大学物理学施建青版上册上课课件2动量守恒定律

1、一一 质点的动量定理质点的动量定理 动量动量vmp tmtpfd(ddd)v力力的的累积累积效应效应ewrfipttf, , )(对对 积累积累对对 积累积累重写牛顿第二定律的微分形式重写牛顿第二定律的微分形式afm )(vmdtddtvdm 121221dvvmmpptftt动量定理动量定理)( dddvmptf 冲量冲量 力对时间的积分（力对时间的积分（矢量矢量）21dtttfi 动量定理动量定理 在给定的时间内，外力作用在质点在给定的时间内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量 .kijiiiizyx(2) 分量形式分量形式zzttz

2、zyyttyyxxttxxmmtfimmtfimmtfi121212212121dddvvvvvv动量定理的几点说明：动量定理的几点说明：(1)(1)冲量的方向：冲量的方向：ifi 冲量冲量 的方向一般不是某一瞬时力的方向一般不是某一瞬时力 的方向，而的方向，而是所有元冲量是所有元冲量 的合矢量的合矢量 的方向的方向。tf d 21dtttf(3)(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。t2t1t ff 打击或碰撞，力打击或碰撞，力 的方向保的方向保持不变，曲线与持不变，曲线与t轴所包围的面积轴所包围的面积就是就是t1到到t2这段时间内力这段时间内

3、力 的冲量的冲量的大小，根据改变动量的等效性，的大小，根据改变动量的等效性，得到平均力。得到平均力。ff平均冲力平均冲力0000d)(ttppttttfftt(4)(4)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。(5)(5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其使用范围是惯性系。使用范围是惯性系。(6)(6)动量定理在处理变质量问题时很方便。动量定理在处理变质量问题时很方便。例例1、质量为、质量为2.5g的乒乓球以的乒乓球以10 m/s 的速率飞来，被板推挡后，又以的速率飞来，被板推挡后，又以 20 m/s 的速率飞出

4、。设两速度在垂的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为板面法线的夹角分别为 45o 和和30o，求：（求：（1）乒乓球得到的冲量；（）乒乓球得到的冲量；（2）若撞击时间为若撞击时间为0.01s，求板，求板 施于球施于球的平均冲力的大小和方向。的平均冲力的大小和方向。45o 30o nv2v145o 30o nv2v1oxy解：取挡板和球为研究对象，由于解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为挡板对球的冲力为 则有：则有：f12vmvmdtfi取坐标系，将上式投影，有

5、：取坐标系，将上式投影，有：tfmvmvdtfixxx)45cos(30cos0102tfmvmvdtfiyyy010245sin30singmsmvsmvst52,/20,/10,01021mv2mv1mv1tfinsinsiyx00730,0610nsiiiyx22210146 为为 i 与与 x 方向的夹角方向的夹角 0526,12000tanxyiinfffnfnfyxyx146,730,1622例例2 质量质量m=3t的重锤，从高度的重锤，从高度h=1.5m处自由处自由落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间用的时间(1) =0.1s，

6、 (2) =0.01s 。试求锤对工。试求锤对工件的平均冲力。件的平均冲力。hngm解：解：以重锤为研究对象，分析受力，以重锤为研究对象，分析受力，作受力图：作受力图： 解法一：解法一：锤对工件的冲力变化范围很大，采用锤对工件的冲力变化范围很大，采用平均冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。平均冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。0)(mvmvmgn 末状态动量为末状态动量为0 0初状态动量为初状态动量为ghm2ghmmgn2)( 得到得到/2ghmmgn 解得解得代入代入m、h、 的值，求得：的值，求得：(1)

7、(1) 1 . 0/5 . 18 . 928 . 9(1033 n牛顿51092. 1 )01. 0/5 . 18 . 928 . 9(1033 n牛顿6109 . 1 (2)(2) 解法二：解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过考虑从锤自由下落到静止的整个过程，动量变化为零。程，动量变化为零。重力作用时间为重力作用时间为gh/2 支持力的作用时间为支持力的作用时间为 根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，即根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，即0)/2( ghmgn得到解法一相同的结果得到解法一相同的结果/2ghmmgn 质点系质点系二二 质点系的动量定理质点系的动量定理1m2m12f

8、21f1f2f 质点系动量定理质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量系统动量的增量.niiiiniittmmtf101ex21dvv)()(d)(20210122112121vvvvmmmmtfftt20222212d)(21vvmmtfftt10111121d)(21vvmmtfftt因为内力因为内力 ，故，故02112 ff0ppi注意注意内力不改变质点系的动量内力不改变质点系的动量gbm2m000bgvv初始速度初始速度则则00pbgvv20p推开后速度推开后速度 且方向相反且方向相反 则则推开前后系统动量不变推开前后系统动量不变0pp三三

9、 动量守恒定律动量守恒定律=常矢量常矢量 iipp 如果系统所受的外力之和为零（即如果系统所受的外力之和为零（即 ）0if ipdtdf外外1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；合外力为零，或外力与内力相比小很多；2. 合外力沿某一方向为零，在该方向上动量守恒；合外力沿某一方向为零，在该方向上动量守恒；说明说明动量守恒定律动量守恒定律直角坐标系下的分量形式直角坐标系下的分量形式nxnxxvmvmvm2211=常量常量nynyyvmvmvm2211=常量常量nznzzvmvmvm2211=常量常量由于由于常常矢矢量量 cvmp则有则有常常矢矢量量 cv例例p68：质量为：质量为m的人站在长为

10、的人站在长为l的平板车上，假的平板车上，假如路面是平滑的，当人从车的一端由静止开始走如路面是平滑的，当人从车的一端由静止开始走向车的另一端时，求平板车在路面上移动的距离向车的另一端时，求平板车在路面上移动的距离和人相对于路面实际走的路程和人相对于路面实际走的路程lxs例例 一质量为一质量为m=60 kg的人静止地站在一条质量为的人静止地站在一条质量为m=600 kg，正以，正以 速率向湖岸驶近的小木速率向湖岸驶近的小木船上，湖水是静止的，其阻力不计，现在人相对船上，湖水是静止的，其阻力不计，现在人相对于船以一水平速度于船以一水平速度 沿船的前进方向河岸跳去，沿船的前进方向河岸跳去，该人起跳后，

11、船速减为该人起跳后，船速减为 ，对，对 的大小，有的大小，有人解法如下：人解法如下： 解出：解出： 这个解法是否正确？若有错误请指出并给出正确这个解法是否正确？若有错误请指出并给出正确解答。解答。vmvvmvmm)()(smv/2vv21vvsmv/10smv/10vmvvmvmm) ()(四四 变质量物体的运动方程变质量物体的运动方程 物体物体m与质量元与质量元dm在在t时刻的速度以及在时刻的速度以及在t+dt时刻时刻合并后的共同速度如图所示：合并后的共同速度如图所示：mdmvutttd m+dmvvd f 把物体与质量元作为系统考虑，初始时刻与末把物体与质量元作为系统考虑，初始时刻与末时刻

12、的动量分别为：时刻的动量分别为：)(dvumvm初始时刻初始时刻)d)(d(vv mm末时刻末时刻对系统利用动量定理对系统利用动量定理tdf 略去二阶小量，两端除略去二阶小量，两端除dtddddvufmmtt变质量物变质量物体运动微体运动微分方程分方程 值得注意的是，值得注意的是，dm可正可负，当可正可负，当dm取负时，取负时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，utmdd为尾气反推力。为尾气反推力。)u(dv)vdv)(d(vmmmm tdf ummmdvddvd 火箭飞行火箭飞行tttd 设在某一瞬时设在某一瞬时 ，火箭的，火箭的质量为质量为 ，

13、速度为，速度为 ，在其，在其后后 到到 时间内，火箭喷时间内，火箭喷出了质量为出了质量为 的气体，的气体， 是是质量质量 在在 时间内的增量，时间内的增量，喷出的气体相对于火箭的速喷出的气体相对于火箭的速度为度为 ，使火箭的速度增加，使火箭的速度增加了了 。mvttdmdmdmuvd喷气前总动量为：喷气前总动量为：vm喷气后火箭的动量为：喷气后火箭的动量为：)d)(d(vvmm 所喷出燃气的动量为：所喷出燃气的动量为：)(duvdvm vm t tvvdt+dtt+dtm-dmdmu由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不变。根据动量守恒定律变。根据

14、动量守恒定律)d(d)d)(d(uvvmvvmmmv 设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量mmuvdd 化简化简mmummuvmm0lnd0 设火箭开始飞行的速度为零，质量为设火箭开始飞行的速度为零，质量为 ，燃，燃料烧尽时，火箭剩下的质量为料烧尽时，火箭剩下的质量为 ，此时火箭能达，此时火箭能达到的速度是到的速度是0mm火箭的质量比多级火箭多级火箭iininnuvln1iu第第i i级火箭喷气速率级火箭喷气速率in第第i i级火箭质量比级火箭质量比(1)(1)确定研究系统确定研究系统(2)(2)写出系统动量表达式写出系统动量表达式(3)(3)求出系统动量变化率

15、求出系统动量变化率(4)(4)分析系统受力分析系统受力(5)(5)应用动量定理求解应用动量定理求解变质量问题的处理方法变质量问题的处理方法例例1 1：匀加速提匀加速提柔软链条柔软链条例例2 2：装煤车的牵引力装煤车的牵引力例例3：一长为：一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为为 ，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握住，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握住链条的一端，以加速度链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。当链条端点从静止匀加速上提。当链条端点离地面的高度为离地面的高度为x时，求手提力的大小。时，求手提力的大小。vaoxx解

16、：解：以链条为系统，向上为以链条为系统，向上为x x正向，地面为原点建立正向，地面为原点建立坐标系。坐标系。t时刻，系统总动量时刻，系统总动量xvptxvtpd)(dddtvxtxvddddaxv2axv22 faxaxtp 2ddax3 t t时刻，系统受合外力时刻，系统受合外力g)(xlxgftpxgfdd aoxxgxn系统动量对时间的变化率为：系统动量对时间的变化率为：根据动量定理，得到根据动量定理，得到ax3 xaxgf 3 例例4：列车在平直铁轨上装煤列车在平直铁轨上装煤,列车空载时质列车空载时质量为量为m0,煤炭以速率煤炭以速率v1竖直流入车厢竖直流入车厢,每秒流入每秒流入质量为

17、质量为 。假设列车与轨道间的摩擦系数为。假设列车与轨道间的摩擦系数为 ,列车相对于地面的运动速度列车相对于地面的运动速度v2保持不变保持不变,求机求机车的牵引力。车的牵引力。1v2vxy1v2v解：解：车和煤为系统车和煤为系统, ,向下为向下为y y正向，向左为正向，向左为x x正向，正向，建立坐标系。建立坐标系。tt+dt时刻，时刻，dm = dt120d)()(vvp ttmt20)d()d(vpttmtt )()d(dtttppp t d)(1vv2 xy1v2vxyg)(0tmffngnff)(0tm 1ddtp 12vv 10)(vngtmgtmvn)(01 竖直竖直2vfffvf

18、2nv2)()(120vvgtm水平水平 例例5 质量为质量为m1 和和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将在。问他们将在何处相遇？何处相遇？解解 把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，此方向的动量守恒。力，此方向的动量守恒。 建立如图坐标系。设开始时质量为建立如图坐标系。设开始时质量为m1 的小孩坐标的小孩坐标为为x10,质量为质量为m2的小孩坐标为的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速，他们在任意时刻的速度分别度分别v1为为v2,相应坐标为相应坐标为x1和和x2由运动学公式得由运动学公式得cm2m1x10 x20 xo ttdtvxdtvx02200110 tdtvxx01101(1) tdtvxx02202(2)