高考导数压轴题型归类总结

1、1 / 99 导数压轴题型归类总结目录一、导数单调性、极值、最值的直接应用（1）二、交点与根的分布（23 ）三、不等式证明（31 ）（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式（三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母x围（51 ）（一）恒成立之最值的直接应用（二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母x围五、函数与导数性质的综合运用（70 ）六、导数应用题（84 ）七、导数结合三角函数（85 ）书中常用结论sin,(0,)xx x，变形即为sin1xx，其几何意义为sin,(0,)yx x上的的点与原点连线斜率小于1. 1xexln(1)xxln,0 xxxex. 2 / 99

2、 一、导数单调性、极值、最值的直接应用1.（切线） 设函数axxf2)(. （1）当1a时，求函数)()(xxfxg在区间 1, 0上的最小值；（2）当0a时，曲线)( xfy在点)(,(111axxfxp处的切线为 l ，l 与x轴交于点)0,(2xa求证：axx21. 解： (1)1a时，xxxg3)(，由013)(2xxg，解得33x. )( xg的变化情况如下表：x0 )33,0(33) 1 ,33(1 )(xg- 0 + )(xg0 极小值0 所以当33x时，)(xg有最小值932)33(g. (2)证明：曲线)( xfy在点)2,(211axxp处的切线斜率112)(xxfk曲线)

3、(xfy在点 p处的切线方程为)(2)2(1121xxxaxy. 令0y，得12122xaxx，12111211222xxaxxaxxxax1，02121xxa，即12xx. 又1122xax，axaxxaxxaxx11111212222222所以axx21. 2.（2009xx理20 ，极值比较讨论）已知函数22( )(23 )(),xf xxaxaa exr其中ar当0a时，求曲线( )(1, (1)yf xf在点处的切线的斜率；当23a时，求函数( )f x的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力与分类讨论的

4、思想方法。.3)1 ( )2()( )(022efexxxfexxfaxx，故，时，当.3)1(, 1()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线.42)2()( 22xeaaxaxxf3 / 99 .2232.220)( aaaaxaxxf知，由，或，解得令以下分两种情况讨论：a若32，则a22a.当x变化时，)()( xfxf，的变化情况如下表：xa2，a222aa，2a，2a+ 0 0 + 极大值极小值.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，在所以aaaaxf.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极大值在函数.)34()2()2(2)(2aeaafafax

5、xf，且处取得极小值在函数a若32，则a22a，当x变化时，)()( xfxf，的变化情况如下表：x2a，2aaa22，a2，a2+ 0 0 + 极大值极小值内是减函数。，内是增函数，在，在所以)22()2()2()(aaaaxf.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极大值在函数.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极小值在函数3.已知函数221( )2, ( )3ln.2f xxax g xaxb设两曲线( )( )yf xyg x与有公共点，且在公共点处的切线一样，若0a，试建立b关于a的函数关系式，并求b的最大值；若0, 2,( )( )( )(

6、2)bh xf xg xab x在(0,4) 上为单调函数，求a的取值 x围。4 / 99 4.（最值，按区间端点讨论）已知函数f(x)=ln xax. (1)当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在1,e上的最小值为32，求a的值 . 解： (1)由题得f(x)的定义域为 (0, )，且f(x)1x2ax2xax. a0 ，f(x)0，故f(x)在(0, )上是单调递增函数. (2)由(1)可知：f(x)2xax，若a 1，则xa0，即f(x)0在1,e上恒成立，此时f(x)在1,e上为增函数，f(x)minf(1)a32，a32(舍去 ). 若ae，则xa0，即f(x)

7、0在1,e上恒成立，此时f(x)在1,e上为减函数，f(x)minf(e) 1ae32，a2e(舍去 ). 若ea 1，令f(x) 0，得xa. 当1xa时，f(x)0 ，f(x)在 (1, a)上为减函数；当ax0，f(x)在 (a,e)上为增函数，f(x)minf(a) ln( a)132?ae. 综上可知：ae. 5.（最值直接应用）已知函数)1ln(21)(2xaxxxf，其中ar. （）若2x是)(xf的极值点，求a的值；（）求)(xf的单调区间；5 / 99 （）若)(xf在0,)上的最大值是0，求a的取值 x 围. 解： （）(1)( ),( 1,)1xaaxfxxx. 依题意，

8、令(2)0f，解得13a. 经检验，13a时，符合题意. （）解：当0a时，( )1xfxx. 故)(xf的单调增区间是(0,)；单调减区间是)0, 1(. 当0a时，令( )0fx，得10 x，或211xa. 当10a时，( )f x与( )fx的情况如下：x1( 1,)x1x12(,)xx2x2(,)x( )fx00( )f x1()f x2()f x所以，( )f x的单调增区间是1(0,1)a；单调减区间是)0 ,1(和1(1,)a. 当1a时，)(xf的单调减区间是), 1(. 当1a时，210 x，( )f x与( )fx的情况如下：x2( 1,)x2x21(,)xx1x1(,)x

9、( )fx00( )f x2()f x1()f x所以，( )f x的单调增区间是1(1,0)a；单调减区间是1( 1,1)a和(0,). 当0a时，)(xf的单调增区间是(0,)；单调减区间是)0, 1(. 综上，当0a时，)(xf的增区间是(0,)，减区间是)0 , 1(；当10a时，( )f x的增区间是1(0,1)a，减区间是)0, 1(和1(1,)a；当1a时，)(xf的减区间是), 1(；当1a时，( )f x的增区间是1(1,0)a；减区间是1( 1,1)a和(0,). （）由（）知0a时，)(xf在(0,)上单调递增，由0)0(f，知不合题意. 当10a时，)(xf在(0,)的

10、最大值是1(1)fa，6 / 99 由1(1)(0)0ffa，知不合题意 . 当1a时，)(xf在(0,)单调递减，可得)(xf在0,)上的最大值是0)0(f，符合题意 . 所以，)(xf在0,)上的最大值是0时，a的取值 x 围是1,). 6.（2010 理数 18 ）已知函数( )f x=ln(1+x)-x+22xx(k0). ()当k=2时，求曲线y=( )f x在点 (1,f(1)处的切线方程；()求( )f x的单调区间 . 解： （i）当2k时，2( )ln(1)f xxxx，1( )121fxxx由于(1)ln 2f，3(1)2f，所以曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切

11、线方程为3ln 2(1)2yx即322ln 230 xy（ii ）(1)( )1x kxkfxx，( 1,)x. 当0k时，( )1xfxx. 所以，在区间( 1,0)上，( )0fx；在区间(0,)上，( )0fx. 故( )f x得单调递增区间是( 1,0)，单调递减区间是(0,). 当01k时，由(1)( )01x kxkfxx，得10 x，210kxk所以，在区间( 1,0)和1(,)kk上，( )0fx；在区间1(0,)kk上，( )0fx故( )f x得单调递增区间是( 1,0)和1(,)kk，单调递减区间是1(0,)kk. 当1k时，2( )1xfxx故( )f x得单调递增区间

12、是( 1,). 当1k时，(1)( )01x kxkfxx，得11( 1,0)kxk，20 x. 所以没在区间1( 1,)kk和(0,)上，( )0fx；在区间1(,0)kk上，( )0fx故( )f x得单调递增区间是1( 1,)kk和(0,)，单调递减区间是1(,0)kk7.（2010xx文21 ，单调性）7 / 99 已知函数1( )ln1()af xxaxarx当1a时，求曲线( )yf x在点(2,(2)f处的切线方程；当12a时，讨论( )f x的单调性 . 解：ln 20 xy因为11ln)(xaaxxxf，所以211)( xaaxxf221xaxax，), 0(x，令,1)(2

13、axaxxg),0(x8.(是一道设计巧妙的好题，同时用到e 底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想，联系紧密)已知函数( )ln,( ).xf xx g xe若函数 (x) = f(x)11xx，求函数 (x)的单调区间；设直线l为函数f(x)的图象上一点a(x0，f(x0)处的切线，证明：在区间(1,+ )上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切解： （）1( )1xxfxx11lnxxx，22211121xxxxxx0 x且1x，0 x函数( )x 的单调递增区间为，和 11 ,0（）1( )fxx，001()fxx， 切线l的方程为0001ln()y

14、xxxx, 即001ln1yxxx, 设直线 l 与曲线( )yg x 相切于点11(,)xx e，( )xgxe，101xex，10lnxx,0ln101()xg xex. 8 / 99 直线 l 也为00011lnyxxxx， 即0000ln11xyxxxx，由得0000ln1ln1xxxx，0001ln1xxx下证：在区间（1,+）上0 x存在且唯一 . 由（）可知，( )x11lnxxx在区间1,+（） 上递增又12( )ln011eeeee，22222213()ln011eeeeee，结合零点存在性定理，说明方程( )0 x必在区间2( ,)e e上有唯一的根，这个根就是所求的唯一0

15、 x，故结论成立9.（最值应用，转换变量）设函数221( )(2)ln(0)axf xaxax(1)讨论函数( )f x在定义域内的单调性；(2)当( 3, 2)a时，任意12,1,3x x，12(ln 3)2ln 3|()() |maf xf x恒成立， xx 数m的取值 x围解：221( )2afxaxx222(2)1axa xx2(1)(21)axxx当2a时，112a，增区间为1 1(,)2a，减区间为1(0,)a，1(,)2当2a时，112a，减区间为(0,)当20a时，112a，增区间为11(,)2a，减区间为1(0, )2，1(,)a由知，当( 3, 2)a时，( )fx在1,3

16、上单调递减，12,1,3x x，12|()() |f xf x(1)(3)ff1(12 )(2)ln 36 3aaa，即12|()()|f xf x24(2)ln 33aa12(ln 3)2ln 3|()() |maf xf x恒成立，(ln 3)2ln 3ma24(2)ln 33aa，即243maa，又0a，243ma( 3, 2)a，132384339a，m13310.（最值应用）已知二次函数( )g x对xr都满足2(1)(1)21g xgxxx且(1)1g，设函数9 / 99 19( )()ln28f xg xmx（mr，0 x） （）求( )g x的表达式；（）若xr，使( )0f

17、x成立， xx数m的取值 x围；（）设1me，( )( )(1)h xf xmx，求证：对于121,xxm，恒有12|()() | 1h xh x解： （）设2g xaxbxc，于是2211212212g xgxa xcx， 所以121.ac，又11g，则12b所以211122g xxx3分（）2191( )lnln(0).282f xg xmxxmx mxr，当m0时，由对数函数性质，f（x）的值域为 r；4分当m=0时，2( )02xf x对0 x，( )0f x恒成立；5分当m0时，由( )0mfxxxmx，列表：x (0)m，m()m，( )fx0 ( )f x减极小增min( )()

18、ln.2mf xfmmm这时，minln0( )0e0时，( )f x在区间（ 0，1）上的单调递减，在区间（ 1，4）上单调递增，函数( )f x在区间0, 4上的最小值为(1)(2)fae又(0)f(23)xbea0，4(4)(213)0fae，函数( )f x在区间 0 ，4 上的值域是(1),(4)ff，即4 (2) ,(213)aeae 又24( )(14)xg xae在区间 0， 4上是增函数，且它在区间 0，4上的值域是2428(14),(14)aeae. 24(14)ae4(213)ae24(21)aae24(1)0ae，12 / 99 存在 4, 0,21使得1|)()(|2

19、1ff成立只须24(14)ae4(213)ae0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)上，( )0fx， 故( )(0,)f x 在上单调递增当2a时, 0,g(x)=0的两根为221244,22aaaaxx，当10 xx时，( )0fx； 当12xxx时，( )0fx； 当2xx时，( )0fx， 故( )f x分别在12(0,),(,)xx上单调递增，在12(,)x x上单调递减由知，若( )f x有两个极值点12,x x，则只能是情况，故2a因为1212121212()()()(lnln)xxf xf xxxaxxx x，所以1212121212()()lnln11f xf xxxka

20、xxx xxx又由知，121x x，于是1212lnln2xxkaxx若存在a，使得2.ka则1212lnln1xxxx即1212lnlnxxxx亦即222212ln0(1)(*)xxxx再由知，函数1( )2lnh tttt在(0,)上单调递增，而21x，所以222112ln12ln10.1xxx这与(*)式矛盾故不存在a，使得2.ka18.（构造函数，好，较难）18 / 99 已知函数21( )ln(1) (0)2f xxaxax ara，.求函数( )f x的单调增区间；记函数( )f x的图象为曲线c，设点1122(,)(,)a xyb xy、是曲线c上两个不同点，如果曲线c上存在点0

21、0(,)m xy，使得：1202xxx；曲线c在点m处的切线平行于直线ab，则称函数( )f x存在“中值相依切线”.试问：函数( )f x是否存在中值相依切线，请说明理由. 解： （）函数( )f x的定义域是(0,). 由已知得，1(1)()1( )1a xxafxaxaxx. 当0a时, 令( )0fx,解得01x;函数( )fx在(0,1)上单调递增 当0a时，当11a时，即1a时, 令( )0fx,解得10 xa或1x; 函数( )f x在1(0,)a和(1,)上 单调递增当11a时，即1a时, 显然，函数( )f x在(0,)上单调递增；当11a时，即10a时, 令( )0fx,解

22、得01x或1xa函数( )f x在(0,1)和1(,)a上单调递增 . 综上所述 : 当0a时,函数( )f x在(0,1)上单调递增当1a时,函数( )f x在1(0,)a和(1,)上单调递增当1a时,函数( )f x在(0,)上单调递增；当10a时,函数( )f x在(0,1)和1(,)a上单调递增 . ()假设函数( )f x存在“中值相依切线”. 设11(,)a xy,22(,)b xy是曲线( )yf x上的不同两点，且120 xx，则211111ln(1)2yxaxax，222221ln(1)2yxaxax. 2121abyykxx22212121211(lnln)()(1)()2

23、xxa xxaxxxx211221lnln1()(1)2xxa xxaxx. 19 / 99 曲线在点00(,)m xy处的切线斜率0()kfx12()2xxf12122(1)2xxaaxx，依题意得：211221lnln1()(1)2xxa xxaxx12122(1)2xxaaxx. 化简可得2121lnlnxxxx122xx， 即21lnxx=21212()xxxx21212(1)1xxxx. 设21xtx(1t)，上式化为：2(1)4ln211tttt, 4ln21tt,令4( )ln1g ttt,214( )(1)g ttt22(1)(1)tt t. 因为1t,显然( )0g t，所以

24、( )g t在(1,)上递增 ,显然有( )2g t恒成立 . 所以在(1,)内不存在t,使得4ln21tt成立 . 综上所述，假设不成立.所以，函数( )f x不存在“中值相依切线”19.(2011xx理19 ，综合应用 ) 已知0a，函数2lnfxxax，0 x (fx的图象连续 ) 求fx的单调区间；若存在属于区间1,3的,，且1，使ff，证明：ln 3ln 2ln 253a解：21122axfxaxxx，0 x令0fx，则22axa当x变化时，fx，fx的变化情况如下表：x20,2aa22aa2,2aafx0fx单调递增极大值单调递减所以fx的单调增区间是20,2aa，单调减区间是2,

25、2aa20 / 99 由ff与fx的单调性知22aa 从而fx在区间,上的最小值为f又由1，,1,3，则123所以21 ,23 ,ffffff即ln 24,ln 24ln39 .aaaa所以ln 3ln 2ln 253a20.（恒成立，直接利用最值）已知函数2( )ln(1),0f xaxxax a，若21x是函数)(xf的一个极值点，求a；讨论函数)(xf的单调区间；若对于任意的1,2a,不等式fxm在1,12上恒成立，求m的取值 x围. 解：222(2)( )1axaxfxax, 因为21x是函数)(xf的一个极值点，所以0)21(f，得022aa. 又0a，所以2a. 因为)(xf的定义

26、域是1(,)a，22222()2(2)2( )11aax xaxaxafxaxax. 当2a时，列表x1(, 0)a22(0,)2aa22(,)2aa)(xf)(xf增减增)(xf在1(, 0)a，22(,)2aa是增函数；)(xf在22(0,)2aa是减函数 . 当2a时，22 2( )021xfxx，)(xf在2(,)2是增函数 . 当20a时，列表x212(,)2aaa22(, 0)2aa(0,)21 / 99 )(xf)(xf增减增)(xf在212(,)2aaa,(0,)是增函数；)(xf在22(, 0)2aa是减函数 . 21.（最值与图象特征应用）设ra，函数eaaxexfx)(1

27、(2)(2为自然对数的底数）. 判断)(xf的单调性；若2,1 1)(2xexf在上恒成立，求a的取值 x围. 解：)2(21)1(21)(2axeaaxexfxx),12(212aaxaxex令.12)(2aaxaxxg当)(, 0)(, 01)(,0 xfxfxga时在r上为减函数 . 当, 04)(440)(,022aaaaxga的判别时)(0)(, 0)(xfxfxg即在r上为减函数 . 当0a时，由, 0122aaxax得,1111axax或由,0122aaxax得,1111axa),(),()(aaaaaaxf在上为增函数；),()(aaaaaaxf在上为减函数 . 由知当2,1

28、)(,0在时xfa上为减函数 . 22 / 99 .511215.215)2()(222minaeeaeafxf得由当2221215)2(,0eeafa时21)(exf在1 ，2上不恒成立，a的取值 x围是).,51(22.(单调性 ) 已知( )f x=ln( x+2)x2+bx +c若函数( )f x在点 (1，y)处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f(1)=0 ，求函数( )fx在区间0,3 上的最小值；若( )f x在区间 0,m上单调，求b的取值 x围. 解：bxxxf221)(，依题意令(1)f= 73，( 1)f0，解得b=4，c=5. 22302924221)(2xxxx

29、xxf得x 0 (0,223) 223（223,3 ）3 y+ 0 y ln2+5 极大8+ln5 因为 8+ln55+ln2 x=0 时( )f x在0 ，3 上最小值(0)f=5+ln2. 若( )f x在区间 0，m上单调，有两种可能令bxxxf221)(0得b2x21x，在 0， m 上恒成立而y=2x21x在 0 ，m 上单调递增，最大值为2m 21m，b2m 21m. 令bxxxf221)(0 得b2x21x，而 y=2x21x在0，m 单增，最小为 y=21，b21. 故b2m 21m或b21时( )f x在0， m 上单调 . 23.（单调性，用到二阶导数的技巧）已知函数xxf

30、ln)(若)()()(raxaxfxf，求)(xf的极大值；若kxxfxg2)()(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值 x围. 23 / 99 解：xaxxaxfxfln)()(定义域为), 0(x2ln)1()(xxaxf令aexxf10)(得由aexxf100)(得由aexxf10)(得即), 0()(1 aexf在上单调递增，在),(1 ae上单调递减aex1时，f(x)取得极大值11)1(aaaeeaaefkxxxg2)(ln)(的定义域为 (0，+ )，kxxxgln2)(由g (x)在定义域内单调递减知：0ln2)(kxxxg在(0，+)内恒成立令kxxxhln2)(，

31、则2)ln1(2)(xxxh由exxh得0)(当),0(ex时)(, 0)(xhxh为增函数当),(ex时0)(xh，)(xh为减函数当x = e时，h(x)取最大值keeh2)(故只需02ke恒成立，ek2又当ek2时，只有一点x = e使得0)()(xhxg不影响其单调性.2ek二、交点与根的分布24.（2008xx22，交点个数与根的分布）已知3x是函数2( )ln(1)10f xaxxx的一个极值点求a；求函数( )f x的单调区间；若直线yb与函数( )yf x的图像有3个交点，求b的取值 x围解：2( )ln(1)10f xaxxx，( )2101afxxx3x是函数2( )ln(

32、1)10f xaxxx的一个极值点(3)404af，16a由2( )16ln(1)10f xxxx ，24 / 99 ( 1,)x2162862(1)(3)( )210111xxxxfxxxxx令( )0fx，得1x，3x，( )fx和( )f x随x的变化情况如下：x( 1,1)1 (1,3)3 (3,)( )fx0 0 ( )f x增极大值减极小值增( )f x 的增区间是( 1,1)，(3,)；减区间是 (1,3) 由知，( )f x在( 1,1)上单调递增，在(3,)上单调递增，在(1,3)上单调递减( )(1)16ln 29f xf极大，( )(3)32ln 221f xf极小又1x

33、时，( )f x；x时，( )f x；可据此画出函数( )yf x的草图（图略） ，由图可知，当直线yb与函数( )yf x的图像有 3个交点时，b的取值 x围为(32ln 221,16ln29)25.已知函数32fxxaxbxc在,0上是减函数，在0,1上是增函数，函数fx在r上有三个零点（1）求b的值；（2）若 1是其中一个零点，求2f的取值 x围；（3） 若213lnag xfxxx， 试问过点 （2， 5） 可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由. 25 / 99 ( )g x=2x+lnx，设过点（ 2，5）与曲线 g (x)的切线的切点坐标为00(,)xy/0005()(

34、2)ygxx，即000012ln5(2)(2)xxxx002ln20 xx，令 h(x)=2ln2xx，/h (x)=212xx=0，2xh(x)在（ 0，2）上单调递减，在（2，）上单调递增又1( )2ln 202h， h(2)=ln2-10，222()0h eeh(x)与x轴有两个交点，过点（2，5）可作 2条曲线 y=g(x)的切线 . 26.（交点个数与根的分布）已知函数2( )8 , ( )6ln.f xxx g xxm求( )f x在区间,1t t上的最大值( );h t是否存在实数,m使得( )yf x的图像与( )yg x的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值 x围

35、；若不存在，说明理由。解：22( )8(4)16.f xxxx当14,t即3t时，( )f x在,1t t上单调递增，22( )(1)(1)8(1)67;h tf ttttt当41,tt即34t时，( )(4)16;h tf当4t时，( )f x在,1t t上单调递减，2( )( )8 .h tf ttt综上2267,3,( )16,34,8 ,4ttth ttttt函数( )yf x的图像与( )yg x的图像有且只有三个不同的交点，即函数( )( )( )xg xf x的图像与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。22( )86ln,62862(1)(3)( )28(0),xxxxmxxxx

36、xxxxxx当(0,1)x时，( )0, ( )xx是增函数；当(0,3)x时，( )0, ( )xx是减函数；当(3,)x时，( )0, ( )xx是增函数；当1,x或3x时，( )0.x( )(1)7,( )(3)6ln 315.xmxm最大值最小值当x充分接近 0时，( )0,x当x充分大时，( )0.x要使( )x的图像与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须( )70,( )6ln 3 150,xmxm最大值最小值即7156ln 3.m26 / 99 存在实数m，使得函数( )yf x与( )yg x的图像有且只有三个不同的交点，m的取值x围为(7,156ln 3).27.（交点个数

37、与根的分布）已知函数.23)32ln()(2xxxf求f(x)在0,1 上的极值；若对任意03)(ln|ln|,31,61xxfxax不等式成立， xx 数a的取值 x围；若关于x的方程bxxf2)(在0，1 上恰有两个不同的实根，xx 数b的取值 x围 . 解：23)13)(1(33323)(xxxxxxf，令1310)(xxxf或得（舍去）)(, 0)(,310 xfxfx时当单调递增；当)(,0)(,131xfxfx时递减 . 1 ,0)(613ln)31(在为函数xff上的极大值 . 由03)(ln|ln|xxfxa得xxaxxa323lnln323lnln或设332ln323lnln

38、)(2xxxxxh，xxxxxg323ln323lnln)(，依题意知31,61)()(xxgaxha在或上恒成立，0)32(2)32(33)32(3332)(2xxxxxxxxg，03262)62(31323)(22xxxxxxxh，31,61)()(都在与xhxg上单增，要使不等式成立，当且仅当.51ln31ln),61()31(aagaha或即或由.0223)32ln(2)(2bxxxbxxf令xxxxxbxxxx329723323)(,223)32ln()(22则，当37,0)(, 0)(,37,0在于是时xxx上递增；27 / 99 1 ,37)(,0)(,1 ,37在于是时xxx上

39、递减，而)1()37(),0()37(， 1 ,00)(2)(在即xbxxf恰有两个不同实根等价于0215ln)1(067267)72ln()37(02ln)0(bbb.37267)72ln(215lnb28.(2009xx，利用根的分布)已知函数32( )(3)xf xxxaxb e如3ab，求( )f x的单调区间；若( )f x在(,),(2,)单调增加，在( ,2),(,)单调减少，证明：6.解：3ab时，32( )(333)xf xxxxe，故322( )(333)(363)xxfxxxxexxe(3)(3)xx xxe当3x或03( )0;xfx时，当303( )0.xxfx或时，

40、从而( )(, 3),(0,3)303f x 在单调增加，在（， ），（ ，）单调减少 . 3223( )(3)(36)(6).xxxfxxxaxb exxa eexaxba由条件得3(2)0,22(6)0,4,fababa即故从而3( )(6)42 .xfxexaxa因为( )()0,ff所以3(6)42(2)()()xaxaxxx2(2)().xxx将右边展开，与左边比较系数得，2,2.a故2()4124 .a又(2)(2)0,2()40.即由此可得6.a于是6.28 / 99 29.（2009xx文，利用根的分布讨论）设函数322113fxxxmx xr，其中0m当1m时，求曲线yfx在

41、点1,1f处的切线的斜率求函数fx的单调区间与极值已知函数fx有三个互不一样的零点120 xx、 、，且12xx，若对任意的12,1xx xfxf恒成立，求m的取值 x围. 解：当1)1(,2)(,31)(12/23fxxxfxxxfm故时，所以曲线( )yfx在点(1,(1)f处的切线斜率为1. 12)(22mxxxf，令0)(xf，得到mxmx1,1因为mmm11,0 所以，当x变化时，)(),(xfxf的变化情况如下表：x)1 ,(mm1)1 ,1(mmm1),1 (m)(xf+ 0 0 + )(xf极小值极大值)(xf在)1 ,(m和),1 (m内减函数，在)1 ,1(mm内增函数。函

42、数)(xf在mx1处取得极大值)1(mf，且)1(mf=313223mm函数)(xf在mx1处取得极小值)1 (mf，且)1(mf=313223mm由题设)(31)131()(2122xxxxxmxxxxf所 以 方 程13122mxx=0 由 两 个 相 异 的 实 根21, xx， 故321xx， 且0) 1(3412m，解得21)(21mm，舍因为123,32,221221xxxxxx故所以（难点）若0)1)(1(31)1 (,12121xxfxx则，而0)(1xf，不合题意；若,121xx则对任意的,21xxx有, 0, 021xxxx则0)(31)(21xxxxxxf，又0)(1xf

43、，所以函数)(xf在,21xxx的最小值为 0， 于是对任意的,21xxx，)1()(fxf恒成立的充要条件是031)1 (2mf,解得3333m，综上， m 的取值 x围是)33,21(29 / 99 30.（2007 全国 ii 理22 ，转换变量后为根的分布）已知函数3( )f xxx（1）求曲线( )yf x在点( )m tf t，处的切线方程；（2）设0a，如果过点()ab，可作曲线( )yf x的三条切线，证明：( )abf a解： （1）2( )31xxf( )yf x在点( )m tf t，处的切线方程为( )( )()yf tftxt，即23(31)2ytxt（2）如果有一条

44、切线过点()ab，则存在t，使23(31)2btat若过点()ab，可作曲线( )yf x的三条切线，则方程32230tatab有三个相异的实数根记32( )23g ttatab，则2( )66g ttat6 ()t ta当t变化时，( )( )g tg t，变化情况如下表：t(0)，0 (0)a，a()a，( )g t0 0 ( )g t极大值ab极小值( )bf a如果过()ab，可作曲线( )yf x三条切线，即( )0g t有三个相异的实数根，则0( )0.abbf a，即( )abf a31.已知函数323,fxaxbxx a br在点1,1f处的切线方程为20y求函数fx的解析式；

45、若对于区间2,2上任意两个自变量的值12,x x都有12fxfxc，xx 数c的最小值；若过点2,2mmm可作曲线yfx的三条切线， xx 数m的取值 x 围解：2323fxaxbx2 分根据题意，得12,10,ff即32,3230,abab解得10ab3 分所以33fxxx4 分令0fx，即2330 x得1xx22, 111,11 1,22 30 / 99 fx+ + fx2增极大值减极小值增2 因为12f，12f，所以当2,2x时，max2fx，min2fx6 分则对于区间2,2上任意两个自变量的值12,xx，都有12maxmin4fxfxfxfx，所以4c所以c的最小值为48 分因为点2

46、,2mmm不在曲线yfx上，所以可设切点为00,xy则30003yxx因为20033fxx，所以切线的斜率为2033x9 分则2033x=300032xxmx，11 分即32002660 xxm因为过点2,2mmm可作曲线yfx的三条切线，所以方程32002660 xxm有三个不同的实数解所以函数32266g xxxm有三个不同的零点则2612gxxx令0gx，则0 x或2xx,00 0,22 2,gx+ + g x增极大值减极小值增则0022gg，即6020mm，解得62m32.（2011 省模，利用的结论，转化成根的分布分题）已知ar，函数( )ln1, ( )(ln1),xaf xxg

47、xxexx（其中2.718e）31 / 99 （i）求函数( )f x在区间0,e上的最小值；（ii ）是否存在实数00,xe，使曲线( )yg x在点0 xx处的切线与y轴垂直？若存在，求出0 x的值；若不存在，请说明理由。33.已知函数xxf)(，函数xxfxgsin)()(是区间 -1 ， 1上的减函数 . （i）求的最大值；（ii ）若 1 ,11)(2xttxg在上恒成立，求t的取值 x围；（）讨论关于x的方程mexxxfx2)(ln2的根的个数解： （i）xxxgxxfsin)(,)(， 1 , 1)(在xg上单调递减，0cos)( xxgxcos在 -1 ，1 上恒成立，1，故的

48、最大值为.1（ii ）由题意, 1sin)1()(maxgxg,11sin2tt只需01sin) 1(2tt（其中1） ，恒成立， 令) 1(011sin) 1()(2tth，则2101sin1 10ttt，01sin,01sin122ttttt而恒成立，1t32 / 99 （）由.2ln)(ln2mexxxxxfx令,2)(,ln)(221mexxxfxxxf,ln1)(21xxxf当,0)(,),0(1xfex时exf,0)(1在上为增函数；当, ex时，,0)(1xf,)(1exf在为减函数；当,1)()( ,1max1eefxfex时而,)()(222emexxf,1,122时即当ee

49、meem方程无解；当eemeem1,122即时，方程有一个根；当eemeem1,122时时，方程有两个根. 三、不等式证明作差证明不等式34.（2010xx，最值、作差构造函数）已知函数xxxf)1ln()(1)求函数)(xf的单调递减区间；(2)若1x，求证：111x) 1ln( xx解：(1)函数f (x)的定义域为 (1，+),1111)(xxxxf，由0)(xf得：101xxx，x0, f (x)的单调递减区间为(0，+). (2)证明：由 (1)得x(1，0)时，0)(xf，当x(0，+)时，0)(xf，且(0)0fx1时，f (x)f (0) ，xx)1ln(0，)1ln( xx令

50、111) 1ln()(xxxg，则22)1() 1(111)(xxxxxg， 1x0时，0)( xg，x0时，0)(xg，且0)0(gx 1时，g (x)g (0) ，即111)1ln(xx0 ) 1ln(x111x，x 1时，111x)1ln( xx35.（2007xx20，转换变量，作差构造函数，较容易）33 / 99 已知定义在正实数集上的函数21( )22f xxax，2( )3lng xaxb，其中0a设两曲线( )yf x，( )yg x有公共点，且在该点处的切线一样用a表示b，并求b的最大值；求证：当0 x时，( )( )f xg x解：设( )yfx与( )(0)yg xx在公

51、共点00()xy，处的切线一样( )2fxxa，23( )ag xx，由题意00()()f xg x，00()()fxgx即22000200123ln232xaxaxbaxax，由20032axax得：0 xa，或03xa（舍去）即有222221523ln3ln22baaaaaaa令225( )3ln (0)2h tttt t，则( )2 (13ln )h ttt于是当(13ln )0tt，即130te时，( )0h t；当(13ln )0tt，即13te时，( )0h t故( )h t在13(0)e，为增函数，在13()e ,+为减函数，于是( )h t在(0)， 的最大值为12333()2

52、h ee设221( )( )( )23ln(0)2f xf xg xxaxaxb x，则( )fx23()(3 )2(0)axaxaxaxxx故( )f x在(0)a，为减函数，在()a ， 为增函数，于是函数( )f x在(0)， 上的最小值是000( )()()()0f af xf xg x故当0 x时，有( )( )0f xg x，即当0 x时，( )( )f xg x36.（2009 全国 ii 理21 ，字母替换，构造函数）设函数2ln 1fxxax有两个极值点12xx、，且12xx求a的取值 x围，并讨论fx的单调性；证明：212ln 24fx34 / 99 解: 2222(1)1

53、1axxafxxxxx令2( )22g xxxa，其对称轴为12x。由题意知12xx、是方程( )0g x的两个均大于1的不相等的实根，其充要条件为480( 1)0aga，得102a当1( 1,)xx时，0,( )fxf x在1( 1, )x内为增函数；当12(,)xx x时，0,( )fxf x在12(,)x x内为减函数；当2,()xx时，0,( )fxf x在2,()x内为增函数；由知21(0)0,02gax，由2222()220g xxxa得222(2)axx+2，2222222222ln 1(2)ln 1fxxaxxxxx+2设221(22 )ln 1()2h xxxxxx，则22(

54、21)ln 122(21)ln 1h xxxxxxx当1(,0)2x时，0,( )hxh x在1,0)2单调递增；当(0,)x时，0hx，( )h x在(0,)单调递减。所以，1112ln 2(,0),()224xh xh当时故2212ln 2()4fxh x变形构造函数证明不等式37.（变形构造新函数，一次）已知函数( )(1)lnf xaxax试讨论( )f x在定义域内的单调性；当a 1时，证明：12,(0,1)x x，1212|()() |1|f xf xxxxx 数m的取值 x围解：函数的定义域为(0,)，1(1)( )aaaxfxaxx当1a时，增区间为1(,)aa，减区间为1(0

55、,)aa；当1a0时，增区间为(0,)；35 / 99 当0a时，增区间为1(0,)aa，减区间为1(,)aa当a0时，( )f x在区间 (0,1) 上单调递增，不妨设1201xx，则12120,()()0 xxf xf x，1212|()()|1|f xf xxx等价于1212()()fxfxxx，即1122()()f xxf xx构造( )( )g xf xx，则(1)(1)(1)( )1aaxaxg xxx0(01)x( )g x在(0,1)上是增函数，当1201xx时，12()()g xg x，即1122()()f xxf xx，即1212()()f xf xxx又当a0时，( )f

56、x在区间 (0,1) 上单调递增，12120,()()0 xxf xf x1212|()()| |fxfxxx，即1212|()() |1|f xf xxx38.（2011xx理21 ，变形构造函数，二次）已知函数1ln)1()(2axxaxf. 讨论函数)(xf的单调性；设1a，如果对任意), 0(,21xx，| )()(|21xfxf|421xx，求a的取值 x围. 解：( )f x的定义域为（0，+） . 2121( )2aaxafxaxxx. 当0a时，( )fx0，故( )f x在（ 0，+）单调增加；当1a时，( )fx0，故( )f x在（ 0，+）单调减少；当 1a0时，令(

57、)fx=0 ，解得12axa. 则当1(0,)2axa时，( )fx0；1(,)2axa时，( )fx0. 故( )f x在1(0,)2aa单调增加，在1(,)2aa单调减少 . 不妨假设12xx，而a 1，由知在（0，+）单调减少，从而12,(0,)x x，1212()()4f xf xxx等价于12,(0,)x x，2211()4()4f xxf xx令( )( )4g xf xx，则1( )24agxaxx等价于( )g x在（ 0，+）单调减少，即1240aaxx. 从而24121xax,设241( )(0),21xh xxx并设411tx，36 / 99 14tx，2889292tytttt82.332故a的取值 x围为（，2. 39.（2010xx文21 ，构造变形，二次）已知函数2( )(1)ln1f xaxax. 讨论函数( )f x的单调性；设2a，证明：对任意12,(0,)x x，1212|()()