一阶微分方程解题方法指导

1、一阶微分方程解题方法指导刘兵军在高数下刖中，微分方程一章是独立性很强的内容，和积分与级数这些内容没冇什么联 系，故可以灵活安排讲授时间，即使在讲多元函数偏导数之前讲授本章内容也是可以的.所谓微分方程就是山未知函数及其导数构成的等式.方程中所含未知函数导数的最高 阶叫作微分方程的阶.如果方程的解中含冇任意常数尺英个数与方程阶数相同，则称这样的 解为微分方程的通解.满足确定任意常数初始条件的解为特解.求解微分方程就是求其通 解或进一步求满足某条件的特解.木文主要讨论一阶微分方程空=f(x,y)的求解问题.dx一、可分离变量的方程一个一阶微分方程能变形为如下形式：g(y)dy = fmdx(1)则称

2、其为可分离变量的方程.假定方程(1)中g(y)和/(兀)是连续的，则在(1)两边积分可得方程的解.经过变形把方程变为(1)的形式，是解题的关键所在.例1求微分方程dy_2xy的通解.dx _解：分离变量得dy _2xdxy两边积分得-ixdx即in y 二= x2+c,mw =%令 c = ec可得 y =cly =-dx"1 宀1ln(r l) = ln(/+l) + lnc例2.求微分方程的通解(£心-ex)dx + (ex+y-ey)dy = o.解：分离变量得两边积分得bp得二、齐次方程("_1)0+1) = c若一阶微分方程冬=f(x, y)中的/(x,

3、y)可写为丄的函数°(丄)，则称其为齐次方dxxx程令 u=即 y = ux , xdydxdudx从而得出分离变量得u + x dx0(u)du _ dx(p(u)-u x按分离变量法解得方程解，再把"还原为-即得原来方程的通解. 例3.求微分方程(x2 + y2)dx一xydy = 0的通解.解：变形得虬3=皿dx xya y zndydu令 u=得 y = ux ,=u + xxdxdx2“du 1 + u 1原方不上变为 it + x = udx u udu 1即分离变量得两边积分得将u还原得x=dx uudu = dxx=lnx + lnc.2iy2 =x2 ln

4、(c!2x2) = x2ln(cx2)其中 c = c例4.求解微分方程dx= yln的通解.x解：变形得dx x x令2上得xy - ux ,dydu=w + x dxdx则方程变为duu + x dx=u in u分离变虽:得du-/yw(ln w 一cia1)x两边积分得ln(lnw 一1) = lnx + lnc即in w -1 =:cx把m还原得ln-l =cx),=d 1三、一阶线性微分方程形如豉+ p（x）y = g（x）的微分方程称为阶线性微分方程. dx若qs）三0,则称z为齐次的，否则称为非齐次的.对于一阶线性齐次微分方程- + p（x）y = 0 ,用分离变量法，易得其通

5、解为 dxy = cex）（lx,再用常数变界法可得相应非齐次方程的通解为上式右端第一项为对应齐次方程通解，第二项为非齐次方程的一个特解.即一阶非齐次 线性微分方程的通解等于对应齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.上述求解公式的推导过程称为常数变界法，各类高等数学教科帖中都有此方法的详细过程，在此不再重复.只需把（3） 当作一个公式套用即可.具体使用（3）求解一阶线性微分方程时，应该注意把方程变为（3）的标准形式，否则 容易出错.例5.求方程乞=2匚+ （兀+ 1卩的通解.dx x +12解：本方程是一阶线性非齐次微分方程，可用（3）式來求解，但应注意x + 1 把方程变形得 一一 y

6、=（兀+ 1）2dx x + 1/ pm =, q(x) = (x + 1)2x + 1得尸/卩皿(似兀)>"仏+ 0 之十知(jg + i)訂卜®n + c)=严叭"兀+ 1/严小+c)2 -=(“1)2&+i)2+c'例6.求解方程2丄=的通解.dx 3x + 2y解：本方程并不是一个一阶线性微分方程，但经过适当的变形后，可变为一个以兀为函 数y为自变量的一阶线性微分方程.变形得=2(3x + 2 刃 dydx厂力6x = 4ydy代入(3)得尸円恥(似必闷怙+ c)= "(j4)j®+c)二严(j4wfy + c)91= e6y(-ye-6y-e-6y +c)3971=yf ce6y3'9以上6道例题基本展示了一阶微分方程求解过程和注意事项.在求解一阶线性微分方程时, 学员应首先分清方程的类型，即可分离