复变函数课件-第三章复变函数的积分解读

1、 department of mathematicsjinan univ. 2009第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第一节第一节 复积分的概念及其简单性质复积分的概念及其简单性质 第二节第二节 柯西积分定理柯西积分定理 第三节第三节 柯西积分及其柯西积分及其推论推论 department of mathematics第一节第一节 复积分的概念及其简单性质复积分的概念及其简单性质 1 1、复变函数积分的的定义、复变函数积分的的定义 2 2、积分的计算问题、积分的计算问题3 3、基本性质、基本性质第三章复变函数的积分同微积分一样，在复变函数中，积分法也是研究复变函数性质十分重要的方法在解

2、决实际问题中也是有力的工具本章先介绍复变函数积分的概念，性质和计算方法然后介绍关于解析函数积分的柯西古萨基本定理及其推广，有了这些基础，我们建立柯西积分公式，最后证明解析函数的导数仍是解析函数，从而导出高阶导数公式1 1、复变函数积分的定义、复变函数积分的定义 设在复平面c上有一条连接 及z两点的简单曲线c。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在c上的连续函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。把曲线c用分点分成n个更小的弧，在这里分点是在曲线c上按从 到z的次序排列的。0z如果 是 到 的弧上任意一点，那么考虑和式zzzzzznn,.,1210),.,2 , 1 ,

3、 0(nkzk0zk1kzkz)(111knkkkzzf复变函数的积分复变函数的积分0z1z1kzkkzzzn1nzc复变函数的积分复变函数的积分分实部与虚部，有或者)()(,(),(1111kknkkkkkkkyyixxivu在这里 分别表示的实部与虚部。, )(,()(,()(,()(,(111111111111nkkkkknkkkkknkkkkknkkkkkyyuxxviyyvxxukkkkyx、及、kkz与复变函数的积分复变函数的积分按照关于实变函数的线积分的结果，当曲线c上的分点个数无穷增加，而且时，上面的四个式子分别有极限：01,.,2 , 1 , 0|0 )()(|max|212

4、11nkyyxxzzkkkkkk这时，我们说原和式有极限,d),(,d),(,d),(,d),(ccccyyxuxyxvyyxvxyxu,d),(d),(d),(d),(yyxuxyxviyyxvxyxucc复变函数的积分复变函数的积分这个极限称为函数f(z)沿曲线c的积分，记为.d)(czzf因此，我们有,d),(d),(d),(d),(d)(yyxuxyxviyyxvxyxuzzfccc复变函数的积分复变函数的积分如果c是简单光滑曲线：，并且 ，那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式，例如其中第一个可以写成因此，我们有)(),(0ttttytxzztt及相应于及00ttttu0d)( )

5、,(ttitivuzzfttcd)( )( ),(),(d)(0复变函数的积分复变函数的积分我们可以看到，把dz形式地换成微分，就直接得到上式，因此有ttztzfzzfttcd )( )(d)(0当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论。2 2 复变函数积分的性质：复变函数积分的性质：复变函数积分的基本性质：设f(z)及g(z)在简单曲线c上连续，则有（1）（2）是一个复常数；其中,d)(d)(cczzfzzf;d)(d)(d)()(ccczzgzzfzzgzf（3）其中曲线c是由光滑的曲线 连接而成；（4）ncccczzfzzfzzfzzfd)(.d)(d)(d)(21nccc,.,

6、21,d)(d)(cczzfzzf积分是在相反的方向上取的。复变函数积分的性质：复变函数积分的性质：如果c是一条简单闭曲线，那么可取c上任意一点作为取积分的起点，而且积分当沿c取积分的方向改变时，所得积分相应变号。（5）如果在c上，|f(z)|0, 存在() 0, 当 |zz0| 时, | f (z)f (z0)| . 设以 z0为中心, r 为半径的圆周k : |zz0|=r全部在c的内部, 且r .dckzz0r00( )( )ddckf zf zzzzzzz0000()( )()ddkkf zf zf zzzzzzz000( )()2()dkf zf zif zzzz00( )()dkf

7、 zf zzzzd2.ksr00|( )()|d|kf zf zszz 002cf zdzif zzz根据闭路变形原理, 该积分的值与r无关, 所以只有在对所有的r 积分为值为零才有可能。推论1 如果c是圆周z=z0+rei, 则柯西积分公式成为2000(e )1()e d2eiiif zrf zirir2001(e )d2if zr0reif z- 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.推论2 设 f (z)在二连域 d内解析，在边界上连续，则 100012ccf zf zf zdzdzizzzz0.zdd0zc1c例1 czrrzcdzzzze)2 , 1(:)2)(1(计算积

8、分解： , 10 rczdzzzze)2)(1(izzeizz0)2)(1(2, 21 r 21cc21)2(czdzzzzei1)2(2zzzzeiiiei32, 2r321ccc1c2c3c01232) 1(32czdzzzzeiei2) 1(232zzzzeiieiieiei3322 3.6 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数 一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定, 更不要说它有高阶导数存在了. 关于解析函数的高阶导数我们有下面定理:

9、定理定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:( )010!( )()d(1,2,)2()nncnf zfzznizz 其中c为在函数 f (z)的解析区域d内围绕 z0的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于d.证 设z0为d内任意一点, 先证n=1的情形, 即 因此就是要证0000( )()()lim,zf zzf zfzz按定义0.z 在时也趋向于零0201( )()d2()cf zfzzizz0020( )()1( )d2()cf zzf zf zzizzz按柯西积分公式有001( )()d .2cf zf zzizz001( )( )d2cf zf zzzizz

10、z0000( )()1( )d2()( )cf zzf zf zzzizzzzz因此0020( )()1( )d2()cf zzf zf zzizzz20001( )1( )dd2()2()( )ccf zf zzzizzizzzzz2001( )d2() ( )czf zziizzzzz现要证当z0时i0, 而2001( )d|2() ( )czf zzizzzzz2001| |( )|d2| | |czf zszzzzz f (z)在c上连续, 则有界, 设界为m, 则在c上有| f (z) | m. d为 z0 到c上各点的最短距离, 则取 |z| 适当地小使其满足 |z| 1.czcz

11、zzzzd)1(e)2;d)1(cos)1225解 1) 函数 在c内的z=1处不解析, 但cosz在c内却是处处解析的. 5)1(coszz.12)(cos)!15(2d)1(cos51)4(5|izizzzzc222)(1)zcedzz 12ccc2c1c12cc212222)()()()(czczdzizizedzizizeizzizzizeizei22)()(2)41sin(2 i3 柯西不等式与刘维尔定理：定理4.3 设函数f(z)在以)0(|:|000zzc为边界的闭圆盘上解析，那么) 1! 0,.;2 , 1 , 0()(!| )(|0)(nmnzfnn其中).0( | )(|m

12、ax)(0|0zfmzz定理4.3的证明：证明：令c是圆)0(|00 zz那么，由导数公式，有| )()(2!| )(|1)(cnndzfinzf11)(!2)(2nnmnmn!其中，n=0,1,2,;0!=1。注解：注解1、上面的不等式称为柯西不等式。注解2、如果在c上解析，那么我们称它为一个整函数，例如zezz,cos,sin等。关于整函数，我们有下面重要的刘维尔定理刘维尔定理：定理4.4： 有界整函数一定恒等常数证明：f(z)是有界整函数，即存在), 0( m使得.| )(|c,mzfz), 0(,c0zf(z)在上|0 zzz解析。由柯西公式，有/| )( |0mzf令 ，可见0)(

13、,c00zfz从而f(z)在c上恒等于常数。 4 莫勒拉定理：5、莫勒拉定理：应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，定理5.1 如果函数f(z)在区域d内连续，并且对于d内的任一条简单闭曲线c，我们有0)(cdzzf那么f(z)在区域d内解析。莫勒拉定理：证明：,c0z作以为z0心的圆盘.dk 在凸区域k内，函数f(z)连续，并且对于k内任何一个三角形的周界c，则可以证明f(z)在k内有原函数f(z)，即)()( zfzf于是f(z)在k内解析。由系4.1，f(z)在k内，在z0解析，从而有任意阶导数。又因为z0的任意性，结论成立。例：计算的值，为包含圆周的任何正向简单闭曲线dz

14、zzz2121z, 0.,1012:1212zccczzzzz只含奇点也互不相交的正向圆周内作两个互不包含包含了这两个奇点在而外处处解析和在复平面内除解iiidzzdzzdzzdzzdzzzdzzzdzzzzdzzzzdzzzzzcccccccccc4220111111)111()111(121212, 1221211122222则只含奇点本节结束本节结束谢谢谢谢！complex function theory department of mathematics3.4 解析函数和调和函数的关系定义定义1 1 内的调和函数：为区域实函数dyxu),(内有二阶连续偏导数，在区域dyxu),(0 x

15、xyyuu且满足(称为调和方程或laplace方程) 定理定理1 1： 内的解析函数是区域dyxivyxuzf),(),()(内的调和函数是区域与dvu证明： 内解析在dzf)(,xyxyuvvu 且u, v有任意阶连续偏导数 xyyyxyxxvuvu,0.xxyyuu同样可得 0.xxyyvv注：逆定理显然不成立，即 对区域d内的任意两个调和函数 u, v, ivuzf)(不一定是解析函数 .定义定义2 2 若u与v是区域d内的调和函数且满足c-r程， 则称v为u的共轭调和函数共轭调和函数 .定理定理2 2： ( )( , )( , )f zu x yiv x y函数在区域d内解析 v为u的

16、共轭调和函数 .解析函数的虚部为实部的共轭调和数例如： 2222f zzxyi xy是解析函数， 222f zxyi xy不是解析函数。已知共轭调和函数中的一个，可利用 c-r 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。例1已知一调和函数22,u x yxyxy求一解析函数 00.f zuivf使解：2,2xyuxy uyx 由 c-r 方程22yxvuxyvxy dy 2122xyyc x 2,xvyc x 22xyvuyc xyx 由 21,2c xxc 2211,2.22v x yyxyxc所以于是（法一） 222211222f zxyxyiyxyxc 000()00 xfcy由从而 2222