数理统计之多维随机变量函数的分布

1、1）第三章 随机变量及其分布3）下列系统中，每个元件的寿命分别为随机变量下列系统中，每个元件的寿命分别为随机变量 X,Y ，它们相互独立同分布。求系统寿命它们相互独立同分布。求系统寿命 Z 的分布。的分布。),min(YXZ ),max(YXZ YXZ 2）退 出前一页后一页目 录5 多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布XY012 1 21312312112101211221220122的的分分布布律律为为设设随随机机变变量量),(YX例例1 1求求 X+Y, X-Y, XY 的分布律。的分布律。一、二维离散型随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分布概率概率),(YX)2,

2、1( 121) 1, 1( 121) 0 , 1( 123 221,122 121,121)2, 3( 122)0 , 3(122解解等价于等价于XY012 1 21312312112101211221220122概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121)0 , 1( 123 2,21122 1,21121)2, 3( 122)0 , 3(122YX 3 2 1 23 21 13XY 101 52325321 2101 6 0XYYX P3 2 1 23 21 13121121123122121122122所以分布律分别为：所以分布律分别为：-X YP1 013252351

3、21121123122121122122XYP6 1 12 012121121512122121122例例2 2 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与 Y 的分布律为的分布律为XXP317 . 03 . 0YYP424 . 06 . 0求随机变量求随机变量 Z=max(X,Y) 的分布律的分布律.,jijiyYPxXPyYxXP 得得YX421318. 012. 042. 028. 0因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立, 所以所以解解可得可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18. 012. 042. 028. 0max(,)ZX Y 2434所以所以ma

4、x(,)ZX Y P34218. 00.420.40YX421318. 012. 042. 028. 0例例3: 从从1,2,3,4中随机取出一个数记为中随机取出一个数记为X,再从再从1到到X中随机取出一个数记为中随机取出一个数记为Y.求求X+Y, X-Y, Y2的分布律的分布律.求求X+Y, X-Y, Y 2的分布律的分布律+ 2 3 4 5 6 7 81157711 482448481616X YP 0 1 2 3 251371 48484816XYP 2 1 4 9 16 251371 48484816YP例例 4的的分分布布律律机机变变量量，试试求求随随分分布布，令令的的与与参参数数为

5、为相相互互独独立立，且且分分别别服服从从与与设设随随机机变变量量ZYXZYX Poisson21 解：解：，的的取取值值都都是是与与由由随随机机变变量量210YX，的的取取值值也也是是可可知知随随机机变变量量210YXZ 而而且且， nZP nYXP 第三章 随机变量及其分布 nkknYkXP0，退 出前一页后一页目 录 nkknYkXP0， nkknkeknek02121! nkknYPkXP0 nkknkknke021!121 nkknkknknne021!21 第三章 随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录 nkknkknCne021!21 nne21!21 即，即， 21!21 en

6、nZPn ，210 n第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布分分布布的的服服从从参参数数为为Poisson21 YXZ分分布布，则则的的与与参参数数为为相相互互独独立立，且且分分别别服服从从与与若若随随机机变变量量Poisson21 YX结论：结论：退 出前一页后一页目 录解题步骤：解题步骤： ，的的分分布布函函数数，先先求求随随机机变变量量函函数数zFYXgZZ ，的的密密度度函函数数，再再求求随随机机变变量量函函数数zFzfYXgZZZ 第三章 随机变量及其分布二、二维连续型随机变量函数的分布二、二维连续型随机变量函数的分布已知二维随机变量（已知二维随机变量（X,Y）的联合密度

7、为）的联合密度为 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元连续函数，欲求随机变量是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g (X,Y)的概率密度。的概率密度。退 出前一页后一页目 录1）一般函数的分布）一般函数的分布2）和的分布）和的分布 ，数为数为，其联合密度函，其联合密度函是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量，设设yxfYX，令令：YXZ 的的分分布布函函数数首首先先计计算算随随机机变变量量zFYXZZ zZPzFZ zYXP zyxdxdyyxf，第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布xyOx + y = z xzdyyxfdx，退 出前一页后一页目 录,xuy

8、 作作变变换换：则有则有 zZduxuxfdxzF， dxxuxfduz，第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 xzzdyyxfdxzF，)(的的密密度度函函数数为为导导，可可得得求求之之间间的的关关系系，上上式式对对由由分分布布函函数数与与密密度度函函数数YXZz zFzfZZ dxxzxf，退 出前一页后一页目 录由于由于 X , Y 的对称性可得的对称性可得 dyyyzfzfZ，相相互互独独立立，则则有有与与特特别别地地，如如果果随随机机变变量量YX .yfxfyxfYX ，此此时时，我我们们有有 dxxzfxfzfYXZ或者或者 dyyfyzfzfYXZ第三章 随机变量及

9、其分布5 多维随机变量函数的分布退 出前一页后一页目 录例例5解：解： 的的密密度度函函数数，试试求求随随机机变变量量，令令，相相互互独独立立，与与设设随随机机变变量量ZYXZNYNXYX 1010由由题题意意，可可知知 ，则有，则有的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ ,2122xexfxfxYX dxeexzx222221 第三章 随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录，代入上式，有，代入上式，有则有则有，作积分变换作积分变换dxduzxu 222作作配配方方法法，得得的的指指数数上上对对在在上上式式中中xe dxeezfzxzZ222421

10、21 dueezfuzZ22222221221 2222221 ze ，这这表表明明，20 NZ第三章 随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录结结 论：论： ,211 ，NX相相互互独独立立，且且与与如如果果随随机机变变量量YX，YXZ 222 ，NY 222121 ，则则NZ第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布退 出前一页后一页目 录77页（96页）： 2iiiNX ，结结论论：更更一一般般地地，我我们们有有如如下下相相互互独独立立，如如果果随随机机变变量量nXXX21，令：令： niiiXaZ1 ni，21 niiiniiiaaNZ1221 ，则则个实常数，个实常数，为为，

11、又又naaan21第三章 随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录例例 6解：解： 的密度函数的密度函数，试求随机变量，试求随机变量均匀分布，令均匀分布，令上的上的，相互独立，都服从区间相互独立，都服从区间与与设随机变量设随机变量ZYXZYX 10由由题题意意，可可知知 ., 0, 10, 1其其它它xxfX ., 0, 10, 1其其它它yyfY ，则有，则有的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ第三章 随机变量及其分布 dxxzfxfzfYXZ5 多维随机变量函数的分布退 出前一页后一页目 录, 20 zz，或或若若 . 0 zfZ，若若10 z

12、 zZdxzf01. z 第三章 随机变量及其分布 dxxzfxfzfYXZ10, 10 xzx 111zZdxzf.2 z ，若若21 z的密度函数为的密度函数为综上所述，我们可得综上所述，我们可得YXZ ., 0, 21,2, 10,其它其它zzzzzfZ5 多维随机变量函数的分布例例 6（续）（续）退 出前一页后一页目 录xz0 xz1 xz0112. .的概率密度的概率密度求电阻求电阻其他其他它们的概率密度均为它们的概率密度均为相互独立相互独立设设串联联接串联联接和和两电阻两电阻在一简单电路中在一简单电路中212121., 0,100,5010)(,RRRxxxfRRRR 解解的的概概

13、率率密密度度为为由由题题意意知知 R.d)()()( xxzfxfzfR例例7 ,100,100 xzx当当,10,100时时即即 zxzx102010 zxzx Ozx10 x.d)()()(中被积函数不为零中被积函数不为零 xxzfxfzfRxxf x10,010,( )500,. 其其他他 ., 0,100,50)(10)(其他其他xzxzxzf)1(., 0,2010,d50)(105010,100,d50)(105010)(10100 其他其他zzRzxxzxzxxzxzf102010 zxzx Ozx10 x ., 0,2010,15000)20(,100,15000)60600(

14、)(332其其他他zzzzzzzfR整理得整理得),()(,yFxFYXYX和和的分布函数分别为的分布函数分别为它们它们变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机设设对任意的实对任意的实数数 z 有有)(1maxzZPzF )()(zYzXP zYPzXP ).()(zFzFYX 12max(, ),min(, )ZX YZX Y 的的分分布布三、三、极值分布极值分布).(1)(1 1zFzFYX 1 1 1zYPzXP 故有故有),()()(maxzFzFzFYX ).(1)(11)(minzFzFzFYX )(2minzZPzF 12zZP ,1zYzXP 1zYPzXP 推广推广的

15、的分分布布函函数数分分别别为为及及则则),min(),max(2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2, 1()(,21nixFnXXXiXni 它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为量量个相互独立的随机变个相互独立的随机变是是设设).(1)(1)(11)(21minzFzFzFzFnXXX 则则分布函数分布函数相互独立且具有相同的相互独立且具有相同的若若,)(,21xFXXXn,)()(maxnzFzF .)(11)(minnzFzF .(ii),(i),21并并联联串串联联连连接接的的方方式式分分别别为为联联接接而而成成统统由由两两个个

16、相相互互独独立立的的子子系系设设系系统统LLLXY1L2LXY2L1L例例8度分别为度分别为已知它们的概率密已知它们的概率密的寿命分别为的寿命分别为设设,21YXLL0,0. 其其中中且且 , 0, 0, 0,e)(xxxfxX , 0, 0, 0,e)(yyyfyY分别对以上两种联接方式给出系统分别对以上两种联接方式给出系统 L 的寿命的寿命Z的概率密度。的概率密度。 , 0, 0, 0,e)(xxxfxX由由解解串联情况串联情况(i),21就停止工作就停止工作系统系统中有一个损坏时中有一个损坏时由于当由于当LLL的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,min(YXZ ,0,0,0,e1)(xxxFxXXY1L2L ; 0, 0, 0,e)(yyyfyY由由 . 0, 0, 0,e