最新一元二次方程全章导学案资料

1、精品文档21. 1 一元二次方程（1）学习目标：了解一元二次方程的概念；一般式 ax2+bx+c=0 （a0）及其派生的概念；？应用 一元二次方程概念解决一些简单题目.1. 通过设置问题，建立数学模型，？模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定 义.2元二次方程的一般形式及其有关概念.3. 解决一些概念性的题目.4. 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 重难点：重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概 念解决问题.难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，？再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.活动1 :阅读教材第2至3

2、页，并完成以下内容。问题1要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下） 的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 分析：设雕像下部高x m，则上部高，得方程整理得问题2如图，有一块长方形铁皮，长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样 的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方 盒的底面积为3600c卅，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为 宽为得方程IIIIx -IL_整理得:问题3要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛

3、程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为设应邀请x个队参赛，每个队要与其他 队各赛1场，所以全部比赛共。列方程化简整理得 请口答下面问题：(1) 方程中未知数的个数各是多少？ (2) 它们最高次数分别是几次？ 方程的共同特点是：这些方程的两边都是只含有知数(一元)，并且未知数的最高次数是(二次)的方程1. 一元二次方程：2. 一元二次方程的一般形式:一般地，任何一个关于x的一元二次方程，？经过整理，？都能化成如下形式ax2+bx+c=0 (a0).这种形式叫做一元二次方程的 一般形式.其中ax2是, 是二次项系数；bx是, 一次项系数； 是常数项

4、。(注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。二次项系数a=0是一个重要条件，不能漏掉。)3. 例 将方程(8-2x) (5-2x) =18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次 项系数、一次项系数及常数项.活动2知识运用课堂训练例1：判断下列方程是否为一元二次方程：2-1)=3y君2=0xx2 =5 4x(1)12 = 0(2)2(x(3) 2x 3x 1=0(4)(5) (x 3) 2 = ( x - 3) 2(6)9x1将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、及常数项:2 2 5x -1=4x 4x=81 4x(x+2)=25(3x-2)(x+

5、1)=8x-32根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式: 4个完全相同的正方形的面积之和是 25,求正方形的边长x;一个长方形的长比宽多2,面积是100，求长方形的长x;把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方, 求较短一段的长x。3.求证：关于x的方程(m2-8m+17) x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程.2.般形式 ax2+bx+c=0 ( aM 0)活动3 归纳内化一元二次方程：1.概念活动4:课堂检测1 在下列方程中，一元二次方程有2222 5 3x +7=0 ax +bx+c=03( x-2) (x+

6、5) =x -13x - =0x2.方程2x2=3( x-6)化为一般式后二次项系数、？ 一次项系数和常数项分别是().A .2, 3, -6 B. 2, -3, 18 C. 2, -3, 6 D. 2, 3, 63. px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则()A . p=1 B . p>0 C. pM 0 D . p 为任意实数4.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为 一次项系数为常数项为.5. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、及常数项: 3x2+仁6x 4x2+5x=81 x(x+5)=0(2x-2)(x-1)=0 x(x+5)=5x-1

7、0(3x-2)(x+1)=x(2x-1)活动5:拓展延伸1. 当a寸，关于x的方程a (x2+x) =V5x2- (x+1 )是一元二次方程.2 72. 若关于x的方程(m+3 xm + (m-5) x+5=0是一元二次方程，试求 m的值，？并 计算这个方程的各项系数之和.3.关于x的方程(m2-m) xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么?21 . 1 一元二次方程(2)学习目标：1了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用 它们解决一些具体问题.2 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解 给出根的概念；再由根的概念判定一个

8、数是否是根同时应用以上的几个知识点解决 一些具体问题.重点、难点重点：判定一个数是否是方程的根；难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题 的根.活动1阅读教材P2 P3 ,完成课前预习1知识准备一元二次方程的一般形式:2:探究问题：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，?苗圃的长和宽各是多少？ 分析：设苗圃的宽为xm，则长为m.根据题意，得.整理，得.1）下面哪些数是上述方程的根？0，1，2，3，4, 5, 6, 7, 8, 9, 102）一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ，即使一元二次方程等号左右两边相等的勺值。3）将x=-12代入上面的方程

9、，x=-12是此方程的根吗？4）虽然上面的方程有两个根（ 和 但是苗圃的宽只有一个答案，即宽为.因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考 虑这些根是否确实是实际问题的解.练习：1你能想出下列方程的根吗？2 2（1） x2-36 = 0（2） 4x2-9 = 02.下面哪些数是方程x2+x-12=0的根？-4， -3，-2，-1， 0，1， 2， 3， 4。活动2:知识运用课堂训练 例1 下面哪些数是方程x2-x-6=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4。例2你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？2 2 2（1） x - 25 = 03x1 9x -16

10、 = 0随堂训练1写出下列方程的根：(1) 9x4. 已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为.5. 若关于X的一元二次方程1)x2 X a _ V 0的一个根是0, a的值是几？你 能得出这个方程的其他根吗？活动5:拓展延伸2 2 21. 若 X -2x = 2，则 2x -4x"3 =。已知 m是方程 x - X- 6 = 0 的 一个根，则代数式m - m =。2. 如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求(a-b) 2+4ab的值.3. 方程(X+1 ) 2+Gx (X+1 ) =0，那么方程的根 X1=； X2=.4. 把2x(xT)二x +x+2化

11、成一般形式是 ，二次项是一次项系数 = 1(2) 25x2-4 = 0(3) 4x2 = 22. 下列各未知数的值是方程3x2 x - 2 = 0的解的是()A.x=1B.x=- 1C.x=2 D. x=- 223. 根据表格确定方程x -8x +7.5=0的解的范围X1.01.11.21.3X - 8x + 7.50.5-0.09-0.66-1.2124. 已知方程3x - 9x + m = 0的一个根是1，则m的值是5. 试写出方程x2-x=0的根，你能写出几个？活动3:归纳内化1. 使一元二次方程成立的 勺值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的。2. 由实际问题列出方程并得出解后

12、，还要考虑这些解 活动4:课堂检测1. 如果x2-8仁0，那么x2-81=0的两个根分别是X1=，X2=.22. 一元二次方程X二x的根是 方程X (X-1) =2的两根为3. 写出一个以X = 2为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项系数为1：是，常数项是<5.已知 x=-1 是方程 ax2+bx+c=0 的根(0),则=()V b bA. 1B. -1C. 0D. 26.方程 x (x-1)=2的两根为().A. X1=0， X2=1B. X1=0，X2=-1C. X1=1， X2=2D. X1=-1， X2=27.方程 ax (x-b)+ (b-x) =0的根是().A. X

13、1=b，X2=a1B. X1=b， X2=1C. X1=a，X2=2 2D. X1=a，X2=baa8请用以前所学的知识求出下列方程的根。(x-2)=1 9(x-2) 2=1x2+2x+ 仁4x2-6x+9=09.如果2是方程x2-c=0的一个根，那么常数c是几？你能得出这个方程的其他根吗?10.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (0)中的二次项系数与常数项之和等 于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根.21.2.1直接开平方法解一元一次方程学习目标：1、理解一元二次方程“降次” 转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.2、 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=

14、0,根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a (ex+f) 2+c=0型的一元二次方程.重点：运用开平方法解形如(x+m) 2=n (n0)的方程；领会降次一一转化的数学思 想.难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如2(x+m) =n (n0)的方程.活动1阅读教材第5页至第6页的部分，完成以下问题一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得 x=± 5，如果x换元为2t+1，即(2t+1) 2=8，能否也用直接

15、开平方的方法求解呢？ 计算：用直接开平方法解下列方程：(1) x2=8(2) (2x-1)2=5(3) x2+6x+9=2(4) 4m2-9=02(5) x +4x+4=12(6) 3(x-1)2-9=108解一元二次方程的实质是：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.？ 我们把这种思想称为“降次转化思想”.归纳：如果方程能化成 的形式，那么可得 活动2知识运用课堂训练例1用直接开平方法解下列方程：(1) (3x+1)2=7(2) y2+2y+ 仁24(3) 9n2-24n+16=11精品文档练习：(1) 2x2-8=02(2) 9x2-5=32(3) (x+6)2-9=0(4)

16、 3(x-1)2-6=02(5) x -4x+4=52(6) 9x +6x+1=4(7) 36x2-仁09(8) 4x2=812(9) (x+5) 2=25(10)x2+2x+仁4活动3 归纳内化应用直接开平方法解形如，那么可得达到降次转化之目的.活动4 课堂检测、选择题1.2若 x -4x+p= (x+q)那么p、q的值分别是().2.A. p=4, q=2方程3x2+9=0的根为().B. p=4, q=-2 C. p=-4, q=2D. p=-4, q=-23.C.± 3 D .无实数根用配方法解方程A .( X-1)2=8一 ,9B. -32 2x -x+1=0正确的解法是3

17、1 , 22 x= ±-33).(x-)3,原方程无解C( x-f)2=5一 ?92 .5X1= + ,3 3(X-t)2=1,5X1=,31X2=-34、若8x2-16=0,则x的值是5、如果方程2 (x-3) 2=72,那么，这个一元二次方程的两根是活动5拓展延伸1 如果a b为实数，满足73尹4+b2-12b+36=0,那么ab的值是.2 用直接开平方法解下列方程：(1)( 2-x)2-81 = 0(2) 2 (1-x) 2-18 = 0(3)( 2-x) 2= 43.解关于x的方程(x+m) 2=n.4、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25m), ?另三边用

18、木栏围成，木栏长40m.(1) 鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？(2) 鸡场的面积能达到210m2吗？5. 在一次手工制作中，某同学准备了一根长 4米的铁丝，由于需要，现在要制成一 个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，？并说明你制作的理由吗？21.2.2配方法解一元二次方程(1)学习目标1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问 题.2、通过复习可直接化成x2=p (p>0或(mx+n) 2=p (p>0的一元二次方程的解法, 引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤.重点：讲清“直接降次有困难”，如 x2+6x

19、-16=0的一元二次方程的解题步骤. 难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧. 活动1阅读教材第7页至第9页的部分，完成以下问题解下列方程2(1)3x-1=52(2)4(x-1) -9=02(3)4x +16x+16=9填空：(1)x2+6x+=(x+)2；( 2)x2-x+=(X-)22(3)4x +4x+=(2x+2.(4) x2-x+=(X-)2问题：要使一块长方形场地的长比宽多 6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是 多少？思考？1、 以上解法中，为什么在方程 x2+6x=16两边加9?加其他数行吗？ 2、什么叫配方法？ 3、 配方法的目的是什

20、么？ 这也是配方 法的基本4、配方法的关键是什么？ 用配方法解下列关于x的方程2 2 2 1 2（1）2x2-4x-8=0（ 2）x2-4x+2=0（ 3）x2-丄 x-1=0（ 4）2x2+2=52总结：用配方法解一元二次方程的步骤：活动2知识运用课堂训练例1用配方法解下列关于 x的方程：2(3)3x -6x+4=02 2（1）x -8x+仁0（ 2）2x +仁3x(4) x2+10x+9=027(5) x -x- =042(6) 3x2+6x-4=0(7) 4x2-6x-3=02(8) x24x-9=2x-11(9) x(x+4)=8x+12【课堂练习】：1.填空:(1) x2+10x+=

21、 (x+) 2;(2) x2-12x+(3) x2+5x+= (x+) 2.( 4) x2- - x+3-2.用配方法解下列关于x的方程=(x-=(x-.)(1) x2-36x+70=0 .2(2) x2+2x-35=02(3) 2x2-4x-1=02(4) x -8x+7=02(5) x +4x+1=02(6) x +6x+5=0(7) 2x2+6x-2=02(8) 9y -18y-4=0(9) x2+3=2 一 3 x活动3归纳内化用配方法解一元二次方程的步骤：活动4课堂检测1 .将二次三项式x 2 2C. x +8x+4 =1D. x -4x+4=-113. 如果 mx2+2 (3-2m

22、) x+3m-2=0 (0)的左边是一个关于 x的完全平方式，则 m等于().A . 1B . -1C. 1 或 9 D . -1 或 9-4x+1配方后得().2 2 2 2A . ( x-2) 2+3 B . ( x-2) 2-3C.(x+2) 2+3D . (x+2) 2-32. 已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是().2 2 2 2A . x2-8x+ (-4) 2=31 B . x2-8x+ (-4) 2=14.5、2 2(1) x -8x+= (x-);(3) x2+px+= (x+) 2.(1)方程x2+4x-5=0的解是(2) 9x2+12x+

23、= (3x+x2 _ x _ 2(2)代数式一2的值为0,则x的值x -1活动5拓展延伸、解下列方程(1) x2+10x+16=023(2) x -x-=04(3) 3x2+6x-5=02(4) 4x -x-9=0二、综合提高题1. 已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的 周长.2.如果 x2-4x+y2+6y+ “ z 2 +13=0,求(xy) z 的值.21.2.3用公式法解一元二次方程学习目标1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法 解一元二次方程.2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+b

24、x+c=0 (a 0) ? 的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程.重点：求根公式的推导和公式法的应用.难点：一元二次方程求根公式法的推导.活动1阅读教材第10页至第12页的部分，完成以下问题1、用配方法解下列方程(1) 6x2-7x+1=0(2) 4x2-3x=52总结用配方法解一元二次方程的步骤：X2=-b - b 目4ac2a2、如果这个一元二次方程是一般形式 ax，X2= b2-4ac=0,则-=0此时方程的根为4a2才.ax +bx+c=0 (aH 0) 有两个 b2-4acv0,则b _警 v0,此时(x+匕)2 v 0,而x取任何实数都不4a22a能使(x+ ) 2 v

25、 0,因此方程实数根。2a由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (aH0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4acbb2-4ac2>0时，将a、b、c代入式子x= b 空就得到方程的根，当b2-4acv 0,方程 2a没有实数根。(2) %=卫4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 (aH0)的求根公式.2a(3) 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. 由求根公式可知，一元二次方程最多有实数根，也可能有 实根或者实根。 般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0 (aH 0)的根的

26、判别式，通常用希腊 字表示它，即 = b2-4ac+bx+c=0 (a 0),你能否用上面配方 法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax2+bx+c=0( a 0)试推导它的两个根xi=b 4ac2a分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解：移项，得： ，二次项系数化为1,得配方，得：即TaH0，二4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：(1)b2-4ac> 0,b2-4ac4a22a即一元二次程的实根。直接开平方，得:精品文档用公式法解下列方程.(3)(x-2) (3x-5) =0(4) 4x2-

27、3x+1=02 2(1) 2x -4x-1=0(2) 5x+2=3x活动2知识运用课堂训练 用公式法解下列方程.(1) x2-4x-7=0(2) 2x2-2.2x+ 仁0(3) 5x2-3x=x+1(4) x2+17=8x练习：21、 在什么情况下，一元二次方程 ax +bx+c=O (a0)有两个不相等的实数根？有两 个相等的实数根？ 2、 写出一元二次方程 ax2+bx+c=0 (aO, b2-4ac>0)的求根公式。3、方程x2-4x+4=0的根的情况是(A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C有一个实数根D没有实数根4、用公式法解下列方程.(1) 2x2-4x-1=0(2

28、) 5x+2=3x2(3)( x-2) (3x-5) =O2(4) 4x-3x+1=0(5) x2- 3 x- =O42(6) 3x -6x-2=O2(7) x +4x+8=4x+11(8) x (2x-4) =5-8x(9) x2-、2x=042(10) x+4x+8=2x+11(11) x (x-4) =2-8x(12) x2+2.5x+10=05、利用判别式判定下列方程的根的情况：(1) 2x2-3x- =022(2) 16x2-24x+9=02 2 2(3) x -4、2x+9=O(4) 3x +1Ox=2x +8x活动3归纳内化(1) 求根公式的概念及其推导过程;(3)应用公式法解一

29、元二次方程；(2) 公式法的概念；(4)初步了解一元二次方程根的情况.2精品文档活动4课堂检测1 用公式法解方程4x2-12x=3，得到(A. x=6 B. x=362 2-3一2匕 x=D. x=3 2.32精品文档A.xi= ,2 , X2=、3B.xi=6, X2= x 2 C.xi=2、2 , X2= , 2D.xi=X2=-丿63. ( m2-n2) (m2-n2-2) -8=0,则 m2-n2的值是().A . 4 B. -2 C. 4 或-2 D . -4 或 24. 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a 0)的求根公式是 条件是.5. 若关于x的一元二次方程(m-1) x2

30、+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是活动5拓展延伸1 .用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0.22.设X1, X2是一兀二次方程 ax +bx+c=0 (a 0)的两根,(1)试推导 X1+x2=-b ,X1 X2=；精品文档aa(2) ?求代数式 a (X13+x23) +b (X12+x22) +c (X1+X2)的值.2 .3、某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1) xm + (m-2) x-1=0提出了下列问题.(1) 若使方程为一元二次方程,(2) 若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，求出 m并解此方程. m是否存在？若存在，请求出.21.2.4因式分

31、解法学习目标：1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)法解某些简单的数字系数的一元二次方 程。2 .能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的 多样性。重点、难点1、重点：应用分解因式法解一元二次方程2、 难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.活动1 阅读教材P13- P14 ,完成课前预习1:知识准备将下列各题因式分解am+bm+cm= ; a2-b2=; a2± 2ab+b2=因式分解的方法：解下列方程.(1) 2x2+x=0 (用配方法)(2) 3x2+6x=0 (用公式法)2:探究仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗

32、？3、归纳:(1) 对于一元二次方程，先因式分解使方程化为 的形式，再使从而实现 ，这种解法叫做。(2) 如果a 0，那么a = 0或b = 0，这是因式分解法的根据。如：如果(x 1)(x-1) = 0，那么x 仁0或 即x二一1或。练习1、说出下列方程的根：(1) x(x-8)=0(2)(3x 1)(2x-5)=0练习2、用因式分解法解下列方程:(1) x 2-4x=0 4x2-49=0(3) 5x活动2知识运用课堂训练用因式分解法解下列方程2-20x+20=0x(x- 2) x - 2 = 0 3x(2 x 1) = 4x 2(5) 4x2-144=02123(7) 5x -2xx -2

33、x -442(x 5) = 3x 15(6) (2x-1) 2=(3-x)(8) 3x2-12x=-12(1) 5x2 - 4x = 0随堂训练1用因式分解法解下列方程(1) x2+x=0(2) x2-2 , 3 x=0(3) 3x2-6x=-3(4) 4x2-121=0(5) 3x(2x+1)=4x+2(6)(x-4)2=(5-2x)2、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场 地的半径。活动3归纳内化因式分解法解一元二次方程的一般步骤(1) 将方程右边化为(2) 将方程左边分解成两个一次因式的 (3) 令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程(4) 解这两个一

34、元一次方程，它们的解就是原方程的解活动4课堂检测1 .方程x(x + 3) = 0的根是2 .方程 2x (x-2 ) =3 (x-2 )的解是3. 方程(x-1 )(x-2 ) =0的两根为X1、X2，且X1>X2，则X1-2X2的值等于4. 若(2x+3y) +4 (2x+3y) +4=0,则 2x+3y 的值为.5. 已知y=x2-6x+9，当x=时，y的值为0;当x=时，y的值等于9.活动5拓展延伸1.方程 x (x+1)( x-2 ) =0 的根是()A . -1，2 B . 1，-2 C . 0，-1，2 D . 0，1，22若关于x的一元二次方程的根分别为-5 , 7,则该

35、方程可以为（）A .( x+5)( x-7 ) =0B.( x-5 ) (x+7)C . (x+5)( x+7) =0D. (x-5) (x-7)3.方程(x+4)( x-5 ) =1 的根为()=0=0.以上结论都不对(4x-1)(5x7)=0X2 i 5x 3x(x-1) = 2(1 - x)(x 1)2 - 25 = 0 2(x - 3) = X2 - 916(x- 2)2 二 9(x 3)2 3x(x-1)=2(x-1)(8)x2+x (x-5 ) =0A . x=-4 B . x=5 C . Xi=-4, X2=5 D 4、用因式分解法解下列方程:21.2.5解一元二次方程学习目标：

36、1、理解并掌握用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程 的方法2、选择合适的方法解一元二次方程重点、难点3、重点：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程4、难点：选择合适的方法解一元二次方程活动1:一、梳理知识1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：方法名称理论根据适用方程的形式直接开平方法平方根的定义2 2x = p 或（mx + n） = p（pa：0）配方法完全平方公式所有的一兀二次方程公式法配方法所有的一兀二次方程因式分解法两个因式的积等于0, 那么这两个因式至少有一

37、个等于0一边是0,另一边易于分解成两 个一次因式的乘积的一元二次 方程3、一般考虑选择方法的顺序是： 直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法二、用适当的方法解下列方程：2 21. x -7x =02.x 12x = 273、X（ x-2）+X-2=05、5x2-2X- 1 =x2-2X+ 76.4（x 2）2 = 9（2x_1）2活动2知识运用课堂训练:1 用直接开方法解方程： 36x2 - V 0 4x2 二 812 x 5- 162用因式分解法解方程: x2 x = 0 X2 - 2x 1 = 42 4x - 121= 0 3 2x -1 - x 2x -1=0 x - 4 2 - 5

38、- 2x 2 = 03. 用配方法解方程： x210x 16 = 02 3x 6x - 5 = 02 4x - x - 9 = 04. 用公式法解方程： x2 x - 12 = 0 x2 4x 8 = 2x 11 x x - 4 = 2 - 8x x22 5x 10 = 0活动3:归纳内化解一元一次方程的方法：活动4 巩固提高1用直接开方法解方程:2 4x 9 = 09x-22 =12 x 2x 1 = 42用因式分解法解方程: x2 - 2、3x = 0 3x 2x 1 = 4x 25x2-2x=x2-2x 343.4用配方法解方程: 2（2x - 1）x2-8x02 2x 1 = 3x93

39、xx2o 3x2 6x - 4 = 0 x x 4 = 8x 124 用公式法解方程:2 x x -1 = 02 3x2 - 6x - 2 = 02 4x - 6x = 0 x2 4x 8 = 4x 11 x 2x - 4 = 5 - 8x21.2.6 兀二次方程根与系数的关系学习目标：1. 理解并掌握根与系数关系：x1 x -b， XjX2；aa2. 会用根的判别式及根与系数关系解题. 重点、难点重点：理解并掌握根的判别式及根与系数关系难点：会用根的判别式及根与系数关系解题；活动1:阅读教材P15 16 ,完成课前预习1、知识准备(1 ) 一元二次方程的一般式： (2) _元二次方程的解法：

40、 (3) 一元二次方程的求根公式： 2、探究1:完成下列表格方程x, +x2x1.x22x -5x +6 = 0252x +3x-10=0-3问题：你发现什么规律？ 用语言叙述你发现的规律； x2+px+q=0的两根xX2用式子表示你发现的规律。探究2:完成下列表格方程xx +x2x1.x222x -3x-2=02-123x -4x+1=01问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律； 用语言叙述发现的规律； ax2+bx+c=0的两根x,X2用式子表示你发现的规律。3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）ax +bx+c=0 的两根 为=, X2=x（ x2x1.x2练习1 :根据一

41、元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积:1（1）x2-3x-1=0（2）2x2 3x-5 = 0（3） x2-2x=03活动2知识运用 课堂训练: 例1 :不解方程，求下列方程的两根和与两根积：（1）x2-6x-15=0（2）3x2+7x-9=0（3）5x-仁4x2例2:已知方程2x2kx-9=0的一个根是-3，求另一根及K的值例3:已知a , B是方程x2-3x-5=0的两根，不解方程,求下列代数式的值11 2 2(1)(2)：: (3)：-：a P例4:已知关于x的方程3x2-5x-2=0,且关于y的方程的两根是x方程的两根的平方,则关于y的方程是(2)5x2-1=4x2+

42、x随堂训练(1)x2-3x=152(3)x -3x+2=102(4)4x-144=0(5) 3x(x-1)=2(x-1)(6)(2x-1)2=( 3-x)活动3：归纳内化一元二次方程的根与系数的关系：活动4课堂检测1 . 若方程 ax2+bx+c = 0(a 工0的两根为 x1 , x2则人+乂2= , x1.x2 = _22 .方程 2x 一3xT=0 则 X1 + X2 = , X1.X2 = _3 .若方程x2+px+2=0的一个根2，则它的另一个根为 p=4 .已知方程x2-3x + m=0的一个根1，则它的另一根是 m=5 .若0和-3是方程的x2 + px + q = 0两根，则p

43、+q=活动5 拓展延伸1 在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了 p,解得方程根为x=1与x=-3;乙同学看错了 q，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p=，q=。2 两根均为负数的一元二次方程是（）2 2 2 2A7x -12x 5=0 B6x -13x-5=0C4x 21x 5=0 Dx 15x-8 = 03 .若方程x2+px+q=0的两根中只有一个为0,那么（）A p=q=0 B P=0,q 工 0C p 工 0,q=0D p 工 0, q 手 04、不解方程，求下列方程的两根和与两根积：2(1) x -5x-10=02(2) 2x+7x+1=02(3) 3x-1=2x

44、+5(5) x (x-1 ) =3x+72(5) x -3x+1=0(6)3x2- 2x=221.3.1实际问题与一元二次方程（1）学习目标：1能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界 的一个有效的数学模型.并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.2经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一 元二次方程对之进行描述。3通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题， 体验解决问题策略 的多样性，发展实践应用意识.4. 通过用一元二次方程解决身边的问题， 体会数学知识应用的价值，了解数学对 促进社会进步和发展人类理性精神的作用.重点

45、、难点重点：列一元二次方程解有关传播问题、平均变化率问题的应用题 难点：发现传播问题、平均变化率问题中的等量关系 活动一阅读教材P19- P20,完成课前预习 探究：问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121人患了流感，每轮传染中平 均一个人传染了几个人？ 分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了 x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了 ，第一轮后共有 患了流感；2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 ，第二轮后共有人患了流感。则：列方程解得即平均一个人传染了个人。再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙

46、种药品的成本是 6000元，随着生产技术的进步，现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨 乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.001 )绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)十2=1000元，？乙种药品成本 的年平均下降额为(6000-3000)十2=1200元，显然，？乙种药品成本的年平均下降额 较大.相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题.分析：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为元，两年后甲种药品成本为 元.依题意

47、，得解得：X1 ，X2 。根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 。设乙种药品成本的平均下降率为 y 贝列方程：解得：答：两种药品成本的年平均下降率.思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较 大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？活动2：典型例题，初步应用例1:某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91，求每个支干长出多少小分支？例2:青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg，2003年平均每公顷产8460kg， 求水稻每公顷产量的年平均增长率活动3:归纳内化1. 列一元二次方程解应用题

48、的一般步骤：（1） “设”，即设，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;“列”，即根据题中关系列方程；“解”，即求出所列方程的 ；（4）“检验”，即验证是否符合题意；“答”，即回答题目中要解决的问题。2增长率=（实际数-基数）/基数。平均增长率公式：Q二a（1x）2其中a是增长 （或降低）的基础量，x是平均增长（或降低）率，2是增长（或降低）的次数。活动4课堂检测1 .生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互 赠了 182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是（）A . x （x+1）=182 B . x （x-1） =182C. 2x （x+1）

49、=182 D . x （1-x） =182X 22. 个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（）.A . 12 人B. 18人 C. 9 人 D . 10人3. 某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少 人？4. 学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15 场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？5. 参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？活动6 拓展延伸1. 两个连续偶数的积为168，求这两个偶数.2. 某商品原来单价96元，厂家对该商品进行了两次降

50、价，每次降低的百分数相同, 现单价为54元，求平均每次降价的百分数？3. 某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至 1.96%，平均每次降息的百分率是多少？（结果精确到 0.01 %）4. 一个直角三角形的两条直角边的和是 14 cm,面积是24 cm2，求两条直角边的长。5. 一个菱形两条对角线长的和是10cm面积是12 cm2，求菱形的周长21.3.2 实际问题与一元二次方程（ 2）学习目标：1. 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界 的一个有效的数学模型并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理2. 经历将实际问题抽象为代数问题的过

51、程，探索问题中的数量关系，并能运用一 元二次方程对之进行描述。3. 通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略 的多样性，发展实践应用意识4. 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，了解数学对 促进社会进步和发展人类理性精神的作用重点、难点重点：列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题 难点：发现特殊图形问题中的等量关系 活动一 阅读教材 P50 51 , 完成课前预习探 究：问题：如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分 之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）分析：封面的长宽之比是 27 :仁，中央的长方形的长宽之比也应是，若设中央的长方形的长和宽分别是 9acm和，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是.想一想，怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请你试一试活动2:典型例题，初步应用例1 要为一幅长29cm宽22cm的照片