线cb上一个动点试确定点p和点n的位置，使得np+mp的值

4、最小请你在图2中画出点p和点n的位置，并简述画法： 直接写出np+mp的最小值 （2）如图3，acb90°，连接bp，bpc75°且bcbp求证：pcpa6探究题：如图，abbc，射线cmbc，且bc5cm，ab1cm，点p是线段bc（不与点b、c重合）上的动点，过点p作dpap交射线cm于点d，连结ad（1）如图1，若bp4cm，则cd ；（2）如图2，若dp平分adc，试猜测pb和pc的数量关系，并说明理由；（3）若pdc是等腰三角形，则cd cm（请直接写出答案）7综合与探究如图，在平面直角坐标系中，abc90°，abbc，点a（2，0）、b（0，1）（1）

5、在图中，点c坐标为 ；（2）如图，点d在线段oa上，连接bd，作等腰直角三角形bde，dbe90°，连接ce证明：adce；（3）在图的条件下，若c、d、e三点共线，求od的长；（4）在y轴上找一点f，使abf面积为2请直接写出所有满足条件的点f的坐标8已知点p是线段mn上一动点，分别以pm，pn为一边，在mn的同侧作apm，bpn，并连接bm，an（）如图1，当pmap，pnbp且apmbpn90°时，试猜想bm，an之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；（）如图2，当apm，bpn都是等边三角形时，（）中bm，an之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；

6、若不成立，试说明理由（）在（）的条件下，连接ab得到图3，当pn2pm时，求pab度数9阅读下列材料，完成（1）（3）题：数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，abc中，abac，bac90°，点d是bc的中点，e是ac的中点，经过点a、c作射线be的垂线，垂足分别为点f、g，连接ag探究线段df和ag的关系某学习小组的同学经过思考后，交流了自己的想法：小明：“经过观察和度量，发现abf和acg相等”小刚：“经过观察和度量，发现有两条线段和af相等”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段df和ag的关系”老师：“若点e不是ac的中点，其他条件不变（如图2），可以求

7、出的值”（1）求证：affg；（2）探究线段df和ag的关系，并证明；（3）直接写出的值10在abc中，abac，点d是直线bc上一点（不与b，c重合），以ad为一边在ad的右侧作ade，使adae，daebac，连接ce（1）如图1，当点d在线段bc上，如果bac90°，则bce 度；（2）如图2，如果bac60°，则bce 度；（3）设bac，bce如图3，当点d在线段bc上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点d在直线bc上移动，请直接写出，之样的数量关系，不用证明11在平面直角坐标系中，点a（0，m）和点b（n，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，满足（mn）

8、2+|m+n8|0，连接线段ab，点c为ab上一动点（1）填空：m ，n ；（2）如图，连接oc并延长至点d，使得dcoc，连接ad若aoc的面积为2，求点d的坐标；（3）如图，bcob，abo的平分线交线段ao于点e，交线段oc于点f，连接ec求证：ace为等腰直角三角形；bfefoc12如图，在平面直角坐标系中，点b的坐标是（1，0），点c的坐标是（1，0），点d为y轴上一点，点a为第二象限内一动点，且bac2bdo，bd与ac交于点f，过d作dmac于点m（1）求证：abdacd（2）若点e在ba延长线上，求证：ad平分cae（3）在线段mc上取点g，使dgad，求证：abcg13如图（

9、1），在四边形abcd中，已知abc+adc180°，abad，abad，点e在cd的延长线上，且bacdae（1）求证：acae；（2）求证：ca平分bcd；（3）如图（2），设af是abc的边bc上的高，试求ce与af之间的数量关系14如图1，在abc中，abac，点d是bc边上一点（不与点b，c重合），以ad为边在ad的右侧作ade，使adae，daebac，连接ce设bac，bce（1）求证：caebad；（2）探究：当点d在bc边上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图2，若bac90°，ce与ba的延长线交于点f求证：efdc15（1）如图1，在

10、abc中，ad平分bac交bc于d，deab于e，dfac于f求证：dedf，aeaf（2）如图2，在（1）的情况下，如果mdnedf，mdn的两边分别与ab、ac相交于m、n两点，其它条件不变，那么am，an，af有怎样的数量关系？并加以证明（3）如图3，在rtabc中，c90°，bac60°，ac6，ad平分bac交bc于d，mdn120°，ndab，四边形amdn的周长为 （直接写答案）参考答案1（1）证明：dceacb90°，acdbce，又acbc，cecd，acdbce（sas），adcbec（2）如图1，延长dc交ae于f，连bf，aebd

11、，efccdb45°eccd，cefcfe45°，eccfacebcf，acbc，acebcf（sas），aebf，bfcaec45°fdb，bfbd，aebd；（3）如图2，过点c在cd上方作cecd，cecd，连be、de设ad、be交于点o，由（1）知acdbce（sas），becadc15°，doedce90°又cedcde45°，2，bed30°，odde×21，ob，adbeob+oe+2解：（1）结论bm+cnbd成立，理由如下：如图，过点d作deac交ab于e，abc是等边三角形，abc60

12、6;，deac，beda60°，bdec60°，bbedbde60°，bde是等边三角形，edc120°，bdbede，edn+cdn120°，edm+ednmdn120°，cdnedm，d是bc边的中点，debdcd，在cdn和edm中，cdnedm（asa），cnem，bdbebm+embm+cn；（2）上述结论不成立，bm，cn，bd之间的数量关系为：bmcnbd；理由如下：如图，过点d作deac交ab于e，abc是等边三角形，abc60°，ncd120°，deac，beda60°，bdec60&#

13、176;，bbedbde60°，bde是等边三角形，mededc120°，bdbede，ncdmed，edm+cdm120°，cdn+cdmmdn120°，cdnedm，d是bc边的中点，debdcd，在cdn和edm中，cdnedm（asa），cnem，bdbebmembmcn，bmcnbd3解：（1）如图连接cf，adbc，beac，cfab，bhab，cfbh，cbhbcf，点m是bc的中点，bmmc，在bmh和cmf中，bmhcmf（asa），bhcf，abbc，beac，be垂直平分ac，afcf，bhaf，afcfbh3，故答案为：3，3；（

14、2）如图，连接cf，adbc，beac，cfab，bhab，cfbh，cbhbcf，点m是bc的中点，bmmc，在bmh和cmf中，bmhcmf（asa），bhcf，abbc，beac，be垂直平分ac，afcf，bhaf，afcfbh2，故答案为：2，2；（3）从第（1）、（2）中发现afcfbh；猜想bh1，理由如下：如图，连接cf，adbc，beac，cfab，bhab，cfbh，cbhbcf，点m是bc的中点，bmmc，在bmh和cmf中，bmhcmf（asa），bhcf，abbc，beac，be垂直平分ac，afcf，bhaf，afcfbh14解：（1）def是等边三角形，dfefd

15、e，dfe60°，bdbe，dfef，bfbf，dbfebf（sss）dbfebf，且dbf+ebf120°，ebf60°，故答案为：60°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，过点f作fgbc，fhab，dfe60°，abc120°，fdb+feb180°，且feb+feg180°，fdbfeg，且fhdfge90°，fdef，fdhfeg（aas）fhfg，且fgbc，fhab，abffbe60°；（3）由（2）可知：fdhfeg，dheg，bd+bebh+dh+bebh+bg，abffb

16、e60°，fgbc，fhab，bfhbfg30°，bf2bh2bg，bfbh+bgbd+be5解：（1）如图2所示：作点m关于ce的对称点m'，过点m'作m'nbc，垂足为n，交ec于点p，点m与点m'关于ec对称，mpm'p，np+mpnp+m'p，点n，点p，点m'三点共线，且m'nbc时，np+mp的值最小；故答案为：作点m关于ce的对称点m'，过点m'作m'nbc，垂足为n，交ec于点p；acb120°，bcca，ab16，e是ab中点，b30°，beae8，

17、且em2，bm'10，b30°，m'nbc，mn'5，np+mp的最小值为5，故答案为：5；（2）如图3，在be上截取efpe，bpc75°，bcbp，bcpbpc75°，cbp30°，acb90°，accb，cbacab45°，abp15°，bpcpbe+bep75°，bep60°，且efpe，pef是等边三角形，pepfef，fpe60°pfe，pfepbe+bpf，pefbac+ace，bpfbac45°，acepbf15°，且bpbcac，bp

18、fcap（asa）pfae，peae，pea180°bep120°，epapae30°，epapca+pac30°，pcapac15°，pcpa6解：（1）bc5cm，bp4cm，pc1cm，abpc，dpap，apd90°，apb+cpd90°，apb+cpd90°，apb+bap90°，bapcpd，在abp和pcd中，abppcd，bpcd4cm；（2）pbpc，理由：如图2，延长线段ap、dc交于点e，dp平分adc，adpedpdpap，dpadpe90°，在dpa和dpe中，dpad

19、pe（asa），papeabbp，cmcp，abpecprt在apb和epc中，apbepc（aas），pbpc；（3）pdc是等腰三角形，pcd为等腰直角三角形，即dpc45°，又dpap，apb45°，bpab1cm，pcbcbp4cm，cdcp4cm，故答案为：47（1）解：如图中，作chy轴于ha（2，0），b（0，1），oa2，ob1，chbaobabc90°，abo+oab90°，abo+cbh90°，cbhoab，abbc，aobbhc（aas），chob1，oabh2，ohob+bh3，c（1，3）故答案为（1，3）（2）证明：

20、如图中，dbe，abc都是等腰直角三角形，dbeabc90°，bdbe，babc，dbaebc，dbaebc（sas），ecad（3）解：如图中，设cd交ab于jdbaebc，c，e，d共线，bcdbad，bcd+cjb90°，cjbajd，bad+ajd90°，adj90°，cdoa，c（1，3），od1（4）解：设f（0，m）由题意： |m1|22，m3或1，f（0，3）或（0，1）8解：（）结论：bman，bman理由：如图1中，mpap，apmbpn90°，pbpn，mbpanp（sas），mban延长mb交an于点cmbpanp，pa

21、npmb，pan+pna90°，pmb+pna90°，mcn180°pmbpna90°，bman（）结论成立理由：如图2中，apm，bpn，都是等边三角形apmbpn60°mpbapn120°，又pmpa，pbpn，mpbapn（sas）mban（）如图3中，取pb的中点c，连接ac，abapm，pbn都是等边三角形apmbpn60°，pbpn点c是pb的中点，且pn2pm，pcpapmpbpn，apc60°，apc为等边三角形，pacpca60°，又cacb，cababc30°，pabpac+

22、cab90°9（1）证明：如图1中，作ahag交bg于hbachag90°，bahcag，bgcg，eabegc90°，aebceg，abhacg，abac，abhacg（asa），ahag，affg，hag90°，fhfg，affgfh（2）解：结论：ag2df，dfag理由：如图2中，连接ad，dg，作dkbg于kbacbgc90°，bdcd，dadgbc，dfdf，affg，dfadfg（sss），adfgdf，dfag，dkcg，bddc，bkkg，dkcg，aece，afecge，aefceg，aefcge（aas），afcg2dk，

23、adfgdf，afdgfd135°，afk90°，dfk45°，dfdkagaf，ag2df（3）由（2）可知：cg2dk，dfdk，10解：（1）abac，bac90°，abcacb45°，daebac，badcae，且abac，adae，badcae（sas）abcace45°，bceacb+ace90°，故答案为：90；（2）bac60°，abac，abc为等边三角形，abdacb60°，bacdae，badcae，在abd和ace中，badcae，且abac，adae，abdace（sas），ab

24、dace60°，bceace+acb60°+60°120°，故答案为：120（3）+180°，理由：bacdae，bacdacdaedac即badcae在abd与ace中，abdace（sas），baceb+acbace+acbace+acb，b+acb，+b+acb180°，+180°如图1：当点d在射线bc上时，+180°，连接ce，bacdae，badcae，在abd和ace中，abdace（sas），abdace，在abc中，bac+b+acb180°，bac+ace+acbbac+bce180&

25、#176;，即：bce+bac180°，+180°，如图2：当点d在射线bc的反向延长线上时，连接be，bacdae，badcae，且abac，adae，abdace（sas），abdace，abdaceacb+bce，abd+abcace+abcacb+bce+abc180°，bac180°abcacb，bacbce；综上所述：点d在直线bc上移动，+180°或11解：（1）（mn）2+|m+n8|0，mn4，故答案为：4，4；（2）如图1，过点c作choa，cgob，点a（0，4）和点b（4，0），oaob4，sabo×4

26、5;48，aoc的面积为2，ao×ch×4×ch2，sboc6×ob×cg×4×cg，ch1，cg3，点c（1，3），dcoc，点d（2，6）（3）oaob4，aob90°，oaboba45°，be平分abo，eboebc，且bebe，oboc，obecbe（sas）eobecb90°，ace90°，且oab45°，caeaec45°，acce，且ace90°，ace是等腰直角三角形；如图2，作om平分aob，交be于点m，om平分aob，aombom45

27、°，aombomoaboba，oboc，be平分abo，abo45°，obe22.5°，beoc，cobocb67.5°，aoc22.5°com，aocbom，且oboa，oabobm，acoomb（asa）bmoc，efomfo90°，ofof，aoccom，efomfo（asa）effm，bfefbffmbmoc12（1）证明：b（1，0），c（1，0），oboc1，odbc，bdcd，bdc2bdo，bac2bdo，bdcbac，bac+abdafdbdc+acd，abdacd（2）作dnae，垂足为ndmac于点m，dnbdmc90°，在dnb和dmc中，dnbdmc（aas），dndm，又dnae于n，dmac于点m，ad平分cae（3）dgad，dagdga，ad平分cae，dagdaedgadaedae+dabdga+dgc180°，dabdgc，在dab和dgc中，dabdgc（aas）abcg13（1）证明：如图（1），abc+adc18