石景山区2020届高三一模数学(理)试题及答案

1、石景山区 2020 学年第一次模拟考试试卷高三数学（理）第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合|0mxxx，r，2|1nxxx，r，则mni() a0 1，b0 1，c0 1，d0 1，2设i是虚数单位，则复数21ii在复平面内所对应的点位于() a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3下列函数中，既是奇函数又是增函数的为() a1yxb3yxc1yxdyx x4下图给出的是计算111124610的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是() a5ib5ic6id6i5某四面体的三视图如图所

2、示，该四面体四个面的面积中最大的是() a8b 6 2c10d 8 26在数列na中， “1nnaa”是“数列na为递增数列”的() a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件7 函数( )sin() (00)2f xaxa，的部分图象如图所示，则将( )yf x的图象向右平移6个单位后， 得到的函数图象的解析式为() asin 2yxb2sin(2)3yxcsin(2)6yxdcos2yx8德国数学家科拉茨1937 年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半(即2n)；如果n是奇数，则将它乘3 加 1(即31n)，不断重复这样的运算，经过有限步后

3、，一定可以得到1对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n(首项 )按照上述规则施行变换后的第8 项为 1（注： 1 可以多次出现)，则n的所有不同值的个数为() a4 b6 c32 d128 第二部分（非选择题共110 分）二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分9双曲线2212xy的焦距是 _，渐近线方程是_10若变量x y，满足约束条件280403xyxy，则2zxy的最大值等于 _11如图，ab是半圆o的直径，30bac，bc为半圆的切线，且43bc，则点o到ac的距离od_12在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为11xsys，(s为参数

4、)，曲线c的参数方程为22xtyt，(t为参数 )，若直线l与曲线c相交于ab，两点，则ab _13已知函数2log0( )30 xx xf xx，关于x的方程( )0f xxa有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 _14某次考试的第二大题由8 道判断题构成，要求考生用画“”和画“”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1 分，判断错误不得分.请根据如下甲，乙，丙3 名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分第 1 题第 2 题第 3 题第 4 题第 5 题第 6 题第 7 题第 8 题得分甲5 乙5 丙6 丁？丁得了 _分三、解答题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程

5、15 （本小题共13 分）设abc的内角ab c， ，的对边分别为a b c，且sin3cosbaab（）求角b的大小；（）若3 sin2sinbca，求a c，的值16 （本小题共13 分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6s 手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6s手机的 100 人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：付款方式分 1 期分 2 期分 3 期分 4 期分 5 期频数35 25 a10 b已知分 3 期付款的频率为0.15,请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：（）求a，b的值；（）求“购买手机的3 名顾客中（每人仅购买一部手机）

6、，恰好有1 名顾客分4 期付款”的概率；（）若专卖店销售一部苹果6s 手机，顾客分1 期付款 (即全款 )，其利润为1000 元；分 2 期或 3 期付款， 其利润为1500 元；分 4 期或 5 期付款， 其利润为2000 元用x表示销售一部苹果6s手机的利润，求x的分布列及数学期望17 （本小题共14 分）abc，如 图 ， 三 棱 柱111abca b c中 ，1aa 平 面bcac，2bcac，13aa，d为ac的中点（）求证：1ab平面1bdc；（）求二面角1cbdc的余弦值；（）在侧棱1aa上是否存在点p，使得cp平 面1bdc？若存在，求出ap的长；若不存在，说明理由18 （本小

7、题共13 分）已知函数( )sincosfxxxx（）求曲线)(xfy在点( ) f ，处的切线方程；（）求证：当(0)2x，时，31( )3f xx；（）若( )cosfxkxxx对(0)2x，恒成立，求实数k的最大值19 （本小题共14 分）已知椭圆2222:1(0)xycabab的短轴长为2，离心率为22，直线:lykxm与椭圆c交于ab，两点，且线段ab的垂直平分线通过点1(0)2，（）求椭圆c的标准方程；（）求aob（o为坐标原点）面积的最大值20 （本小题共13 分）若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列na的前n项和nmsa，则称na是“回归数列” （）前n项和为2nns的

8、数列na是否是“回归数列”？并请说明理由；通项公式为2nbn的数列nb是否是“回归数列”？并请说明理由；（）设na是等差数列，首项11a，公差0d，若na是“回归数列” ，求d的值；（） 是否对任意的等差数列na，总存在两个 “回归数列”nb和nc，使得nnnabc*()nn成立，请给出你的结论，并说明理由石景山区 20152016 学年第一次模拟考试高三数学（理）参考答案一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分题号1 234567 8 答案d b d a c b c b 二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分(第 9 题第一空 2 分，第二空 3 分) 三、解答题共 6 小

9、题，共80分15 （本小题共13 分）解： （）qsin3 cosbaab， 2 分由正弦定理得sinsin3 sincosbaab，在abc中，sin0a，即tan3b，(0)b， 4 分3b 6分（）qsin2sinca，由正弦定理得2ca， 8 分由余弦定理2222cosbacacb，得22942(2 ) cos3aaaa， 10 分解得3a，22 3ca 13 分16 （本小题共13 分）题号9 10 11 12 13 14 答案2 3，22yx1032(1)，6解： （）由题意得0.15100a，所以15a，又352510100ab，所以15b 3 分（）设事件a为“购买一部手机的3

10、 名顾客中，恰好有1 名顾客分4 期付款” ， 4 分由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1， 5 分所以123( )0.1 0.90.243p ac 7 分（）记分期付款的期数为，依题意得(1)0.35p ，(2)0.25p ，(3)0.15p ，(4)0.1p ，(5)0.15p ，因为x可能取得值为1000元，1500元，2000元， 8 分并且易知(1000)(1)0.35p xp ， 9 分(1500)(2)(3)0.4p xp p ， 10 分(2000)(4)(5)0.25p xp p ， 11 分所以x的分布列为x100015002000p0.350.40.25

11、所以x的数学期望1000 0.35 1500 0.42000 0.251450ex 13 分17 （本小题共14 分）解： （）证明：连接1b c，与1bc相交于o，连接od11bcc b是矩形，o是1b c的中点又d是ac的中点，od1ab 2 分1ab平面1bdc，od平面1bdc， 3 分1ab平面1bdc 4 分（）如图，建立空间直角坐标系，则1(0 0 0)c，(0 3 2)b，(0 3 0)c，(2 3 0)a，(1 3 0)d， 5分设111()nxyzr， ，是平面1bdc的一个法向量，则1100n c bn c dr uuu u rr uuuu r，即111132030yzx

12、y，令11x，则11(1)32nr， 7分易知1(0 3 0)c cuuuu r，是平面abc的一个法向量， 8 分11112cos7736n ccn c cn c cr u uu u rru u u u rruu u u r， 9 分由题意知二面角1cbdc为锐角，二面角1cbdc的余弦值为27 10 分（）假设侧棱1aa上存在一点(2,0)py， ，(03y)，使得cp平面1bdc则1100cp c bcp c duuu r uuu u ruuu r uuuu r，即3(3)023(3)0yy，373yy， 12 分方程组无解假设不成立侧棱1aa上不存在点p，使cp平面1bdc 14 分18 （本小题共13 分）解：( )cos(cossin )sinfxxxxxxx 1分（）( )0f，( )f所以切线方程为y 3 分（）令31( )( )3g xf xx，则2( )sin(sin)gxxxxxxx， 4 分当(0)2x，时，设( )sint xxx，则( )cos10txx所以( )t x在(0)2x，单调递减，( )sin(0)0t xxxt即sin xx，所以( )0g x 6 分所以( )g x在(0)2，上单调递减，所以( )(0)0g xg， 7 分所以31( )3f