2021年普朗克黑体辐射公式推导

1、量子力学结课论文：欧阳光明(2021.03. 07)对普朗克黑体辐射公式的推证及总结摘要：黑体辐射现象是指当黑体(空腔)与内部辐射处于平衡时， 腔壁单位廂积所发射出的辐射能量与它所吸收的辐射能量相等。实 验得出的平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只 与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状和组成物质无关。基于能 量量子化的假设，普朗克提出了与实验结果相符的黑体辐射能量公 式：普朗克的理论很好地解释了黑体辐射现象，并且突破了经典物理学 在微观领域内的束缚，打开了人类认识光的微粒性的途径1。 本文主要介绍了普朗克公式的推导过程及其能量假设并将普朗克对 黑体辐射的解释做了总结。关键词：黑体

2、辐射能量量子化普朗克公式麦克斯韦玻尔茲曼分 布1.普朗克的量子化假设：黑体以hv为能量单位不连续地发射和吸收频率为v的光子的能 量且能量单位hv称为能量子，h为普朗克常量(h=6.62606896X 10'34J-S)*欧阳光明*创编2.普朗克公式的推导过程:2.1任意频率V下的辐射能量:假设有一处于平衡状态的黑体，其内有数量为N的原子可吸收 或发出频率为v的光子，其中Ng为这些原子中处在基态的原子 数，Ne为处在激发态(此处指可由基态原子受频率为v的光子 激发达到的能态)的原子数，n为频率为v的光子平均数。则由 统计力学中的麦克斯韦-玻尔兹曼公式知：kT kTNcNe Nga Ne

3、由此可得hvN_ekT(2.1.1)平衡状态下，体系内原子在两能级间相互转化的速率相等，且其速 率正比于转化的概率和该状态下的原子数目。结合爱因斯坦系数关 系3可得:Ngn=Ne(n+l)(2.1.2)1n =LT V结合(2.1.1),可解得：° -1(2丄3)则该状态下光子总能量为：hvhv£0= nhv = ekl - 1(2.1.4)2.2 vV + dv频率段中可被体系接收的频率数目设所求黑体为规整的立方体，其长，宽，高分别为Ly Lz。体积为"°。不妨先讨论一维情况：体系线宽为L,则L必为光子半波长的整数倍，设其波数为K,有jnkj = T

4、(j为整数)(221)成立。则两相邻可被体系接收的频率所对应的波数间隔为TT=岭 + _ 岭=(2 2.2)由此可得在Ak波数段内，可被体系接收的频率数目(或称波数数k L目)为：AN 二泳二 TT/k (2.2.3)因空腔内光波为驻波(波数为K和-K的两列波合成)，考虑KL值的正负，(223)式可修正为：AN =rAk(2.2.4)由此可得，在三维情况下，有土ANx = 2iTAkx5ANy = 2nAky(2.2.5)电ANz = 2nAkz并由此得到/、LxLyLzAN(k) = ANx ANy ANz =-7aiA1 r'曲 AkxAkyAkz(2.2.6)因LxLyLz为黑体

5、体积Vo, kxAkyAkz为K体积元d3k ,考虑半径为K,厚度为dk的球壳,则(2. 2. 6)式可化为:dN(k) =k2dk即 '2d (2.2.7)2ttv£odN (v) 8irhv3V 由 C代入(227)可得41TV3dN(v) = Vn dvC，u (2.2.8)因光为电磁波，对任意波矢K可有两正交的偏振，其频率相互独 立，所以(2.2.8)应修正为:81TV3dN(v) = Vo dv2 C，u (2.2.9)此即为VV + dv频率段中可被体系接收的频率数目。2.3 vV +频率段内的黑体辐射能量由(2.1.4)和(229河得vV + *频率段内的黑体辐射能量为:8nhv3vo dvC何- 1)£0dN(v)=' 丿 继而可得:1hv戶-1(231)由此，普朗克公式己推出。结论：相较于同时提出的维恩公式及瑞利-金斯公式，普朗克提出的(2.3.1) 式精确地贴合了实验得出的黑体辐射能量分布曲线(如下图)。普朗克对黑体辐射光谱的研究以及他对(2.3.1)的发现开创了量子力 学整个学科。4推导过程中的不足：论证结果是在黑体为规整的立方体的前提下得 出的，没有进行更具有一般性的论证。*欧阳光明*创编参考资料：1 周世勋，陈潮量子力学