数值分析中的误差

1、湖南电大教学指导中心第9章 数值分析中的误差 典型问题解析考试知识点：误差、有效数字。（6%）学习要点：误差、有效数字。典型问题解析:4早圭误差绝对误差 e： e=x x*（设精确值x的近似值x,差e=x x称为近似值x的绝对误差（误差）。 绝对误差限名|e = x _x* <s（绝对误差限 是绝对误差e绝对值的一个上界。） 相对误差e :e（绝对误差e与精确值x的比值，常用计算）x相对误差限& : er兰乞（相对误差er绝对值的一个上界），erI x -X |x I|x I二，常用计算4绝对误差限的估计式：（四则运算中）；&! X2)= ；(Xi)；(X2)；(XiX2

2、)x1 ®(x2 ) + X2 8(X1 )xjg(x+|xjg(X) xp、有效数字有效数字：如果近似值X的误差限；是它某一个数位的半个单位，我们就说X准确到该位.从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为 x的有效数字.（1）设精确值X*的近似值X,若-_0.a1 a2.an10a1,a2,an是09之中的自然数，且am,X X*兰g = O.5xiom1兰丨兰n则x有丨位有效数字.例1设X*=二 =3.1415926，若X*的近似值x为3.14, 3.1415, 3.143，求x的有效数字位 数.1解：若 x=3.14 = 0.314X 10 ,（ m=1）x _x* =

3、0.001 592 6<0.5 X10 1 - (l=3)故x=3.14有3位有效数字。若 x=3.1415 = 0.31415 X 101,( m=1)x _x* =0.0000926 兰 0.5X101' ( l=4)故x=3.1415有4位有效数字。1若 x=3.143=0.3143 X 10 ,( m=1 )x _x* =0.001 4074 E0.5X101" (l =3)故x=3.143有3位有效数字。(2)设近似值x = 0£宀2an 10 m有n位有效数字，则其相对误差限乞丄（定理1）2a! 设近似值 :' 0.a1a' an

4、10 m的相对误差限不大于12(a11)10则它至少有n位有效数字。（定理2）（4）要求精确到10k（k为正整数），则该数的近似值应保留k位小数。例2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限:2.000 4 0.002 009 000.001解: X1=2.000 4 = 0.200 04X 10 ,(m=1)绝对误差限 & (x”=0.000 05=0.5 X 10 1 5, (1=5) 故x=2.000 4有5位有效数字。1又 a1=2，相对误差限；r101' =0.000 025。2g8( x.)或；r =- =0.000 025。lxJ X2= 0.00

5、2 00= 0.200X 102, (m=-2) 绝对误差限 & (X2)=0.000 005=0.5 X 10-5,( 1=3) 故x2= 0.002 00有3位有效数字.11 _3.又a1=2，相对误差限存10=0.00252X2 X3=9 000.00=0.900000 X 104, (m=4)绝对误差限 & (X3)=0.5 X 10-2,(l=6)故X3=9 000有6位有效数字, 又 a=9，相对误差限 r = -101 - = 0.000 000 562X9由X3与X4可以看到小数点之后的 0，不是可有可无的，它是有实际意义的例3 In2=0.69314718，精确到103的近似值是多少？解 精确到103= 0.001，即绝对误差限是尸0.0005,故至少要保留小数