整理广义积分的收敛判别法

1、第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算 , 在实际应用中，我们将发现 大量的积分是不能直接计算的， 有的积分虽然可以直接计算， 但因为 过程太复杂， 也不为计算工作者采用， 对这类问题计算工作者常采用 数值计算方法或 Monte-Carlo 方法求其近似值 . 对广义积分而言， 求 其近似值有一个先决条件 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因 此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的定理9.1 (Cauchy收敛原理)f(x)在a, + 乂 )上的广义积分f (x)dxa 收敛的充分必要条件是：0, 存在 A>0, 使得 b, b >A 时，恒有b/| b f(

2、x)dx|证明：对 lim f (x)dx 0使用柯西收敛原理立即得此结论bb同样对瑕积分f (x)dx(b为瑕点),我们有a定理9.2 (瑕积分的Cauchy收敛原理)设函数f(x)在a,b)上有定义， 在其任何闭子区间a, b-上常义可积，则瑕积分 :f(x)dx收敛的 充要条件是 : ,0, 只要 0< /，就有b/| b f (x)dx|定义9.5如果广义积分| f (x) | dx收敛，我们称广义积分f (x)dxaa绝对收敛(也称f(x)在a,+ )上绝对可积;如2 f (x)dx收敛而非绝 对收敛，则称a f (x)dx条件收敛，也称f(x)在a,+ )上条件可积.由于A,

3、 A a，均有A/A/| AA f (x)dx| AA | f (x)|dx因此，由 Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理定理9.3如果广义积分f(x)dx绝对收敛，则广义积分f(x)dx必aa收敛它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。对其它形式的广义积分， 类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性 质下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法 比较判别法：定 理 9.4( 无 限 区 间 上 的 广 义 积 分 ) 设 在 a,+) 上 恒 有0 f (x) k (x), (k 为正常数)则当 (x)dx收敛时， f (x)dx也收敛；aa当 f(x)dx发散时，(

4、x)dx也发散.aa证明：由 Cauchy 收敛原理马上得结论成立.对瑕积分有类似的结论判别法定理9.5设f(x), g(x)均为a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点， 如存在一个正常数 k, 使0 f (x) kg(x), x a, b), 则bb1) 如 g(x)dx收敛，贝卩f (a)dx也收敛。aabb2) 如 f(x)dx发散，则 g(x)dx也发散.aa比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式.定理9.6如果f(x)g(x)是a,+ )上的非负函数，且lim丄凶I,则'x g(x)(1)如果01,且ag(x)dx收敛，则积分af (x)dx也收敛.如果01,且ag

5、(x)dx 发散,则积分af (x)dx也发散.证明：如果lim便l0,则对于0(l0),存在A,xg(x)当xA时，0 l他lg(x)即(l)g(x)f(x) (l)g(x)成立.显然f(x)dx与ag(x)dx同时收敛或同时发散，在1=0 或 1 =时，可类似地讨论使用同样的方法，我们有bb定理9.7对以b为唯一瑕点的两个瑕积分f (x)dx与 g(x)dx如果aaf(x), g (x)是非负函数，且limI,贝Ux b g(x)bb(1) 当0 I,且 g(x)dx收敛时，贝yf(x)dx也收敛.aabb(2) 当0 I，且 g(x)dx发散时，则f (x)dx也发散.aa对无限区间上的

6、广义积分中，取1p dx作比较标准，贝S得到下列xpCauchy判别法：设纵)是a,+ )的函数，在其任意闭区间上可积，那么:定理9.8 若0f(x)p>1,那么积分-f(x)dx收敛，如f(x)cxp，p1,则积分f (x)dx 发散.其极限形式为定理9.9如limxxpf(x)l (0 l,p>1),则积分 f(x)dx收a敛.如lim xpf(x) I,而0 I , p 1,则 f(x)dxba发散.例9.8判断下列广义积分的收敛性。ln(1 】)丄 dxx 1 xm(m>0,n>0)x . dx1 xn解: (1)因为0 ln(1 -)x1x(1x)1?dx收敛

7、推出1ln(11 dx收敛.1 x(2)因为 lim xn mxmx1 xn1,所以当n m>1时，积分xm1 rvdx 收敛当nm 1 时'm积分1 +dx发散.对于瑕积分'使用:点dx作为比较标准'我们有下列柯西判别 法.定理9.10 设x=a是f(x)在a,b)上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积，那么Cb(1) 如 0 f(x)p (c>0),p<1,贝S f (x)dx收敛.(x a)aCb(2) 如 f(x)p (c>0), p 1,则 a f(x)dx 发散.(x a)a瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为定理 9.11 设 lim

8、 (x a)Pf(x) kx ab如 0 kv ,p<1,则 a f (x)dx收敛fb如0<k, p 1,那么 f(x)dx发散.a例9.9判别下列瑕积分的敛散性。(1)idx0 2 2 2、(1 x )(1 k x )dxpqsin xcos x(k2<1)(p,q>0)解：（1）1是被积函数的唯一瑕点因为 lim (1 x)2 / dxx 1J(1x2)(1k2)2(1 k2)1由p 2知瑕积分收敛.0与i都是被积函数的瑕点.先讨论 4d,由lim0- pqcsin xcos x x 0xp p 1 q 1sin xcos x当p<1时，瑕积分dx04厂。收

9、敛；当p 1时,瑕积分0 sin p xcosq xdxsinpxcosqx 发散.dx再讨论:薪M1dx所以当q<1时，瑕积分 当 丄时发散. p dX q收敛，4 sin xcos xdx当q 1时，瑕积分 2p发散.4 sinp xcosq xdx综上所述，当p<1且q<1时，瑕积分2pdx q收敛；其他情况0 sinp xcosq x发散.i例9.10求证：若瑕积分0f (x)dx收敛，且当x 0时函数f(x)单调趋 向于 + ，则 lim x f(x)=0.x 0丿证明：不妨设 x (0,1, f(x) 0,且f(x)在(0, 1)上单调减少。1已知°f(

10、x)dx收敛，由柯西收敛准则，有0( <1),0 x 有xx f (t)dt2从而xx f (t)dt2x 0< f(x)2或0<x f(x) 2即 lim x f(x)=0.x 01 1 1例9.11求证瑕积分dx( >0),当v-时收敛°x(1 cos x)3证明：'.TimX 0 x(13x= limcosx) x 0x331 COSXxx2 *=limx 01 cosx所以当3 <1时,即 <-时,3瑕积分收敛.1,即-时,3瑕积分发散.前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性,为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下

11、面的重要结果.定理9.12 (积分第二中值定理)设g(x)在a,b上可积，f(x)在a,b上单 调，则存在E a,b使ba f(x)g(x)dx = g(a)a f(x)dx g(b)a f(x)dx为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况.引理9.1设f(x)在a, b上单调下降并且非负，函数g(x)在a,b上可积， 则存在c a,b，使bca f (x)g(x)dx=f(a) a g(x)dxx证明：作辅助函数(x)二f(a) a g(t)dt,对a,b的任一分法P:a=x0<X1 <x2< <x n=b我们有f (x)g(x)dx =XiXi 1f(x)g(x

12、)dx由此得到b"Xi| a f (x)g(x)dx - f (Xi 1) x g(x)dx|axi 1这里Ln=|i 1i(f) Xi:f(x)xi 1XX |f(x)xi是|g（x）|在a,b的上界,这个估计式可知，当我们来证明f (Xi i)g(x)dx|f(Xi i)|g(x)|dxWi(f )是 f (x)在 Xi 1,上的振幅，从0时,应当有nf(Xi 1)Xix g(x)dxXiba f(x)g(x)dxmin (x)X a,bnX心1儿1能皿max】（x）为此，弓I入记号G(x)=xag(t)dt并作如下变换Xif(xi1)xiig(x)dxf(Xi 1)G(Xi)G

13、(Xj 1)f (Xi 1)G(Xi)f (Xi 1)G(Xi)nf (Xi 1)G(Xi 1)i 1n 1f (Xi)G(Xi)i 0nn 1=f (xi 1)G(xi)f ( xi )G(xi )(G(x0) G(a) 0)i 1i 1n= f (xi 1) f(xi)G(xi) f(xn)G(xn)i1因为f (xi 1) f (xi) 0,f (xn) 0,所以xif (xi 1) x i g(x)dxxi 1n f (xi 1) f (xi)G(xi) f(xn)G(xn) i1n f (xi 1) f (xi) f (xn) xmain,bG(x)i 1 x a,b= f (a)

14、min G(x)x a,b同样可证xif (xi 1)g(x)dx f (a)maxG(x)i1x a,bxi 1x a,b我们证明了不等式f (a) xm ain,bG(x)f (xi1xi1) xii1 g(x)dxxi 1f (a) xmaa,bxG(x)现令 |p| 0,min x a,bmin x a,b(x)nf (xii1y-1) xxig(x)dxxi 1max (x)x a,b取极限，就得到b(x) ab f (x)g(x)dxxmaa,xb(x)因此，存在c a,b，使得b(c)= f(x)g(x)dx (因为 (x)在a,b 上是连续函数) abc也就是 f (x)g(x

15、)dx= f (a) g(x)dx 证毕aa下面我们证明定理9.12 证明：如f(x)是单调下降的，则f(x) -f(b)单调下降且非负，由引理12.2.1 知，存在c a,b),使bcaf (x) f (b)g(x)dx = f (x) f (b) a g(x)dx即bcba f (x)g(x)dx= f (a) a g(x)dx f (b) c g(x)dx,对f(x)单调上升的情形，可作类似讨论.使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的 判别法定理9.13若下列两个条件之一满足，则f(x)g(x)dx收敛a(1) (Abel判别法) f (x)dx收敛，g(x)在a,

16、上单调有界；aA(2) (Dirichlet 判别法)设 F(A)= f(x)dx在a,上有界，g(x)在aa,)上单调，且 lim g(x)=0.x证明：(1)0,设|g(x)| M , x a,),因f(x)dx收敛，由aCauchy收敛原理， A a,使 A, A A时，有A1| A f(x)dx|2M由积分第二中值定理，我们得到AA1| A f (x)g(x)dx| |g(A) | | a f (x)dx | g(AJ | | f (x)dx|AM | f (x)dx| M | f (x)dx|A一 + =2 2再由Cauchy收敛原理知f(x)g(x)dx收敛aA, A a,显然有当

17、x>Ao时，有A1f (x)dx|(2)设M为F(A)在a,+ )上的一个上界，则AlI A f(x)dx| 2M同时，因为lim g(x)=0,所以存在A a,g(x)|<4Mx于是，对 A, A A有A1| A f(x)dx| |g(A)| | Af(x)dx| |g(A)| |2M |g(A)| 2M |g(A)|i=2 2由Cauchy收敛原理知f(x)g(x)dx收敛a例9.12讨论广义积分C0Sx dx的敛散性，1 x1解：令 f(x)=, g(x)=cosxx则当x 时，f(x)单调下降且趋于零，AF(A)= 1 cosxdx = sinA sin1 在a,)上有界.

18、 由Dirichlet判别法知C0dx收敛，1 x另一方面2| cosx | cos x 1 cos2x2x因 丄 dx发散，cos2x dx收敛1 2x1 2x从而非负函数的广义积分COS2 dx发散1 2x由比较判别法知妙勺dx发散，1 x所以1cosxdx条件收敛x例9.13讨论广义积分1C0Sx arcta n xdx 的敛散性.xcosx解：由上一题知，广义积分 dx收敛，而arctanx在a, + )1 x上单调有界，所以由Abel判别法知C0Sxarctanxdx收敛1 x另一方面，当x 3,cosxcosx|arcta nx| |xx前面已证1号dx发散由比较判别法知|cosx

19、arctanx|dx 发散，所以cosxarctanxdx 条件收敛.1对瑕积分也有下列形式的Abel判别法和Dirichlet判别法b定理9.14若下列两个条件之一满足，则 包f(x)g(x)dx收敛：(b为唯 一瑕点)一b(1) (Abel判别法)f(x)dx收敛，g(x)在a, b)上单调有界a在(0,ba上单调，且lim g(x) 0.x b证明：(1)只须用第二中值定理估计b /b f(x)g(x)dxb(2) (Dirichlet 判别法)F( )= f(x)dx 在a, b)上有界,g(x)a读者可以仿照定理11.2.8(1)的作法完成(1)的证明.(2)读者可以仿照定理11.2

20、.8(2)的作法完成(2)的证明.例9.14讨论积分.1sin 1 xdx0 xp dx(0<p 2)的敛散性解：对于0<p<1 ,因为.1sinxxp1 1由0dx收敛知0xp.1 sin 1 x0 xpdx绝对收敛敛对于0 p<2,因为函数f(x) =x2 p,当x 0时单调趋于0,而函数1sing(x)=满足x.1sinxd1|cos1 cos| 2所以积分.1sin 1_x0 xpdx.1sinpx2xdx收敛.但在这种情况下,.1 sindx是发散的,xxp事实上.1sinxxp 2 1sin -xxp12xp2 cosx2xp1 1因027 dx发散'

21、;2cos1'pdx收敛,0 2xp.1sin xxpdx发散从而当0 p<2时，积分条件收敛.最后我们讨论p=2的情形,因为.1sin彳1 x12 dx cos1 cos-xn当 0时，上式无极限，所以积分.11si n 0dx发散.0 x值得注意的是，两种广义积分之间存在着密切的联系1f (x)dx 中 x=a为f(x)的瑕点，作变换y=-x af (x)dx 二f(aib a-)2工dy,而后者是无限区间上的广义积分y1、习题9.2论下列积分的敛散性(包括绝对收敛，条件收敛，发散)In In x .,(1)sin xdx;In xsin x2dx ； dx ； cos xs