113导数的几何意义

1、1. 1.3导数的几何意义课前预习学案一 预习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题。二 预习内容1.曲线的切线及切线的斜率（1）如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,即时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线称为 .（2）割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点时,无限趋近于切线的斜率,即= = 2.导数的几何意义函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,即= .三 提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一 学习目标1.了解平均变化率与

2、割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题二 学习过程 （一）。复习回顾 1平均变化率、割线的斜率2。瞬时速度、导数（二）。提出问题，展示目标我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢？（三）、合作探究1.曲线的切线及切线的斜率（1）如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？（2）如何定义曲线在点处的切线？(3)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？(4)切线的斜率为多少？说明: (1)当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.这个概念: 提供了求曲线上某点

3、切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.2.导数的几何意义（1）函数在处的导数的几何意义是什么？（2）将上述意义用数学式表达出来。（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程？3.导函数（1）由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时, 便是的一个函数,我们叫它为的导函数. 注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.（2）

4、函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系是什么？区别：联系：（四）。例题精析例1 求曲线在点处的切线方程.解: 变式训练1求函数在点处的切线方程.例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,根据图像,请描述、比较曲线在、附近的变化情况.解: 我们用曲线在、处的切线,刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.(1) 当时,曲线在处的切线的斜率 ,所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当时,曲线在处的切线的斜率 ,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减.(3)当时,曲线在处的切线的斜率 ,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减从图3.1-3可以看出,直线的倾斜程度

5、小于直线的倾斜程度,这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢.例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:)变化的图象.根据图像,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到).解: 三。反思总结1.曲线的切线定义.2.导数的几何意义3求曲线在一点处的切线的一般步骤：四。当堂检测1.求曲线在点处的切线.2.求曲线在点处的切线.1.1.1.3 导数的几何意义 教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题二教学重点难点：重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.难点：导数

6、的几何意义三教学过程：（一）。【复习回顾】 1平均变化率、割线的斜率2。瞬时速度、导数（二）。【提出问题，展示目标】我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢？（三）、【合作探究】1.曲线的切线及切线的斜率如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？我们发现,当点沿着曲线无限接近点即时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.问题: (1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？ (2)切线的斜率为多少？容易知道,割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点时,无限趋近于切线的斜率,即说明: (1)当时,割线的斜率,称为曲

7、线在点处的切线的斜率.这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在处的导数. (2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.2.导数的几何意义函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率, 即说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出点的坐标;求出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率;利用点斜式求切线方程.3.导函数由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变

8、化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.记作:或,即.注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.4.函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数. (3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一.四。【例题精析】例1 求曲线在点处的切线方程.解: 所以,所求切线的斜率为因此,所求的切线方程为即变式训练1求函数在点处的切线方程.因为 所以,所求切线的斜率为,因此,所求的切线方程为即例2 如图3.1

9、-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,根据图像,请描述、比较曲线在、附近的变化情况.解: 我们用曲线在、处的切线,刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.(1) 当时,曲线在处的切线平行于轴,所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当时,曲线在处的切线的斜率,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减.(3)当时,曲线在处的切线的斜率,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减从图3.1-3可以看出,直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢.例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:)变化的图象.根据图像,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到).解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度在此时刻的导数,从图像上看,它表示曲线在此点处的切线的斜率.如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作处的切线,并在切线上去两点,如,则它的斜率为,所以下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率0.40-0.7-1.4五。课堂小结1.曲线的切线定义.当点沿着曲线无限接近点即时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线