概率多维随机变量及其分布

1、数学与统计学院概率统计教研室第三章多维随机变量及其分布教学目的：(1)使学生掌握多维随机变量的概念及其联合分布，理解并掌握边际分布和随机变量的独立性概念；(2) 使学生掌握多维随机变量函数的分布，理解并掌握多维随机变量的特征数；(3) 使学生理解和掌握条件分布与条件期望.重点：本章的重点是多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布及条件分布、多维随机变量的特征数难点：难点是多维随机变量函数的分布及条件分布的求法学 时：18引入：在有些随机现象中，对每个样本点只用一个随机变量去描述是不够的，比如研究儿童的生长发育情况，仅研究儿童的身高 X()或仅研究其体重 Y()都是片面的，有必要

2、把 X(.)和丫(.)作为一个 整体来考虑，讨论它们总体变化的统计规律性，进一步讨论X( )和丫(，)之间的关系.在有些随机现象中，甚至要同时研究二个以上随机变量如何来研究多维随机变量的统计规律性呢？仿照一维随机变量，我们先研究联合分布函数，然后研究离散随机变量的联合分布列、连续随机变量的密度函数3.1多维随机变量及其联合分布3.1.1多维随机变量定义3.1.1 :如果X1 C ),X2C )J|,XnC )是定义在同一个样本空间门二上的n个随机变量，则称X( ) = X, )X2( ),ll|,Xn()为n维(或n元)随机变量或随机向量.在实际问题中，多维随机变量的情况是经常会遇到的.譬如在

3、研究家庭的支出情况时，我们感兴趣的假定是每个家庭(样本点)的衣食住行四个方面，若用X1C),X2(),X3C),X4C)分别表示衣食住行的花费占其家庭总收入的百分比，则X( )，X2( ),X3( )X4( J就是一个四维随机变量.3.1.2联合分布函数定义3.1.2 :对任意n个实数x,x2,x, , n个事件XI x1, X x2,Xn乞xj同时发生的概率F (x1, x2，,xn ) = P X1 一 X 2 - x2，,X n - xn被称为n维随机变量(XX?,Xn)的联合分布函数.本章主要研究二维随机变量，二维以上的情况可以类似进行第1页共8页数学与统计学院概率统计教研室y(2)乡

4、XS3 L. I履台势布函塾示总團在二维随机变量(X，丫)场合，联合分布函数F (x, y) = P(X乞x,Y岂y) 是事件空处与丫岂y同时发生(交)的概率如果将二维随机变量 (X,Y)看成是平面随机点的坐标，那么联合分布函数F(x, y)在(x, y)处的函数值F(x,y)就是随机点(X,Y)落在以(x, y)为右上角的无穷矩形内 的概率(见右图).定理3.1.1 :任何一个二维联合分布函数 F(x, y)必具有如下四条基本性质(1) 单调性：F(x, y)分别对x或y是单调不减的，即当 x, ： x2 时，有 F(xy)二 P(X _ 为,丫 _ y) _ P(X _ x?” _ y)

5、= F (x?, y). 当 y, ： V2时，有 F(x,y,)二 P(X ExYEyJzPCX mx,Y y2)= F(x,y2).(2) 有界性：对任意的 x和y，有OmF(x, y)岂1，且 F(：, -：)二 lim F(x,y)二 lim P(X x,Y 乞 y) =O ；X_ 泮yy ：: F(：,y) = lim F(x,y)=lim P(X x,丫乞 y)=O ； F(x, -：)= lim F(x,y) = lim P(X _ x,Y _ y) =O ；y沖y>°o F(0 兄)=xiymJ(x,y) = xmP(X 兰 x,丫兰 y) = 1.yjbc(3

6、)右连续性：对每个变量都是右连续的，即 -X。 R,有 F(x O,y)= lim F(x, y) = F (x。，y)；xo书-yO R,有 F(x,yO eJmOFX八F(x,yO).(4)非负性：对任意的 a : b, c ： d有醞C)F =F(b,d) -F(a,d) -F(b,c) + F(a,c) = P(a v x 兰 b,c vY 兰 d) A 0 证明(4):P(a ： X 込b, c ： Y d)二P(X _b,Y _d) -P(X _a,Y _d) -P(X _b,Y _c) - P(X _a,Y _c)二 F (b,d) - F (a,d) - F (b,c) F (

7、a, c) 一 0注：任何一个二维联合分布函数F(x, y)必具有以上四条基本性质，还可证明具有以上四条性质的二元函数F(x, y) 定是某个二维随机变量的分布函数.即这四条性质是判定一个二元函数是否为某个随机变量的分布函数的充要条件，比一维情形下多了一个条件丄0, x y ： 0例3.1.1 :判定二元函数F(x, y)是否为某个二维随机变量的分布函数.1, x + y 启0解：二元函数F（x,y）二0，%0的图形如右图1, x + y X0由图显然可知二元函数F(x, y)满足性质(1) (2) (3),但是P(_1 ： X 叮，_1 ：Y <1)= F(1,1)F(1,1) F(1

8、,1) + F(1,1)=1 -1-1 - -1 ：0图3.2不满足分布函數性质4的四于点所以，性质（4）不满足.故F（x,y）不是某个二维随机变量的分布函数.分析：证明某个二元函数是二维分布函数需验证满足二维分布函数的四条性质（1）（ 2）（ 3）（ 4），若证明不是二维分布函数只需验证其中一条性质不满足即可3.1.3联合分布列定义3.1.3 :若二维随机变量（X,Y）只取有限个或可列个数对 （洛，比），则称其为二维离散随机变量，称（1）非负性：pij -0 ；Pj=P（X 二冷丫 詔），i,j =1,2,be -be(2)正则性：一一Pj =1i =1 j =1分析：求二维离散随机变量的联

9、合分布列，关键是写出二维离散随机变量可能取的数对及其发生的概率例3.1.2 :从1,2,3,4中任取一个数记为 X，再从1,Hl,X中任取一数记为 Y，求（X,Y）的联合分布列及P（X =Y）.1解：（X,Y）为二维随机变量，其中X的分布列为：p（x=i）= , i =1,2,3, 44Y的可能值也是1,2,3,4，若记j为Y的取值，贝U第5页共8页数学与统计学院概率统计教研室(1 )当 j i 时，P(X =i,Y =j) =P(._ ) =0 ;1 1 1(2)当 1 乞 j 叮乞4时，P(X =i,Y = j) =P(X =i)P(Y = j |X =i)：4 i 4i由此可以算得事件1

10、X =Y 的概率为:111125P(X =Y)=弘 F22 P33 P440.52084 8 12 16 483.1.4联合密度函数定义3.1.4 :如果存在二元非负函数 p(x,y)，使得二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)可表示为x yF(x, y)二p(u,v)dvdu,则称(X,Y)为二维连续随机变量，称p(u,v)为(X,Y)的联合密度函数.注:在偏导数存在的点上，有p(x, y)=一F(x, y).联合密度函数的基本性质(1) 非负性 p(u,v) _0;(2) 正则性 "p(u,v) =1.¥r 尸MF注:给出联合密度函数 p(x,y)，就可以求有关事

11、件的概率了 .若G为平面上的一个可积区域，则事件( X ,Y) G的概率可表示为在 G上对密度函数 p(x, y)的二重积分P(X,Y) G)二 p(x, y)dxdyG在具体使用上式运算时时，要注意代入后的新积分范围是p( x, y)的非零区域与 G的交集部分，然后设法化二重积分为二次累次积分，最后计算出结果例3.1.3 :设(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)二6ey0 ,x 0,y0;其他.试求：(1) P(X : 1, Y 1) ；(2) P(X Y).解：(1) P(X :：: 1,Y1):i二 “.：p(x,y)dxdy:i6eydxdyi odxX-2e106y-3-e=0.0

12、433!第11页共8页 P（x Y）j：；6eZydydx郵丄玄® BXj濟1非零区域牺件仏沖的交集DP（Xn!X2 = n2 ,X r = nr ）=皿严Pr,（n = q n2 亠亠 nr） 二2e"（1-e；x）dx51 1 4553.1.5常用多维分布一、多项分布(多项分布是重要的多维离散分布，它是二项分布的推广)进行n次独立重复的试验，如果每次试验有r个可能结果：a,a2,Ar,且每次试验中事件 A发生的概率均为pj二P(A) (i =1,2, ,r; p1ppr =1)，设Xi为n次独立重复的试验中事件 A出现的次数(i =1,2,r)，则r维随机变量(XX2，

13、,Xr)取值为(n 1, n2,nr)时的概率，即A出现n1 次，A2出现rt次，, A出现nr次的概率为这个联合分布列称为r项分布，又称为多项分布，记为M (n, p1, p2,，pr).这个概率是多项式(p1 p2亠pr)n的展开式中的一项，故其和为1特别低，当r =2时，为二项分布.例3.1.4: 批产品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件从这批产品中有放回地 任取3件，以X和Y分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量(X,Y)的联合分布列解：X和Y的可能取值都是0,1,2,3，令卩耳二P(X = i,丫二j) (i, j =0,1,2,3)(1

14、) i j 3 时，有pij- 0，即口3二 P22二 P23 二 p31=P32二心3= 0 ；(2) i j <3时，事件X =i,丫二j表示：取出的3件产品中有i件一等品、j件二等品、3- i - j 件三等品的件数，所以有放回地抽取时，对i j岂3，有心(2'丫=沪(3诒M(訥1T心挣W即G严3-i_ji!j!（3-i-j）!此例中(X,Y)的分布又叫 三项分布，它是一种特殊的多项分布、多维超几何分布多维超几何分布的描述：袋中有N只球，其中有Ni只i号球，"1,2.记N二NN2 ，Nr ,从中任意取出n只，若记Xi为取出的n只球中i号球的个数(i =1,2,r)

15、，则7、(NPg =厲必2 =门2, Xr =厲)=2nin2nrCNiCN2CNcNg n2 亠 亠 nr = n).例3.1.5: 批产品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件从这批产品中不放回地 任取3件，以X和Y分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量(X,Y)的联合分布列解:令 Pj 二P(X =i,丫二 j) (i, j =0,1,2,3)(1) i+j >3时，有Pj=0，即p13=P22= P23=P31=P32=P33= 0；(2) i j <3时，事件X=i,Y = j表示：取出的3件产品中有i件一等品、j件二等品、3-i

16、-j件三等品的件数，所以有放回地抽取时，对i j乞3，有pj = P(X = i ,丫 = j)=j人3-i-j丿100)C6oC3joCw"j3100此例是超几何分布的推广，称为 三维超几何分布，它是一种特殊的多维超几何分布 三、多维均匀分布设D为Rn中的一个有界区域，其度量(平面上为面积，空间上为体积)为Sd，如果多维随机变量(X1,X2, Xn)的联合密度函数为1,(X1,X2, ,Xn) DP(X1,X2,Xn)二二Sd0,其他则称(X1,X2,Xn)服从D上的多维均匀分布，记为(X1,X2,Xn)U(D) 二维均匀分布所描述的随机现象就是向平面区域D中随机投点，如果该点坐标

17、(X,Y)落在D的子区域G上的概率只与G的面积有关，而与 G的位置无关，则P(X,Y) G)=.P(X, y)dxdy.十 dxdy 二 G 的面积gg SdD的面积解法r 2J.dydx；：2 Cdx注:.、a2匚x2dx 二；、a222a . x-xarcs inc2 a丄xJTr+rarcsinT 兀rrx J/2_r 2r+JMarcsin1V 42七尹.609解法（求几何概率）第13页共8页因为（X,Y）服从D上的二维均匀分布，所以u. J3 2:1 r 3P(X"4)i ： rr 46_2: r四、二元正态分布如果二维随机变量（X ,Y）的联合密度函数为p（x, y） =

18、 exp_1（x,） _2P（x_B）（y_42）+（y_；2）,<+«2 阿 b2j1 F2（1P2）d566则称（X,Y）服从二维正态分布，记为（X,Y） j2,J2,；鳥，J其中五个参数的取值范围分别是:-:：”：U, "2= ； ，二 2 0 ； 一1 一一1.以后将指出：J1, J2分别是X与Y的均值；12卢22分别是X与Y的方差；T是X与Y的相关系数 例3.1.7：设二维随机变量（X,Y） N（72，时,烏，'）求（X,Y）落在区域D内的概率其中Dx,y)数学与统计学院概率统计教研室解：P (X,Y) D2 二 m .'1P2expD2 21(X f、1 )2( X 丄1 )( y 、2)( y f、2)、-20xdyP2exp J '(2(1 P2)L,X 气 _p)2+(1 + p2)(y-" |-2dxdyx _已门y _ #2 v y _込,v 二2-，则J ：:(x, y)所