09-10学年微积分Ⅱ第二学期期末考试试卷与答案

1、第 1 页 共11 页江西财经大学09-10 学年第二学期期末考试试卷试卷代码： 03034c授课课时： 64 考试用时： 150分钟课程名称： 微积分适用对象： 2009级试卷命题人杨寿渊试卷审核人邹玉仁一、填空题 （将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分 . 每小题 2 分，共14 分. ）1. 求222zxxy的驻点为 _. 2. 已知( )f x的弹性函数为x, 则( )f x_. 3. 设20( )xtxxedt，则( )x_. 4.xedx_. 5. 差分方程14ttyyt的通解为 _. 6. 函数2( )sinf xx的麦克劳林级数等于 _. 7. 微分方程co

2、scosyyxx的通解为 _ _. 二、单项选择题 （从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置 . 答案选错或未选者，该题不得分. 每小题 2 分，共 14 分. ）1. 下列曲面方程中，表示柱面的是_. a.2221xyb.22xyz c.2222xyz d.22xyz . 2. 下列函数中，连续但不可微的是_.a.22sin(), ( , )(0,0),( , )0,0.xyx yxyf x yxyb.22sin()zxyc.22, ( ,)(0,0),( ,)0,0.xyx yf x yxyxy d.(1)xyzxy e . 3. 下列说法中正确的是 _.

3、 a.一个二元函数在一点存在极值的必要条件是在该点处一阶偏导数全为0；b.一个一元函数如果存在原函数则一定连续；c.一个二元函数如果存在一阶偏导数则一定连续；d一个二元函数如果存在连续的一阶偏导数则一定可微；第 2 页 共11 页4. 下列广义积分中，收敛的是_. a.10ln xdxb.1lnedxxc.1lnedxxx d.11dxx5. 下列级数中收敛的是 _.a. 11sinnn b. 11cosnnc. 1sinnn d. 11( 1)(1)nnnnnn. 6. 设12( ),( )y xyx是一阶非齐次线性方程( )( ) ( )( )y xp x y xf x的两个不相同的特解，

4、则( )( ) ( )( )y xp x y xf x的通解是 _. a. 12( )( )y xyx b. 12( )( )y xyx c. 121( )( )( )c yxyxyx d. 12( )( )y xyx7.1101( , )yyf x y dxdy _. a. 01111000( , )( , )xxf x y dxdyf x y dxdy b. 100( , )xdxf x y dyc. 1110( , )f x y dxdy d. 1200( , )xf x y dxdy. 三、 （请写出主要计算步骤及结果，每小题4 分，共 12 分. ）1. 211dxx 2. sinc

5、os3sin 2xxdxx3.1311dxx四、 （请写出主要计算步骤及结果，每小题6 分，共 12 分. ）1. 设arctanyzx，求 dz及2222zzxy.2. 求方程yyyx的通解。五、 （请写出主要计算步骤及结果，8 分. ）求2dxy dxdy, 其中22( , )12dx yxy. 六、 （请写出主要计算步骤及结果，8 分. ）设222( , ) (1)1,2 ,2dx yxyyx x，求：（1）区域 d 的面积；（2）区域 d 绕 y旋转一周所形成的立体的体积. 第 3 页 共11 页七、 （请写出主要计算步骤及结果，每小题4 分，共 8 分. ）1. 求极限00sinli

6、mxxtdttx2求定积分20ln(1 sin )ln 1sincossincosxdxxxxx八、 （请写出主要计算步骤及结果，8 分. ）求幂级数20( 1)21 !nnnxn的收敛区间及和函数， 并利用所得结果计算10sin xdxx（写成数项级数） 。九、经济应用题 （请写出主要计算步骤及结果，8 分. ）消费者购买商品消费的目的是满足自身的某种欲望或需求，我们称这种从商品消费中获得的满足感为效用（ utility ） ，效用数量越多表示消费者从商品消费中获得的满足感越强。效用的多少依赖于消费者所消费的商品量，因此我们把效用视为商品数量的函数，例如某消费者消费 x 单位 a 商品和 y

7、 单位 b 商品所获得的效用可表示为(,),0,0.uux yxy我 们 称 上 面 的 函 数 为 效 用 函 数 ， 并 假 设 它 具 有 连 续 的 一 阶 和 二 阶 偏 导 数 ， 且0,0,0,0xyxxyyuuuu。 如果 a， b 两种商品在市场上的单位售价分别为xp和yp（它们均为正）， 该消费者共有a单位货币，则他必须合理地分配自己的货币用于购买这两种商品，以获取最大的效用。这种最优的资金分配方案也可以用商品数量,xy来等价地表示，即,xy是下列条件极值问题的解：subject to max(,)xyuxpyaxpy（i）即求效用函数(,)uu x y在预算约束xyxpy

8、pa下的最大值点。我们构造拉格朗日函数如下：(, )(,)(),xyl x yu x yxpypa（ii）试证明：（1）如果,xy是拉格朗日函数(, ,)l x y的无条件最大值点， 则,xy一定是条件极值问题（i）的解；（2）如果,xy是条件极值问题（ i）的解，则xyxpypa；（3）如果,xy是条件极值问题（ i）的解，则存在实数使得,xy是拉格朗日函第 4 页 共11 页数(,)l x y的驻点。十、证明题 （请写出推理步骤及结果，8 分. ）试证20limsin0nnxdx。第 5 页 共 11 页江西财经大学09-10 学年第二学期期末考试试卷答案和评分标准试卷代码： 03034c

9、授课课时： 64 考试用时： 150分钟课程名称： 微积分适用对象： 2009级试卷命题人杨寿渊试卷审核人邹玉仁一、填空题 （每小题 2 分，共 14 分）1.(1,0) 2. 2( )xf xce 3.112xxexe4. 2 5. 11439ttyct6. 221120111(2 )2( 1),( 1),22(2 )!(2 )!nnnnnnnxxxxnn或7. sin1xyce二、单项选择题 （每小题 2 分，共 14 分）1.a 2.c 3.d 4.a 5.c 6.c 7.a 三、 （请写出主要计算步骤及结果，每小题4 分，共 12 分. ）1. 21111(2121111ln(421d

10、xdxxxxxcx分）分）2. 22sincos1cossin3sin22sincos1sincos2sincos12(21(321arctansincos2(42xxdxdxxxxxxxdxxxx分）分）分）.3. 第 6 页 共 11 页10133311013310011111limlim33(2(3(422ababdxdxdxxxxdxdxxx分）分）分）四、 （请写出主要计算步骤及结果，每小题6 分，共 12 分. ）1. 2222,(2zzyxdzdxdydxdyxyxyxy分）22222222,(3zyxyxxxyxy分）22222222,(4zxxyyxxyxy分）从而22220

11、.(6zzxy分）2. 齐次线性方程0yy的特征方程的根为1322i，所以其通解为121233sincos(322xyecxcx分）由待定系数法知非齐次方程有一特解1(5yx分）因此非齐次方程的通解为121233sincos1(622xyyyecxcxx分）五、 （请写出主要计算步骤及结果，8 分. ）图(1分）第 7 页 共 11 页2222201220220230cossin(331cos sin(5531sin(sin)(6531sin(7150(8dxy dxdydrrrdrdd?分）分）分）分）分）六、 （请写出主要计算步骤及结果，8 分. ）（1） 图(1 分）220222(216

12、(43sxxxdx分）分）（2）. 第 8 页 共 11 页2221122221002122210212200211241141122(61124244 122124812402(83yvydyyydyydyydyyy dyydyy dy分）分）七、 （请写出主要计算步骤及结果，8 分. ）1解：由洛毕达法则00000sinsinlimlim1sinlim(1(13(4xxxxxttdtdtttxxx分）分）分）2. 用 i 表示所求定积分，则2200ln(1sin )ln(1sin )(5ln 1sinln(1 cos )ln1 sin1 cosxxidxdxxxxx分）220ln(1cos

13、 )(6ln 1cosln(1sin )txtdttt分）20ln(1cos ),ln 1cosln(1sin )xdxxx因此220020ln(1 sin )ln(1 cos )2ln 1 sinln(1 cos )ln 1cosln(1sin )ln(1 sin )ln(1cos ),ln 1cosln(1 sin )2xxidxdxxxxxxxdxxx.(84i分）八、 （请写出主要计算步骤及结果，8 分. ）令2( )( 1)(21)!nnnxuxn，0( )( )nns xux则21( )(21)!limlim0,(2( )(23)!nnnnuxnxuxn分）第 9 页 共 11 页

14、因此幂级数( )s x的收敛域为(,)。(4分）注意到210( )( 1)sin,(5(21)!nnnxxs xxxn分）因此幂级数( )s x的和函数为sin( ),(6xs xxx分）由逐项积分公式得21110000sin1( 1)( 1).(8(21)!(22)!nnnnnxxdxdxxnn分）九、经济应用题 （请写出主要计算步骤及结果，8 分. ）证明：（1）如果,xy是拉格朗日函数(,)l x y的无条件最大值点，则,0(),(1xyxylx py pa分）从而xyx py pa。此外对于任意满足约束条件xyxpypa的点,x y 都有(,)(,)()(,1),(3xyu x yu

15、x yxpypal x yl xyuxy分）因此,xy是条件极值问题（ i）的解。（2）如果,xyx py paa则令1,xxxp于是1,xy也满足预算条件 （i） ，由于0xu，必有1,uxyuxy，但这与,xy是条件最大值点矛盾，因此必有xyx py pa。(5分）（3）由（ 2）知条件极值问题（ i）的解一定是下列条件极值问题的解subject to max(,)xyuxpyaxpy（ iii ）第 10 页 共 11 页由（iii ）约束条件解出xypyaxp，于是,xypduuudxxyp如果,xy是（i）的解，则它也是（ iii ）的解，因此0xdudx，由此得到,(7xyxyxy

16、uuxypp分）令,11xyxyxyuupxpy，则,0,xxyxylupxx,0,yxyxylupyy,()0.(8xyxylx py pa分）十、证明题 （请写出推理步骤及结果，6 分. ）证法 1：设20sinnnixdx，首先由于10nnii，limnni存在，不妨设limnnii。(2分）其次对任意自然数1k，122102sinsin111sin,(4222knnkknknixdxxdxkkkkk分）因此1110limsin,(62222nnkkikkkk分）由于 k 的任意性，必有0i。(8分）证法 2：第 11 页 共 11 页12200122220022202sinsin(cos )sincos(1)sincos(1)sin1sin(1)()(3nnnnnnnnixdxxdxxxnxxdxnxx dxnii分）因此21,2,(4nnniin