解析几何问题的题型与方法.doc

1、解析几何问题的题型与方法一、考试内容（一)直线和圆的方程 直线的倾斜角和斜率,直线方程的点斜式和两点式，直线方程的一般式.两条直线平行与垂直的条件,两条直线的交角，点到直线的距离.用二元一次不等式表示平面区域，简单的线性规划问题。曲线与方程的概念，由已知条件列出曲线方程。圆的标准方程和一般方程,圆的参数方程。（二)圆锥曲线方程 椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质,椭圆的参数方程。双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。二、考试要求(一)直线和圆的方程1理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条

2、件熟练地求出直线方程. 2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。 3了解二元一次不等式表示平面区域. 4了解线性规划的意义,并会简单的应用。 5了解解析几何的基本思想，了解坐标法。 6掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程.(二)圆锥曲线方程1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。3掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4了解圆锥曲线的初步应用.三、复习目标1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程

3、出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了。2。能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义,知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题,了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题。3 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义,了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4掌握圆的标准方程：（r0），明确方程中各字母的

4、几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程:，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件,用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（为参数),明确各字母的意义,掌握直线与圆的位置关系的判定方法。5正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等,从而能迅速

5、、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义;利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用;掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.四、注意事项 1 直线的斜率是一个非常重要的概念,斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当斜率k存在时,直线方程通常用点斜式或斜截式表示,当斜率不存在时，直线方程为x=a（aR）。因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k存在与否，要分别考虑。 直线的截距式是两点式的特例，a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距,因为a0

6、，b0，所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解。求解直线方程的最后结果，如无特别强调,都应写成一般式。当直线或的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算.2。 用待定系数法求椭圆的标准方程时,要分清焦点在x轴上还是y轴上，还是两种都存在. 注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a、b、c、e间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.求双曲线的标准方程 应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解。双曲线的渐

7、近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式:，其中k是一个不为零的常数.双曲线的标准方程有两个和（a0,b0）。这里，其中|=2c。要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同。求抛物线的标准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值。同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个,就可以求出其他两个。六、范例分析例1、已知点T是半圆O的直径AB上一点,AB=2、OT=t （0

8、t<1)，以AB为直腰作直角梯形，使垂直且等于AT,使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系。(1）写出直线的方程； (2）计算出点P、Q的坐标; （3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q。 解: (1 ） 显然， 于是 直线的方程为； （2）由方程组 解出 、； （3)， 。 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知,由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q。说明：需要注意的是， Q点的坐标本质上是三角中的万能公式， 有趣吗?例2、设P是圆M:（x5)2+（y-5)2=1上的动点，它关于A(9， 0）的对称点为Q，把P绕原点依逆时针方向

9、旋转90°到点S，求SQ|的最值。解：设P（x, y)，则Q(18-x， y)，记P点对应的复数为x+yi,则S点对应的复数为:（x+yi）·i=y+xi，即S(-y， x）其中可以看作是点P到定点B（9, 9）的距离,共最大值为最小值为，则SQ的最大值为,SQ|的最小值为例3、已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。 解：假设存在满足条件的点，设M（x1,y1)a2=4,b2=3,a=2，,c=1，点M到椭圆左准线的距离，,或,这与x12，0相矛盾，满足

10、条件的点M不存在。例4、（2002年天津高考题)已知两点M（-1，0)，N（1,0）且点P使成公差小于零的等差数列，（）点P的轨迹是什么曲线?（）若点P坐标为,为的夹角，求tan。解：（)记P（x，y）,由M（-1，0）N(1,0)得 所以 于是， 是公差小于零的等差数列等价于 即 所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆。（)点P的坐标为。 因为 0， 所以 说明:在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起。向量的夹角问题融入解析几何问题中，也就显得十分自然。求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题

11、获解；也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题，用数形结合方法使问题获解。例5已知圆k过定点A(a,0）（a0），圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦。(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？（2)当|OA是OM与ON的等差中项时,抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系?命题意图：本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力，属级题目.知识依托：弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识.错解分析：在判断d与R的关系时,x0的范围是学生容易忽略的.技巧与方法：对第(2）问,需将目标转化为判断d=x0+与R=的大小。解：(

12、1)设圆心k（x0，y0），且y02=2ax0,圆k的半径R=|AK=MN|=2=2a(定值)弦MN的长不随圆心k的运动而变化。(2）设M(0，y1)、N(0，y2）在圆k：(xx0）2+(yy0）2=x02+a2中，令x=0，得y22y0y+y02a2=0y1y2=y02a2OA是OM|与|ON|的等差中项。|OM+|ON|=|y1+y2=2OA|=2a.又MN|=|y1y2|=2ay1+|y2|=y1y2|y1y20，因此y02a20，即2ax0a20。0x0.圆心k到抛物线准线距离d=x0+a,而圆k半径R=a。且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.例6如图，已知椭圆=1（2m5)

13、，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f（m)=|ABCD|（1)求f（m）的解析式；(2）求f（m）的最值.命题意图：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合。属级题目.知识依托：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式,利用单调性求函数的最值。错解分析：在第（1)问中，要注意验证当2m5时,直线与椭圆恒有交点。技巧与方法：第（1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数,则可迅速将|AB|CD|化简.第(2）问,利用函数的单调性求最值是常用方法。解：（1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、

14、c，则a2=m,b2=m1，c2=a2b2=1椭圆的焦点为F1(1,0）,F2(1，0)。故直线的方程为y=x+1，又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m.A（m，m+1)，D(m,m+1）考虑方程组,消去y得：(m1)x2+m(x+1）2=m（m1）整理得：(2m1）x2+2mx+2mm2=0=4m24（2m1)(2mm2)=8m（m1)22m5,0恒成立，xB+xC=。又A、B、C、D都在直线y=x+1上AB=|xBxA|=(xBxA）·，CD|=(xDxC）|AB|CD|=xBxA+xDxC|=|（xB+xC）（xA+xD）|又xA=m,xD=m，xA+xD=

15、0ABCD|=|xB+xC·=|·= (2m5）故f(m)=，m2，5。（2)由f（m)=，可知f(m）= 又222f(m)故f(m）的最大值为,此时m=2;f(m）的最小值为，此时m=5。例7舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹。设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒,炮弹的速度是千米/秒，其中g为重力加速度,若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少?命题意图:考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学

16、问题的能力,属级题目.知识依托：线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程.错解分析：答好本题，除要准确地把握好点P的位置（既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚。技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程.解:取AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系。由题意可知,A、B、C舰的坐标为（3，0）、(3，0）、(5，2）.由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则PB=PC。于是P在线段BC的中垂线上

17、，易求得其方程为x3y+7=0。又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB|PA=4，故知P在双曲线=1的右支上.直线与双曲线的交点为（8，5），此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得PA|=10。据已知两点的斜率公式，得kPA=,所以直线PA的倾斜角为60°，于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.设发射炮弹的仰角是,初速度v0=，则，sin2=,仰角=30°.锦囊妙计解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高能力的目的。（1）对于求

18、曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.(2）对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值。例8如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且ODAB，Q为线段OD的中点,已知AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA+|PB|的值不变。（1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在

19、D、N之间，设=，求的取值范围。8。解：(1）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,O为原点,建立平面直角坐标系, |PA+|PB|=|QA|+QB=2|AB=4。曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆。设其长半轴为a,短半轴为b，半焦距为c,则2a=2，a=,c=2,b=1。曲线C的方程为+y2=1。(2）设直线l的方程为y=kx+2,代入+y2=1，得（1+5k2)x2+20kx+15=0。=（20k)24×15(1+5k2)0,得k2。由图可知=由韦达定理得将x1=x2代入得两式相除得M在D、N中间，1又当k不存在时，显然= （此时直线l与y轴重合)。例9已知抛物线C：y2=

20、4x。(1）若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合,试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；（2)若M(m,0)是x轴上的一定点，Q是（1）所求轨迹上任一点,试问|MQ|有无最小值?若有，求出其值；若没有,说明理由.解：由抛物线y2=4x,得焦点F（1,0),准线l：x=1.(1）设P(x，y），则B（2x1，2y），椭圆中心O,则FOBF|=e，又设点B到l的距离为d,则BFd=e，FOBF|=BFd,即（2x2)2+(2y）2=2x(2x2），化简得P点轨迹方程为y2=x1(x1）.（2)设Q（x，y），则MQ=（）当m1,即m时，函数t=x(m)2+m在（1，

21、+)上递增，故t无最小值，亦即|MQ无最小值.（)当m1,即m时，函数t=x2(m)2+m在x=m处有最小值m,|MQ|min=.例10 已知抛物线C的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5。若将抛物线C向上平移3个单位,则在x轴上截得的线段长为原抛物线C在x轴上截得的线段长的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程。解 设所求抛物线方程为(xh)2=a(yk）(aR，a0) 由的顶点到原点的距离为5，得=5在中,令y=0，得x22hx+h2+ak=0.设方程的二根为x1，x2,则|x1x2|=2。将抛物线向上平移3个单位,得抛物线的方程为（x-h）2=a（yk

22、3)令y=0，得x22hx+h2+ak+3a=0.设方程的二根为x3，x4,则|x3x4|=2。依题意得2=·2,即 4(ak+3a）=ak 将抛物线向左平移1个单位,得(x-h+1)2=a（yk）,由抛物线过原点，得（1h)2=ak 由得a=1，h=3,k=4或a=4，h=3，k=4。所求抛物线方程为（x3)2=y+4，或（x+3）2=4(y+4）.例11 在直角坐标系中,ABC的两个顶点C、A的坐标分别为（0，0)、(2，0）,三个内角A、B、C满足2sinB=(sinA+sinC)。（1）求顶点B的轨迹方程；(2）过顶点C作倾斜角为的直线与顶点B的轨迹交于P、Q两点，当（0,

23、）时，求APQ面积S（）的最大值。解 （1）设ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。由正弦定理=2R。2sinB=（sinA+sinC)2b=(a+c)b=2a+c=4即|BC|+|BA=4。由椭圆定义知，B点轨迹是以C、A为焦点,长轴长为4，中心在（，0）的椭圆。B点轨迹方程为+y2=1(y0)(2）设直线PQ的方程为y=x·tan，（0，），由得（1+4tan2）x2 2x1=0.设方程两根为x1、x2,则x1+x2=, x1·x2=PQ|=点A到直线PQ的距离d=，(0， ）, tan0)S(）= |PQ·d=··=2当且仅

24、当sin=时，即sin=，=arcsin时,等号成立。s（）的最大值为2.04高考解析几何一）选择题1. (2004。江苏）若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线离心率为 （ A ）（A) （B） （C） 4 (D)2（2004。全国理)椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点 为P,则=（ C )ABCD43(2004。全国理)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是（ C )A，B2,2C1，1D4,44（2004.湖北理）与直线的平行的抛物线的切线方程是（ D )ABCD5（2004.湖

25、北理）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ D ）AB3CD6（2004。 福建理）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是真正三角形，则这个椭圆的离心率是（ A ）A B C D7（2004. 福建理）如图，B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km。现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物。经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元

26、/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是( B ）A（22）a万元B5a万元C（2+1） a万元D（2+3） a万元8（2004. 重庆理）圆的圆心到直线的距离为( D ） A2 B C1 D9（2004. 重庆理）已知双曲线的左,右焦点分别为，点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的最大值为:（ B ）A B C D9（2004。 辽宁卷）已知点、，动点，则点P的轨迹是DA圆B椭圆C双曲线D抛物线10（2004。 辽宁卷）已知点、，动点P满足. 当点P的纵坐标是时， 点P到坐标原点的距离是AABCD211（2004。湖南理）如果双曲线上一点P到右焦点的距离等于,那么点

27、P到右准线的距离是（ A ）AB13C5D12、（2004. 四川理）已知圆C与圆（x1）2+y2=1关于直线y=x对称,则圆C的方程为（ C ）A （x+1)2+y2=1 B x2+y2=1 C x2+(y+1）2=1 D x2+（y-1)2=113、（2004. 四川理）在坐标平面内，与点A(1，2）的距离为1，且与点B（3,1）的距离为2的直线共有( B )A 1条 B 2条 C 3条 D 4条14(7） （2004。 天津卷）若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是(A)(A） (B）(C） （D）15、(2004. 人教版理科）圆在点处的切线方程为( ）A、 B、 C、 D、16、（

28、2004. 人教版理科)设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为,则该双曲线的离心率（ ）A、 B、 C、 D、17） （2004。 天津卷）设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点.若，则（C）（A) 或 (B) 6 （C） 7 （D)9二）填空题11（2004。 辽宁卷）若经过点P（1,0）的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是 1 .12（04. 上海春季高考）过抛物线的焦点作垂直于轴的直线，交抛物线于、两点，则以为圆心、 为直径的圆方程是_.13（2004。 辽宁卷）若经过点P（1,0）的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是 1 .14（04. 上海春季高

29、考）过抛物线的焦点作垂直于轴的直线，交抛物线于、两点，则以为圆心、 为直径的圆方程是_。15（2004. 重庆理）对任意实数K,直线：与椭圆:恒有公共点，则b取值范围是_ 1，3_16（2004。 福建理）直线x+2y=0被曲线x2+y26x2y15=0所截得的弦长等于 4 .17(04。 上海春季高考）若平移椭圆，使平移后的椭圆中心在第一象限,且它与轴、轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是_.18（04。 上海春季高考）若平移椭圆，使平移后的椭圆中心在第一象限,且它与轴、轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是_.19(2004。湖南理)设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P

30、i（i=1，2，3,），使|FP1|，FP2|,FP3|，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为 .20、（2004. 人教版理科）设是曲线上的一个动点,则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为 .21。以点（1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_。22、（2004。 四川理)设x，y满足约束条件：,则z=3x+2y的最大值是 5 。23、(2004。 四川理）设中心在原点的椭圆与双曲线2x2-2y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 。（）24. （2004. 天津卷)如果过两点和的直线与抛物线没有交点,那么实数的取值范围是_ 25、(200

31、4。上海理）设抛物线的顶点坐标为（2,0）,准线方程为x=1，则它的焦点坐标为 （5,0） 。26、圆心在直线2xy7=0上的圆C与y轴交于两点A（0, 4),B(0, -2)，则圆C的方程为 （x2)2+(y+3)2=5 。27、(2004。上海理）教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 用代数的方法研究图形的几何性质 .28、（2004. 上海卷文科)当x、y满足不等式组2x4时，目标函数k=3x2y的最大值为6 .y3x+y829、（2004。 上海卷文科)圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0, 4),B(0, 2),则圆C的方程为 (x2）2+（

32、y+3)2=5 .三）解答题30（2004。 辽宁卷）（本小题满分12分）设椭圆方程为,过点M（0，1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点,点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时,求: (1）动点P的轨迹方程； （2）的最小值与最大值. 30本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识,以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分12分。 （1）解法一:直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 的解.2分将代入并化简得,，所以于是6分设点P的坐标为则消去参数k得 当k不存在时，A

33、、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程，所以点P的轨迹方程为8分解法二:设点P的坐标为,因、在椭圆上，所以 得,所以当时，有 并且 将代入并整理得 当时，点A、B的坐标为（0，2）、(0，2)，这时点P的坐标为（0，0）也满足,所以点P的轨迹方程为8分(2）解：由点P的轨迹方程知所以10分故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为12分注：若将代入的表达式求解，可参照上述标准给分.31(2004。湖南理）(本小题满分12分）如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m0）作直线与抛物线交于A，B两点,点Q是点P关于原点的对称点。（I)设点P分有向线段所成的比为,证明：；（

34、II）设直线AB的方程是x2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。31解：（）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 设A、B两点的坐标分别是 、x2是方程的两根.所以 由点P(0，m）分有向线段所成的比为，得又点Q是点P关于原点的对称点,故点Q的坐标是（0，m），从而. 所以 (）由 得点A、B的坐标分别是（6，9)、（4，4）.由 得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为 设圆C的方程是则解之得 所以圆C的方程是 即 32(2004。 天津卷)（本小题满分14分) 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A,过点A的直线与椭圆

35、相交于P、Q两点。(I） 求椭圆的方程及离心率；(II）若求直线PQ的方程；(III）设，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。(22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程,平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。（I）解:由题意，可设椭圆的方程为 由已知得 解得 所以椭圆的方程为，离心率 。.。4分（II）解： 由(I)可得设直线PQ的方程为由方程组 得 依题意 得 设 则 由直线PQ的方程得 于是 。.。.。.。.。.。8分 由得从而所以直线PQ的方程为 或 。.。.。.。.。.10分（III）证明：由已知得方程组 注意

36、解得 。.。.。.。.。.。.。.。12分因故 而所以 。.。.。.。.。.14分33。制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100和50,可能的最大亏损分别为30和10。 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元。 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？33、解:，设 当时,取最大值7万元34。（2004。江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为,一个焦点是F（m，0）(m是大于0的常数)。 （)求椭圆的方程； (）设Q是椭圆上的一点

37、，且过点F、Q的直线与y轴交于点M。 若，求直线的斜率.35、解：(1）（2）或036（2004. 福建理）(本小题满分12分）如图，P是抛物线C：y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q。(）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（）若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围.37. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：(）设P(x1，y1），Q(x2，y2），M(x0，y0），依题意x10，y1>0,y2>0.由y=x2, 得y=x.过点P的切线的斜率k切= x1，直线l的斜率kl=,直线l的方程为yx12= (xx1)，方法一：联立消去y，得x2+xx122