数学在自然科学不合理的有效性

1、数学在自然科学不合理的有效性尤金维格纳在纯通信与应用数学，第一卷 数学在自然科学的不合理有效性”。13，无号（I960年2月）。纽约：约翰 威利父子公司版权所有 ? 1960由John Wiley & Sons公司数学，正确地观察，不仅拥有真理，而且拥有至上的beautya美容冷静而严肃，犹如雕塑那样，不呼吁任何部分的性质较弱，没有绘画或音乐的华丽服饰，但sublimely纯正，并能一船尾完美如只有最伟大的艺术可以显示。喜悦的真正精神，高举，被超过男人， 这是最优秀的试金石，感觉是在数学中找到我指着永生的诗歌。-罗素，数学研究有一个关于两个朋友， 谁是同学在高中的时候， 谈论他们的工作

2、的故事。 其中一人成为 一个统计学家，正在研究人口趋势。他表现出了重印他的老同学。转载开始，像往常一样， 与高斯分布和统计学家解释他的老同学符号的实际人口的含义，对于普通人群，等等。他的同学却有点怀疑，是不是很确定的统计学家是否是拉他的腿。你怎么知道？ ”是他的查询。什么是这个符号在这里？”哦”之称的统计学家，这是圆周率。”那是什么？ ”圆其直径的圆周之比”。好了，现在你推你开玩笑过了头， 说：”同学，肯定是人口无关的圆的周长。” 当然，我们都倾向于微笑对同学的方法的简单性。然而，当我听到这个故事，我不得不承认，以一种阴森恐怖的感觉，因为，毫无疑问，同学的反应只能出卖简单的常识。更令我 迷茫的

3、时候，没有多少天以后，有人来找我，表达了他的困惑1被引述的说法是由 F维尔纳时，他是一名学生在普林斯顿大学。的事实，我们做出一个相当狭窄的选择的选择上，我们测试我们的理论数据时。我们怎么知道，如果我们做了一个理论，将精力集中于我们忽视的现象，并无视一些现象现在指挥我们的注意，我们不能建一个理论， 在共同与现在的一点点，但其中，然而，解释同样多的现象，目前的理论？但必须承认，我们没有明确的证据表明，有没有这样的理论。前两个故事说明了两个要点这是本论述的主题。第一点是，数学概念打开了在完全没有预料到的连接。此外，他们往往允许在这些连接的现象的意外关闭和准确的描述。其次，正因为这种情况，因为我们不理

4、解它们的用处的原因，我们无法知道一个理论的数学概念方面制定是否是唯一合适的。我们正处在类似于谁得到了一串钥匙，谁的人的位置，不必打开好几门连续，总是打在第一个或第二审判的权利的关键。他成了怀疑涉及键和门之间的协调的独特性。大多数内容将在这些问题上说不会是新的；它可能已经发生的大多数科学家在这种或那种形式。我的主要目的是从几个侧面照明。第一点是，在自然科学数学的巨大用处的东西近乎神秘，没有合理的解释吧。 其次，它是数学概念就是这样不可思议的用处是提高了我们的 物理理论的独特性的问题。为了建立的第一点，即数学中起着物理不合理的重要作用，这将是非常有用的说的问题， 什么是数学？ ”几句话，那么， 什

5、么是物理学？ ”，那么，如何进 入数学物理理论，也是最后一点，为什么数学在其物理作用的成功显得如此令人费解。物理学的理论的独特性：少得多将于第二点说。一个正确的回答这个问题，需要哪些尚未迄今为 止开展精细的实验和理论工作。什么是数学？有人曾经说过，哲学是一个术语的滥用而被发明只是为了这个目的。2这个语句是从W. Dubislav 的模具 PHILOSOPHlE德 Mathematik 在德 Gegenwart （柏林：容克和 Dunnhaupt 出版社， 1932 年）在这里引述，页。 1 在同样的精神，我会说，数学是用概念和只是为了 这个目的发明了规则熟练操作的科学性。 的主要重点是概念的发

6、明上。 数学将很快耗尽有趣 的定理， 如果这些都必须在其中已经出现在公理的概念来制定。 此外，尽管它毫无疑问是真 的，初等数学， 特别是初等几何的概念被制定来形容这是由现实世界直接建议企业，同样也似乎没有更先进的理念真实， 尤其是其中的概念起到物理这样一个重要的角色。 因此，对于 双号业务规则显然是设计给相同的结果与分数， 我们第一次了解到没有参考操作 “双号 ”。用 于与序列的操作的规则， 即，与无理数， 仍属于哪个被确定以便再现为与已经为我们所知量 的操作的规则的规则的类别。最更先进的数学概念，如复数，代数，线性算子，波莱尔集鉧 发现这个列表可以几乎无限期地继续鉾ERE的设计使它们很容易科

7、目上的数学家能证明他的巧思的形式美和责任感。 事实上， 这些概念的定义， 与有趣和巧妙的考虑可以适用于他们 的实现， 是谁定义它们的数学家的精巧奇异的第一个示范。思想的深度而进入的数学概念的提法是后来通过与这些概念所使用的技能合理的。 伟大的数学家充分， 几乎无情， 利用允许 的推理域和裙子的不允许的。 他的鲁莽不会导致他陷入矛盾的困境是一个奇迹本身： 当然这 是很难相信， 我们的推理能力， 被带到，通过自然选择达尔文的过程中， 它似乎拥有了完美。 但是， 这不是我们现在的主题。 主要的一点， 就必须后来回忆的是，数学家可以制订只有极 少数的有趣的定理， 但没有界定超出包含的公理概念和外面那些

8、包含在公理的概念与允许巧 妙逻辑的视图定义营运中呼吁我们的审美意识既作为操作也有很大的通用性和简单性的结 果。 3 M. 波兰尼，在他的个人知识（芝加哥：芝加哥大学出版社， 1958 年大学）说： “所 有这些困难都只是我们拒绝看到数学的后果无法不承认其最明显的特征来定义：即，它是有趣的 “（ P 188）。复数提供了一个突出的例子为前述。 当然，没有在我们的经验表明，引入这些量。 事实 上，如果一个数学家被要求证明他在复数的兴趣， 他会点，具有一定的愤慨，在方程理论的 许多美丽的定理，幂级数的和的，在一般的分析功能，这归功于其原产地引进复数。数学家 是不是愿意放弃他在这些最美丽他的天才成就的

9、兴趣。 4 读者可能会感兴趣，在这方面， 在希尔伯特的约直觉而暴躁的言论，寻求向上突破，并变丑数学，” ABH数学。扫描电镜。，大学。 汉堡， 157 （1922），或 Gesammelte Werke 公司（柏林： 施普林格， 1935），页。188。 什么是物理？物理学家的兴趣发现，无生命的自然法则。为了理解这一说法，有必要分析概念，“自然法”。我们周围的世界是莫名其妙的复杂性， 它最明显的事实是， 我们不能预测未来。 虽然笑 话属性只对乐观主义者认为，未来是不确定的，乐观主义者是正确的，这种情况下：未来是不可预知的。它是，因为薛定谔曾说过，一个奇迹，尽管世界的莫名其妙的复杂性，在某些 事

10、件规律性可以被发现。 一种这样的规则性， 由伽利略发现的， 是 2岩石， 丢弃在从相同的 高度的同时， 在同一时间到达地面。 自然规律所关注的这种规律。 伽利略的规律性是一大类 规律性的东西的原型。这是一个令人惊讶的规律性，原因有三。这是令人惊讶的，第一个原因是，它是真实的，不仅在比萨，并在伽利略的时间，这是 真的无处不在地球上， 总是真实的， 而且将永远是真实的。 规律性的这个属性是公认的不变 性和，因为我有机会指出前一段时间， 没有类似的暗示在伽利略的观察前面的泛化不变性原 理，物理学是不可能的。 第二个令人惊奇的特点是， 我们正在讨论的规律性是独立且可能对 其产生影响， 因此很多条件。

11、它是有效的不管天会不会下雨， 无论实验是在一个房间或距离 比萨斜塔， 不管是谁丢弃的石头的人是否是一个男人或一个女人。 它是有效的， 即使在两个 岩石被丢弃，同时与从相同的高度，通过两个不同的人。还有，很明显，这些都是从看伽利 略的规律性的有效性的角度来看微不足道无数的其他条件。 这么多的情况， 会在观察到的现象中发挥作用的无关性也被称为不变性。 然而， 这种不变性是前述之一， 因为它不能被配制 成一般原理的不同性质。 哪个做条件的探索， 并且不， 影响一个现象就是早期的实验探索的 一个字段的一部分。 这是一个让他依赖于一组相对容易变现和可重复的条件相对狭窄的现象， 实验者的技巧和智慧。5见，

12、在这方面，M.德语，代达罗斯87,86 （ 1958年的图形征文）。 A.希莫尼已经叫我注意，在CS皮尔斯的散文类似的通道在科学哲学（纽约：自由艺术出版社, 1957）,页。 237。 在本案中,他观察到比较重的机构伽利略的限制是在这方面最重要 的一步。再次,这是事实,如果没有的现象,是独立所有,但可掌控的小套条件的,物理学 就不可能。前面的两点, 虽然从来看哲学家的角度高度显著, 不是那些大多数伽利略感到惊讶, 也 没有包含性质的具体法律。 大自然的法则是包含在声明中表示时间, 它需要一个重物从一定 高度落下的长度是独立的尺寸,材料,并降低身体的形状。在牛顿第二框架“法律 ”,这无异于在声明

13、中指出,引力作用于落体是正比于它的质量,但是独立的尺寸,材料,以及哪些属 于身体的形状。前面的讨论是为了提醒我们,第一,是 “自然规律 ”的存在,更何况,人是能够发现他们 来说，这是不是在所有的自然。6 E.薛定谔，在他的生命是什么？（剑桥：剑桥大学出版社， 1945）,页。 31,说,这第二个奇迹很可能是超出人类的理解。 本作家有机会,前一段时 间,呼吁人们关注的每一层含有较多的一般和较全面的法律“自然规律 ”层的比继承前一个和它的发现构成更深的渗透到宇宙的结构比以前公认的图层。然而, 这是在目前情况下最显著的一点是, 自然界的所有这些法律载, 甚至在他们遥远的后果, 我们的无生命世界的知识

14、只 是一小部分。 自然的所有法律, 允许目前的知识, 除了基础上的一些未来事件的预测条件语 句,世界的现状,在实践中,绝大多数目前的状态的决定因素的某些方面世界上,都是从看预测的点无关。本不相干意味着在伽利略定理的讨论的第二点的意识。7 笔者认为肯定,这是没有必要一提的是伽利略的理论, 正如文中所给定的, 并没有穷尽伽利略的观测方面的 内容用自由落体定律。 至于世界的现况, 如我们所生活和伽利略的实验进行了地球的存在, 我们所有的周围的 太阳而存在的,自然界的规律是完全沉默。正是在灵犀这一点,首先,自然界的规律,可以 用来预测仅在特殊情况下鉾母鸡世界的当前状态的所有相关决定因素是已知的未来事件

15、。这也是这符合这一点, 机器的建设, 运作,其中他可以预见, 构成了物理学家的最壮观的成就。 在这些机器中, 物理学家产生了一种情况, 其中所有相关的坐标是已知的, 这样的机器的行 为可以预测的。雷达和核反应堆都是这样的机器的例子。前面讨论的主要目的是指出, 自然界的规律是所有条件语句, 他们只涉及到我们对世界 的认识非常小的一部分。 因此, 经典力学,这是一个物理理论最有名的原型,给出了所有机 构的位置坐标的二阶导数的位置等, 这些机构的知识, 在此基础上。 它提供了有关存在任何 信息,目前位置,或这些机构的速度。应该提及的是,为了准确起见,我们发现了大约三十 年前, 即使是条件语句不能完全

16、准确： 这些条件语句是概率规律, 使我们只能把智能投注在 无生命世界的未来性的基础上, 目前的状态的知识。 他们不允许我们做出明确的声明,甚至没有明确的语句对世界的现状条件。 的“自然规律 ”的概率性质体现在机器还的情况下,和可以被验证, 至少在核反应堆的情况下,如果一个人在非常低的功率运行它们。然而,自然它 遵循从概率自然规律范围的附加限制将在讨论的其余部分没有发挥作用。 数学在物理理论中的作用在刷新我们的头脑, 以数学和物理的精髓, 我们应该在一个更好的位置, 检讨数学在物 理理论中的作用。当然, 我们不使用数学在日常生活中的物理评估的自然规律的结果,条件语句适用于哪些发生为准, 或发生在

17、我们感兴趣的特定条件。 为了使这成为可能, 自然规律必须已经制定了数学语言。 然而， 评估已经建立的理论后果的角色不是数学在物理学中最重要的角色。数学，或者说，应用数学，是不是在这个函数的情况这么多高手：它仅仅是作为一种工具。但是数学没有发挥， 也更主权的作用，物理。 这个讨论应用数学中的作用时，就已经隐 含在声明中， 作出了自然界的规律， 必须制订数学的语言已经是一个对象使用应用数学。 自 然界的规律都写在数学语言陈述是正确的做了三百年前 ; 8 这要归功于伽利略 现在比以往 任何时候都更加真实。 为了显示哪些数学概念具备的物理定律制定的重要性， 让我们回顾一 下，作为一个例子，量子力学的公

18、理作为制定，明确，由伟大的物理学家狄拉克。有在量子 力学中两个基本概念：状态和观测。各州都在 Hilbert 空间向量，观测的自伴算子在这些向 量。观测值的可能值是运营商鉨 UT 的特征值，我们最好就此打住，免得我们从事的线性算 子理论研制的数学概念上市。这是真的， 当然， 物理学选择一定的数学概念的本质的法律的制定，并肯定所有的数学概念只有一小部分是用在物理学。 这是事实也未从数学方面的清单中选择被选中其中任意概 念，但被开发，在许多，如果不是大多数的情况下，独立的物理学家和认可，然后为已被之 前所设想的数学家。 ，这是不正确的，但由于人们常常说，这不得不发生，因为数学使用尽 可能简单的概念

19、， 这些都势必会发生在任何形式主义。 正如我们前面所看到的， 数学的概念 是没有选择的对数的概念及其序列 simplicityeven 远非简单的 conceptsbut 他们顺从巧妙的操 作和惊人的，辉煌的论点。让我们不要忘记，量子力学的希尔伯特空间是复 Hilbert 空间， 具有 Hermitean 标量积。一定向 unpreoccupied 头脑，复数远离天然或简单并且它们不能被 建议的物理观测。此外， 使用复数的是在这种情况下，不应用数学的一个把戏量的计算，但 接近是在量子力学的法律的制定是必要的。最后， 现在开始出现， 不仅复数，但所谓的分析 功能是注定要在量子理论的制定起着决定性

20、的作用。我指的是迅速发展的色散关系的理论。这是很难避免的印象是一个奇迹面临着我们这里， 在其引人注目的性质是相媲美的奇迹， 人类的头脑可以串一千参数一起没有得到自己变成矛盾， 或对法律存在的两个奇迹自然和人 类心灵的能力，他们神圣的。其中最接近的解释的数学概念 “中，我知道物理此起彼伏的观 察是爱因斯坦的说法，唯一的物理理论，我们都愿意接受是漂亮的。按理说认为，数学，其 中邀请锻炼了这么多才华横溢， 概念具有美感的质量。 然而， 爱因斯坦的观察可以在最好的 解释理论，我们都愿意相信，也没有提到理论的内在精度性能。我们将，因此，转向后一问 题。是物理理论的成功真正令人吃惊？物理学家的利用数学来制

21、定自然他的法律的一种可能的解释是， 他是一个有点不负责任 的人。 因此，当他发现它类似于一个连接著名的数学两个量之间的连接， 他会欣然接受该连 接是讨论在数学， 只是因为他不知道任何其他类似连接的结论。 这不是本次讨论的意图反驳 充电的物理学家是一个有些不负责任的人。也许他是。然而， 必须指出， 物理学家的经常原 油体验数学公式的情况下， 一个离奇的数量导致了大量类现象的一个令人惊讶的准确描述是 很重要的。这表明，数学语言有更多的赞扬它不是被它我们可以说的唯一语言 ; 它表明，它 是在一个非常现实的意义，正确的语言。让我们考虑的几个例子。第一个例子是行星运动的经常被引用的。 落体定律变得相当完

22、善， 作为开展主要是在意 大利的实验结果。 这些实验可能不是很准确在我们理解和是不可能的， 部分原因一方面是由 于空气阻力的影响准确性今天意义上说， 在那个时候，来测量短的时间间隔。不过，这并不 奇怪，因为他们研究的结果，意大利自然科学家获得与该物体穿越大气层旅行方式一熟悉。 这是牛顿谁再带自由下落的物体的规律与月亮的运动关系， 指出抛出的岩石的路径在地球上 和月球的路径在天空中圆的抛物线是相同的数学特殊情况椭圆的对象， 假设一个单一的基础 上引力的普遍规律，并在当时非常近似，数值巧合。从哲学，如万有引力制定的牛顿 定律 是反感他的时间和自己。 根据经验， 它是基于非常微薄的意见。 在其被制定

23、了数学语言包含了二阶导数的概念， 我们这些谁试图绘制密切圆的曲线知道， 二阶导数是不是一个很直接的 概念。其中牛顿勉强成立，他可以证实约4的精度万有引力定律已被证明是精确到小于万分之一一之和变得如此密切的绝 对精度的想法，只是最近做了相关的物理学家再次成为 勇于探究其准确性的限制。 9 见，例如，相对湿度迪克，上午。科学， 25（1959）。 当然， 牛顿定律的例子，引用了一遍又一遍，必须作为一项法律，其中看似简单的数学家，这已被 证明准确超出术语制定了一个巨大的示例首先提到所有合理的期望。 让我们复述我们的论文 是关于这个例子：第一，法律，特别是因为二阶导数出现在里面，很简单只对数学家，而不

24、 是常识和非数学头脑的新生 ; 第二，它是非常有限的范围内有条件的法律。 它解释一无所知， 吸引伽利略的岩石， 或关于月球的轨道的圆形， 或有关太阳的行星地球。 这些初始条件的解 释是留给地质学家和天文学家，他们也很难与他们。第二个例子是， 普通，基本的量子力学。 这种发源于当玻恩发现计算的一些规则， 由海 森堡给出， 是正式等同采用的计算规则与矩阵，建立了很长时间才由数学家。出生，约旦和 海森堡然后提出用矩阵来代替经典力学方程的位置和动量变量。他们应用矩阵力学的规则， 少数高度理想化的问题，效果比较理想。然而，有，在那个时候，没有合理的证据表明，他 们的矩阵力学会更现实的条件下证明是正确的。

25、事实上，他们说： “如果建议的机制如这里 应该已经是正确的它的基本特征。 ”由于事实上，他们力学的第一个应用到一个现实问题， 即氢原子， 被赋予了几个月后， 由泡利。 此应用程序与经验协议给出的结果。这是令人满意 的，但还是可以理解的， 因为计算的海森堡的规则，从问题中，其中包括氢原子的旧理论抽 象。发生奇迹， 只有当矩阵力学或数学上等价理论，应用到的问题，在海森堡的计算规则是 毫无意义的。海森堡的规则预先假定的经典运动方程有一定的周期性特性的解决方案 ; 和两 个电子的氦原子的， 或者更大的数字较重的原子电子的， 根本不具备这些特性， 让海森堡的 规则不能适用于这些案件的运动方程。 尽管如此

26、， 氦气的最低能级的计算， 如进行了几个月 前由木下在康奈尔大学和 Bazley在标准局，同意的意见，这是其中的一部分在10的精度范围内的实验数据万元。当然，在这种情况下，我们 “得到的东西出来 ”，我们没有放进去的方 程同样是“复杂的光谱 ”，即，较重的原子光谱的定性特征真。 我想回顾与约旦， 谁告诉我， 推导光谱的定性特征时， 即从量子力学理论和实证研究制定的规则所产生的规则的分歧将提 供最后一个机会，使对话一改变在矩阵力学的框架。换句话说，乔丹觉得我们本来，至少暂 时，无奈有意想不到的分歧发生在氦原子理论。这是，在那个时候，由凯尔纳和由Hilleraas开发的。数学形式主义太亲爱的， 不

27、可改变的， 这样，本来这是没有提到之前发生氦的奇迹， 一个真正的危机就会出现。当然，物理学会克服这样或那样的危机。它是真实的，而另一方面，物理学， 因为我们知道今天是不可能没有奇迹的不断发生类似的氦原子，这也许是已经发生的过程中， 最引人注目的奇迹之一基本的量子力学的发展， 但远远不是唯一的一个。 事 实上， 类似奇迹的数量是有限的，在我们看来，只有我们愿意以后更相似的人去了。量子力 学有， 不过，很多这给了我们坚定的信念，这就是我们所说的，正确的几乎同样引人注目的 成就。最后一个例子是， 量子电动力学， 或兰姆位移的理论。 而牛顿的万有引力理论仍然有有 经验的明显的联系， 经验进入矩阵力学的

28、制定仅在海森堡的处方精炼或升华的形式。 兰姆位 移的量子理论所设想的贝特和施温格成立， 是一个纯粹的数学理论和实验是为了显示一个可 衡量的效果存在的唯一的直接贡献。以计算该协议比一个部分在一千更好。前面的三个例子， 它可以几乎无限期地成倍增加， 应该说明的自然规律的数学公式的恰当性 和准确性的选择了他们的可操作性， 对“自然规律 ”即几乎梦幻般的精确度的概念， 但严格而 言范围有限。 我建议指的是观察这些例子说明了作为认识论的经验定律。 加上物理理论的不 变性的规律， 它是这些理论的一个不可或缺的基础。 没有不变的规律的物理学理论可以被赋 予其实没有基础 ; 如果认识论的经验法则是不正确的，我

29、们将缺乏鼓励和安慰的是感性的必 需品，没有它的 “自然规律 ”已经不能成功探索。 RG 萨克斯博士，我与他讨论认识论的经验 法则， 把它叫做理论物理学家的一个信条，这是肯定的。 然而，他所谓的我们的信仰文章可 以很好地鉳除了已经提到的三个例子，任何实际的例子支持。物理学理论的唯一性前面观察的经验本质在我看来，是不言而喻的。它肯定不是一个 “必要的思想 ”，它不应 该是必要的， 为了证明这一点， 指向它仅适用于我们的无生命世界的知识非常小的一部分的 事实。 这是荒谬的认为， 对于位置的二阶导数的数学表达式简单的存在是不言而喻的， 当存 在本身的位置或速度没有类似的表述。 因此， 令人惊讶的是容易

30、包含在认识论的经验定律的 美妙的礼物是理所当然的。 人的心灵， 形成 1000 结论的字符串， 但仍保持这是前面提到的 “正 确”的能力，是一个类似的礼物。每一个经验定律有令人不安的质量， 一个不知道它的局限性。 我们已经看到， 有规律的， 可以在制定的数学概念方面具有不可思议的准确性在我们周围的世界的事件。还有， 在另一方面， 世界上的关于我们不相信任何准确的规律存在问题。 我们称这些初始条件。 其中提出 了自己的问题是，是否不同的规律，那就是，自然界的各种法律，将被发现，将融合成一个 单一的单位一致， 或至少渐近地接近这样的融合。 另外， 它是有可能的将永远是大自然的一 些法律，没有任何共

31、同之处与对方。目前，这是物理学的遗传和法律真实，例如， 。它甚至 可能是一些自然规律将会在他们的影响与对方发生冲突， 但每个足够的说服力在其自己的领 域，使我们可能不愿意放弃其中任何一个。 我们可能会听任事态这样的状态， 或我们在清理 的各种理论之间的利益冲突可能会淡出。我们可能会失去在 “终极真理 ”，即，在一个画面是 一致的融合成的小图片，形成对自然的各个方面一个单位的兴趣。它可能是有用通过一个例子来说明的替代品。 我们现在有， 在物理学， 极大的权力和利 益两种理论： 量子现象的理论和相对论。 这两种理论都源于现象相互排斥的群体。 相对论适 用于宏观物体，如星星。巧合的情况下，即在碰撞归

32、根到底，是在相对论的基本事件，并定 义了一个点在空间 - 时间，或至少要定义一个点，如果碰撞穗是无限小。量子理论有它的 根在微观世界， 并从它的角度， 巧合的事件， 或碰撞，即使它需要的任何空间范围颗粒之间 的地方， 是不是原始的， 而不是在所有的急剧隔离空间时间。 这两种理论工作具有不同的数 学概念铬他四维分别黎曼空间，无限维 Hilbert 空间。到目前为止，这两种理论不能团结， 就是没有数学公式存在的这两种理论都是近似值。 所有的物理学家都认为， 这两种理论的结 合本质上是可能的，而且我们会发现它。然而，这是可能的，也设想，可以发现这两种理论 的没有结合。这个例子说明了两种可能的冲突和联

33、合的，前面提到的，这两者都是可能的。为了获得一个指示去哪家替代期待最终， 我们可以假装是一个小更无知比我们， 并把我 们自己的知识水平较低的比我们实际拥有。 如果我们能找到一个融合我们对这种智能水平较 低的理论，我们可以自信地预期， 我们会找到一个融合我们的理论也为我们真正的智力水平。 在另一方面， 如果我们得出相互矛盾的理论， 在知识稍低的水平， 相互矛盾的理论的持久性 的可能性也不能被排除自己。 知识和智慧的水平是一个连续变量， 这是不可能的， 这种连续 变量的相对较小的变化， 从以一致的不一致的改变世界的实现的图片。 10 这段话是写了很 多的犹豫之后。 笔者深信，它是有用的， 在认识论

34、的讨论，放弃了人的智力水平对绝对规模 奇异位置的理想化。 在某些情况下甚至可能需要考虑为实现这有可能在其他一些物种的智力 水平是有用的。 然而， 笔者也意识到他的思想以及文中所指出的线条过于简短， 并没有受到 足够的严格评价是可靠的。 从这个角度考虑，但事实上，其中一些我们所知道的理论是假 给这样惊人准确的结果是一个不利的因素。如果我们稍差的知识，该组的现象，这些 “假 ” 的理论解释似乎我们要足够大，以 “证明”这些理论。然而，这些理论被认为是 “虚假的 ”我们 只是为他们的缘故， 在最终的分析中， 更具包容性的图片不兼容， 如果足够多的这种谬论被 发现，就必然要证明也将在互相冲突的。同样的，它是可能的理论，我们认为这是 “证明 由若干数值的协议看来是足够大对我们来说， 都是假的， 因为他们是在一个可能更具包容性 的理论， 它超出了我们的冲突的手段的发现。 如果这是真的， 我们就不得不想到我们的理论 之间的冲突， 只要其数量的增长超过一定点， 并尽快为他们覆盖足够大的一些现象组。 在对 比之前提到的理论物理学家的信仰的文章，这是理论家的噩梦。