椭圆的第二定义比值定义的应用

1、椭圆的第二定义（比值定义）的应用教学目标：1椭圆的比值定义，准线的定义2、使学生理解椭圆的比值定义，并掌握基本应用方法3、对学生进行对应统一的教育教学重点：椭圆的比值定义的应用教学难点：随圆的准线方程的应用教学方法：学导式教学过程：一、复习前节我们学习了随圆的第二定义（比值定义）：若囤=巳（0<£1,为常数）则M的轨迹是以F为焦点，L为准线的椭圆。d2注：其中F为定点，F （C, 0），d为M到定直线L：的距离cF与L是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。二、第二定义的应用2 2例1已知A（-2、3）,F是11的右焦点，点 M为椭圆的动点，求16 12MA +2MF

2、的最小值，并求出此时点 M的坐标。分析：此题主要在于 2MF的转化，由第二定义：-，可得出d22MF =d，即为M到L （右准线）的距离。再求最小值可较快的求出解：如图所示，过M作MN _丨于N，L为右准线：x =8，由第二定义，知:MFd二 2MF =d = MNMA +2MF = MA + MN要使MA +2MF为最小值，即：MA + MF为“最小”,由图知：当A、M、N共线，即：AM丄丨时，|MA+2MF|为最小；且最小值为 A到L的距离=10,此时，可设M(x°,、.3)，代入椭圆方程中，解得：X。=2.3故：当M(2、. 3,、.3)时，MA2MF为的最小值为10评注:(1

3、)以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距 离去求，可使题目变得简单。(2) 般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。2 2例2:设P(x°,y°)为椭圆 笃 爲=1，(a b 0)的一点，离心率为e，P到 a b左焦点Fi和右焦点F2的距离分别为ri， r2PFi证明如图，由第二定义:求证：*- ex3 ,r2 = a -e2 a x。+ c2a= e(x° +) =ex)+acr1 =PF1=e2风 x c即:又 PF1 PF2 =2ar2 =2a -a =2a -(a exj注：上述结论a =a ex0， D二a-ex0称为椭圆中的

4、焦半径公式PF=几=a + exo由_ a兰x0兰a得出a ea 二 a c且 a e (_a)二 a _c即 a -c 乞 PF a c当 PF1 =a-c时，P为(-a,0)当 PF1 二a c时，P为(a,0)2练习（1）过X y2 =1的左焦点F作倾斜角为30°的直线交椭圆于A、B9两点，则弦AB的长为_2分析：；AB是焦点弦AB = AF 十 BF =（a 十exA）（a + exB） = 2a + e（xA + xB）只需求Xa Xb二？（用联立方程后，韦达定理的方法可解）（学生完成）2 2（2）F1、F2为亠+厶=1的左、右焦点，P为椭圆上的一点，若PF=3PF2644

5、8则P到左准线的距离为24分析：由焦半径公式，设 P（x0,y0）得a ex° = 3（a - ex°）即x0 = 8,又左准线为：x - 一16则P到左准线距离为8-（-16） =24例3设椭圆的左焦点为F，AB过F的弦，试分析以AB为直径的圆与左 准线L的位置关系解，设M为弦AB的中点，（即为“圆心”）作 AA L于A, BB1 _ L于B1，MM1_L于M“由椭圆的第二定义知：AB| = AF| +|BF =e（AA +|BB1）0：e：1. AB|4AAj“|BB又在直角梯形ABBA1中，MM1是中位线二 AA +|BB1 =2MM1刚AB即：AB c2MM1二< MM 12AB（为圆M的半径r,MM1为圆心M到左准线的距离d= r cd2故以AB为直径的圆与左准线相离四、小结本节，重点是掌握第二定义的应用方法，特别是焦半径公式的运用（通常在焦点弦中米用）五、作业