向量代数与空间解析几何-课件

1、高等数学高等数学（下册）主要内容（下册）主要内容一、一、 向量代数与空间解析几何（第八章）向量代数与空间解析几何（第八章） 二、多元函数微积分学（第九二、多元函数微积分学（第九十一章）十一章） 三、无穷级数（第十二章）三、无穷级数（第十二章） 第八章第八章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 第三节第三节 平面及其方程平面及其方程第四节第四节 空间直线及其方程空间直线及其方程第五节第五节 曲面及其方程曲面及其方程第六节第六节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程向量代数向量代数空间解析几何空间解析几何

2、一、向量的概念一、向量的概念 二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系 8.1 向量及其线性运算四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 4一、向量的概念1、向量向量: 既有大小既有大小, 又有方向的量又有方向的量, 称为称为向量向量 (或或矢量矢量).用一条有方向的线段来表示向量用一条有方向的线段来表示向量.2、向量的几何表示法向量的几何表示法以线段的以线段的长度长度表示向量的表示向量的大小大小, aba特别特别: : 模为模为1 1的向量称为的向量称为单位向量单位向量. . 模为模为0

3、0的向量称为的向量称为零向量零向量. .记为记为 , ,它的方向可以看它的方向可以看作是任意的作是任意的. .0有向线段的有向线段的方向方向表示向量的方向表示向量的方向. .以以a为起点为起点, b为终点的向量为终点的向量, 记为记为 或或 .aba向量向量 的大小叫做向量的的大小叫做向量的模模. 记为记为 或或 . abab|a| |53、自由向量自由向量a自由向量自由向量：只有大小、方向：只有大小、方向, 而无特定起点的向量而无特定起点的向量. 具有在空间中可以任意平移的性质具有在空间中可以任意平移的性质.ba与与若若向向量量大小相等且方向相同大小相等且方向相同,记记作作相相等等与与称称

4、.ba.ba aab4、向量相等向量相等即通过平移即通过平移可以使它们可以使它们重合重合, ,65、向量平行向量平行(或共线或共线)abab6、向量共面向量共面 当把若干个向量的起点放在一起时当把若干个向量的起点放在一起时, ,若它们的若它们的终点和公共起点在一个平面上终点和公共起点在一个平面上, ,则称这些向量则称这些向量共面共面. . 如果两个向量如果两个向量 与与 的方向相同或相反的方向相同或相反, ,称为称为平行平行, ,记为记为abab7, 0 a, 0 bab 称称为为向向量量 a与与向向量量 b的的夹夹角角, 记记为为 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它特殊地，当两个向量

5、中有一个零向量时，规定它们的夹角可在们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.)0( aobaob 则则),(ba),(ab或或.7、两向量的夹角两向量的夹角将它们平移，使得始点重合，将它们平移，使得始点重合， 方方向向相相同同与与ba:0 方方向向相相反反与与ba: 平行，平行，垂垂直直与与ba:2 .ba ./ /ab81、向量的加法向量的加法(1) 平行四边形法则平行四边形法则abbba (2) 三角形法则三角形法则abba b向量的加法向量的加法二、向量的线性运算二、向量的线性运算9多个向量相加多个向量相加: : s1a2a3a4anaaa 21从从1a的的起起点点开开始始, ,首

6、首尾尾相相接接, ,指指向向na的的终终点点. . 例如例如,4321aaaas 10向量加法的运算规律：向量加法的运算规律：(1) 交换律交换律: abba (2) 结合律结合律:)()(cbacba ba ababcb cba abcba 112、向量的减法：向量的减法：abb b cbabac )(2) 向量减法向量减法.规定规定:)( baba (1) 负向量负向量: 与与 模相同而方向相反的向量模相同而方向相反的向量, 称为称为 的的负向量负向量, 记作记作 .aaa aa 将将 之一平移之一平移, 使起使起点重合点重合, 由由 的终点向的终点向 的的终点作一向量终点作一向量, 即为

7、即为 abba,.ba abba ba 123、向量与数的乘法向量与数的乘法定义定义模：模： |aa 当当 0时时, ;同同向向与与aa 当当 0时时, 当当 = 0时时, ., 0它它的的方方向向可可以以是是任任意意的的 a 设设 为实数为实数. 规定规定: 向量向量 与数与数 的的 为一个向量为一个向量.a 乘乘积积aaa 0 ;反反向向与与aa a 0 方向：方向：13向量与数的乘积的运算规律向量与数的乘积的运算规律:(1) 结合律结合律:aaa)()()( (2) 分配律分配律:aaa )(baba )(向量的单位化：向量的单位化：设设0,a 则向量则向量aa是与是与a同方向的单位向量

8、，同方向的单位向量，记为记为.ae于是于是.aaa e 例例1 1 形对角线的交点形对角线的交点. . 例 1 在平行四边形 abcd 中 设aab bad. 试用 a 和 b 表示向量ma、mb、mc、md 其中 m 是平行四边 )(21bama)(21bamamc于是于是所以 )(21abmd 解解 由于平行四边形的对角线互相平分由于平行四边形的对角线互相平分 所以所以 maamac22bamaamac22ba )(21bamamcmdbd 2ba )(21abmd )(21bamdmb)(21bamdmb+a bac1=-2ab1=.2abbabd 因为1=;2ba1=.2ab 设向量设

9、向量 那么那么 向量向量 平行于平行于 的充分必要条件是的充分必要条件是: : 存在唯一的实数存在唯一的实数 使使v定理定理1(1(向量平行的充要条件向量平行的充要条件) ) 给定一个点给定一个点o及一个单位向量及一个单位向量 就确定了一条数轴就确定了一条数轴ox. .并且轴上的点并且轴上的点p与实数与实数x有一一对应的关系有一一对应的关系: : 点点p实数实数x. . 实数实数x称为轴上点称为轴上点p的坐标的坐标. . v数轴与点的坐标数轴与点的坐标 0,a ba.bai 对于轴上任一点对于轴上任一点p, 必有唯一的实数必有唯一的实数x, 使使,opxi 说明：说明：三、空间直角坐标系 v空

10、间直角坐标系空间直角坐标系 y轴轴 z轴轴原点原点 x轴轴 在空间取定一点o和三个两两垂直的单位向量 就确定了三条都以o为原点的两两垂直的数轴 依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴) 统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系 称为oxyz坐标系. (2)数轴的的正向通常符合数轴的的正向通常符合右手规则右手规则. . (1)通常把通常把x轴和轴和y轴配置在轴配置在水平面上水平面上 而而z轴则是铅垂线轴则是铅垂线 下页下页 ijk 、 ，17xoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限xyoz18)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 ,

11、 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb),(zoxcxyzo),(zyxm 空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(o坐标轴上的点坐标轴上的点,p,q,r坐标面上的点坐标面上的点,a,b,c一个分量为零一个分量为零: :点在坐标面上点在坐标面上. . 两个分量为零两个分量为零: :点在坐标轴上点在坐标轴上. . v向量的坐标分解式向量的坐标分解式 以以om为对角线、三条坐标轴为棱作长方体为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有有oroqopnmpnopomr , r任给向量任给向量对应有点对应有点m, 使使.omr =rom =oppn

12、nm , , ,opxioqyjorzk =+.romxiyj zk 设设则则上式称为向量上式称为向量 的坐标分解式的坐标分解式. . 称为向量称为向量 沿三个坐标轴沿三个坐标轴方向的分向量方向的分向量. . r xiyjzk、 、rv向量的坐标分解式向量的坐标分解式 点点m、向量、向量 与三个有序数与三个有序数x、y、z之间有一一对应的关系之间有一一对应的关系有序数有序数x、y、z称为向量称为向量 的坐标的坐标 记作记作有序数有序数x、y、z也称为点也称为点m的坐标的坐标 记为记为m(x y z). . r=+, ,.mromxiyj zkx y z r, ,;rx y z向量向量 称为点称

13、为点m关于原点关于原点o的的向径向径.=rom 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则则ba(,)xxyyzzabababa(,)xyzaaa，为实数()()xyzxyza ia ja kb ib jb k()()()xxyyzzab iabjab k()xyza ia ja kxyza ia ja k例例2. 求解以向量为未知元的线性方程组求解以向量为未知元的线性方程组ayx35byx23.211,212），（），（其中ba解解: 2 3 , 得得bax32)10, 1,7(代入得代入得)3(21bxy)16,2,11(

14、2(2,1,2)3( 1,1, 2)(4,2,4)( 3,3, 6) ab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzabv利用坐标判断两个向量的平行利用坐标判断两个向量的平行 即对应的坐标成比例即对应的坐标成比例.注注: 在上在上 式中规定式中规定, 若某个分母为零若某个分母为零, 则相应的分子也为零则相应的分子也为零.) 1 ,1 ,1 (212121zzyyxx 从而 )(11oboaom 因此 )(omoboaom oaomam 解解 例例3 3 已知两点已知两点a(x1 y1 z1)和和b(x2 y2 z2)以及实数以及实数 1 在直线 ab 上求一点 m 使 mba

15、m. 这就是点这就是点m的坐标的坐标. . 由于由于 omobmb 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有则有rom 222oroqopxoyzmnqrp),(111zyxa因因ab得两点间的距离公式得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点对两点与与, ),(222zyxb, rom作babaoaobba例4. 求证以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321mmm证证:1m2m3m21mm 2)47( 2)

16、31 ( 2) 12( 1432mm 2)75( 2) 12( 2)23( 631mm 2)45( 2)32( 2) 13( 63132mmmm即即321mmm为等腰三角形为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形 . 为顶点为顶点例5. 在 z 轴上求与两点)7, 1 ,4(a等距等距解解: 设该点为设该点为, ),0,0(zm,bmam因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得解得,914z故所求点为故所求点为及及)2,5,3(b. ),0,0(914m离的点离的点 . 14) 2(13|222ab 例例6 6 已知两点已知两点a(4 0 5)和和b(7 1 3)

17、求与求与 方向相同的方向相同的单位向量单位向量 ab 解 因为) 2 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7(ab 解解 ) 2 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7(ab) 2 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7(ab . e1 =(3,1, 2).14abeab 所以29 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为称为方向角方向角. . ，,zyxomr 设设xyzo m,0 ,0 .0 2.2.向量的方向角和方向余弦向量的方向角和方向余弦 30 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非

18、零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为称为方向角方向角. . ，,zyxomr 设设xyzo m 由图分析可知由图分析可知 cos|rx cos|ry cos|rz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示方向余弦通常用来表示向量的方向向量的方向. .2.2.向量的方向角和方向余弦向量的方向角和方向余弦 |cosrx |cosry |cosrz. 311coscoscos222 显然显然 以向量以向量 的方向余弦为坐标的向量就是与的方向余弦为坐标的向量就是与 同方向同方向的单位向量的单位向量 . .因此因此 1 (cos ,cos,cos ).rrerrrre32 已知两点已知两点m1(2

19、, 2, )和和m2(1, 3, 0). 计算向量计算向量m1 m2的模的模, 方向余弦和方向角方向余弦和方向角.2例例7 7解解m1 m2 = 1, 1, 221mm;22cos ,21cos ,21cos .43 ,3 ,32 ;2)2(1)1(222 模模:方向余弦：方向余弦：方向角：方向角：3.3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影 设点设点o及单位向量及单位向量 确定确定u轴轴. . 再过点再过点m作与作与u轴垂直的平面交轴垂直的平面交u轴于点轴于点m 则向量则向量 mo称为向量 r在 u 轴上的分向量. 设emo 则数称为向量 r在 u 轴上的投影 记作 prjur或或( r)u.

20、. e任给向量任给向量r，作向量作向量.omr prcosuj rr34xyzo m cos|rx 横坐标横坐标x即为向量即为向量r在在x轴上的投影；轴上的投影； 横坐标横坐标y即为向量即为向量r在在y轴上的投影；轴上的投影； 横坐标横坐标z即为向量即为向量r在在z轴上的投影；轴上的投影； 同理，同理， =, ,;romx y z 设 记作记作prjabcosbba,0 时当a上的投影为在 ab推广推广: : 向量在向量上的投影向量在向量上的投影第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积 数量积数量积 向量积向量积39sf解解: : 由物理知由物理知, 与位

21、移平行的与位移平行的分力作功分力作功, 与位移垂直的与位移垂直的分力不作功分力不作功. 于是于是一、向量的数量积一、向量的数量积|cos|sfw 例如例如: 设力设力 f 作用于某物体上作用于某物体上, 物体有一段位移物体有一段位移 s , 求功的表示式求功的表示式.cos| sf 40ab 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.定义定义 cos| |baba 向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba ， ( (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角) ) 41ab 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和两向量的数量积等于其

22、中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. .定义定义,prjcos|bba ,prjcos|aab abbabprj| .prj|baa cos| |baba 向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba ， ( (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角) ) 投影投影42数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba . )()()(bababa （3 3）结合律）结合律：43关于数量积的说明：关于数量积的说明：证证证证.| aaa 即即0)2( ba.ba ,

23、 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos . ba 即即，2|)1(aaa ,ba ,0cos . 0cos| | baba, 0 .|cos| |2aaaaa ,2 ,2 44例例1 1 利用向量证明三角形的余弦定理利用向量证明三角形的余弦定理证证ab c.cos2222 abbac , bac 由于由于)()(| 2babaccc babbaa 2， cos| |2|22baba .cos2 222 abbac 45证证明明三三角角不不等等式式 |baba . 例例2 2证证 cos| baba，|ba )()(| 2bababa 22| |2|bbaa 222bbaa ，2) |

24、(ba 所以所以. |baba 46数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)()(kbjbibkajaiazyxzyx ,kji ,0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa ijk47 cos| |baba ,| |cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为48例例3 3解解已知已知3 , 1, 2 a，4 , 1

25、, 3 b，求，求 ba ； baab22 。 (1)ba ;17431)1(32 ,143)1(22222 a,264132222 bbaab22 4 , 1 , 3143 , 1, 226 .22,40,10 (2)49例例2 2解解;1100111 amb cos.),2 , 1 , 2()1 , 2 , 2()1 , 1 , 1( ambbam 求求和和已知三点已知三点、,21221 .3 amb.,的的夹夹角角与与就就是是向向量量作作向向量量mbmaambmbma ,0 , 1 , 1 ma,1 , 0 , 1 mbmbma ,2,2 mbmambmambma abm50二、两向量的

26、向量积二、两向量的向量积先研究物体转动时产生的先研究物体转动时产生的力矩力矩lfpqo 设设 o 为为一一根根杠杠杆杆 l 的的支支点点， 有有一一力力 f 作作用用于于这这杠杠杆杆上上 p 点点处处力力 f 与与 op 的的夹夹角角为为 ，力力 f 对对支支点点 o 的的力力矩矩是是一一向向量量 m，它它的的模模 |foqm sin| |fop m 的的方向方向: 垂直于垂直于op与与f 所在的平所在的平面面, 指向使指向使op、f与与m 满足满足右手规则右手规则.51定义定义向向量量a与与b的的向向量量积积 bac 规规定定为为 sin| |)1bacc 的模的模大小：大小：(其其中中 为

27、为a与与b的的夹夹角角) 2 2) )方方向向：c的的方方向向同同时时垂垂直直于于a和和b， 即即垂垂直直于于a, ,b所所决决定定的的平平面面, ,a, ,b和和ba 成成右右手手系系. . 向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”. .bac ab52注注: （1）向量积的模的）向量积的模的几何意义几何意义.|ba 是是以以ba,为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积； sin| |baba bac ab53向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）反交换律：反交换律：.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba ).()()(bababa )()

28、(baba bbbaabaa .2ba 例例（3 3）结合律）结合律：54向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( ijk向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzbyzyzaaibbxzxzaajbbxyxyaakbbbaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbi

29、bbzyx( 行列式计算见上册行列式计算见上册 p363p367 ) 例例5 5 设设a (2 1 1) b (1 1 2) 计算计算a b . . 设设a axi ay j azk b bxi by j bzk 则则 (aybz azby)i (azbx axbz)j (axby aybx)k. . 解解 2i j 2k k 4j i i 5j 3k. . 下页下页zyxzyxbbbaaa kjiba 211112kjiba 思考思考: 右图三角形面积右图三角形面积absba21例例6. 已知三点已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(cba角形角形 abc 的面积的面

30、积 . 解解: 如图所示如图所示,cbasabc21kji2221242222)6(42114sin21ab ac21acab求三求三内容小结内容小结设设1. 向量运算向量运算加减加减:数乘数乘:数量积数量积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa向量积向量积:baxyzxyzijkaaabbb2. 向量关系向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba作业作业p23 1.(1)(2), 9.(1)(2), 10 61求求与与kjia423 ，k

31、jib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量. bac 211423 kji,510kj ,55510|22 c|0ccc . )5152(kj 例例6 6解解62在在顶顶点点为为)2 , 1, 1( a、)2 , 6, 5( b和和)1, 3 , 1( c的的三三角角形形中中，求求ac边边上上的的高高bd. abcd3, 4 , 0 ac0 , 5, 4 ab三角形三角形abc的面积为的面积为|21abacs 22216121521 ,225 | ac, 5)3(422 |521225bd .5| bd例例7 7解解|21bdacs |abac 054340 kji,161215kji 63设

32、已知三个向量设已知三个向量cba,，数量数量 cba )(称为称为这三个向量的这三个向量的混合积混合积，记为，记为cba. . 三、向量的混合积三、向量的混合积定义定义cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式64（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义： 向向量量的的混混合合积积cba是是这这样样的的一一个个数数, 它它的的绝绝对对值值表表示示以以向向量量cba,为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积. acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：

33、)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三三向向量量 a、b、c 共共面面 . 0 cba65abcd已知空间内不在一平面上的四点已知空间内不在一平面上的四点),(111zyxa、),(222zyxb、),(333zyxc、),(444zyxd, 求四面体的体积求四面体的体积. 由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量ab、ac、ad为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.| |61adacabv 例例8 8解解66,131313zzyyxxac ,141414zzyyxxad 141414131313121212 abs

34、 61 zzyyxxzzyyxxzzyyxxv abcd,121212zzyyxxab 67例例9 9解解判别判别)2 , 0 , 3(),4 , 3 , 1(),2 , 1 , 1(),1, 1, 2(dcba 四点是否共面？四点是否共面？ 只要判别三个向量只要判别三个向量ab、ac、ad是否共面即可是否共面即可 630420321 ,3 , 2 , 1 ab,5 , 4 , 3 ac,3 , 1 , 1 ad311543321)( adacab,0 因此因此 a、b、c、d 四点共面四点共面 68解解例例1010已已知知2 cba，计计算算)()()(accbba . )()()(accb

35、ba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba .4 69向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积向量的混合积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）小结小结70练习：练习：p15 习题习题8.31. 71第三节第三节 平面及其方程平面及其方程72xyzo 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面

36、的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知平面的法线向量为已知平面的法线向量为,cban 设平面上的任一点为设平面上的任一点为，),(zyxmn一、平面及其方程一、平面及其方程),(0000zyxm且过点且过点求平面方程求平面方程.0mm1、平面的点法式方程、平面的点法式方程73,0000zzyyxxmm 0)()()(000 zzcyybxxa 平面的点法式方程平面的点法式方程,cban ),(0000zyxm),(zyxm00 nmmxyzon0mm74求求过过点点)0 , 3, 2( a且且以以3 , 2, 1 n为为法法向向的的平

37、平面面方方程程. . 解解例例1 1，03)3(2)2( zyx化简得所求平面方程为化简得所求平面方程为.0832 zyx由平面的点法式由平面的点法式75求求过过三三点点)1, 0 , 1( a、)2 , 1 , 2(b和和)1 , 1 , 1( c的的平平面面方方程程. ,3, 1, 1 ab取取acabn ,3, 8, 1 所求平面方程为所求平面方程为, 0)1(3)0(8)1( zyx化简得化简得.0438 zyx解解例例2 2bcan212311 kji,2, 1, 2 ac76一一般般, ,若若三三点点)3 , 2 , 1( ),( izyxaiiii不不在在一一直直线线上上, ,则

38、则这这三三点点确确定定一一张张平平面面, ,其其方方程程为为( (混混合合积积) ) 0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx, 或或 01111333222111 zyxzyxzyxzyx. . 称为平面的称为平面的三点式方程三点式方程 77求求过过点点)1 , 1 , 1(,且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程. ,1, 1, 11 n12, 2, 32 n所以所求平面的法向量为所以所求平面的法向量为21nnn 5,15,10 化简得化简得. 0632 zyx, 0)1()1(3)1(2 zyx所求平面方程为所求平面方

39、程为解解例例3 3两平面的法向分别为两平面的法向分别为1223111 kji,1, 3, 2/782、平面的一般方程、平面的一般方程 前面看到前面看到, ,平面可用平面可用三元一次方程三元一次方程表示；反之表示；反之, ,任一三元一次方程任一三元一次方程 0 dczbyax（* *） 当当 a, ,b, ,c 不全为零时不全为零时, ,表示一张平面表示一张平面, , 它的法向为它的法向为 ,cban （* *）称为平面的）称为平面的一般方程一般方程. . 79平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( d平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( a , 0,

40、0dd平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( ba平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 cbca0, 0 cb类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0 dczbyax80解解例例4 4 求通过求通过 x 轴和点轴和点(4, 3, 1)的平面方程的平面方程.由于平面过由于平面过 x 轴轴, 所以所以 a = d = 0.设所求平面的方程为设所求平面的方程为 by + cz = 0 ,又点又点(4, 3, 1)在平面上在平面上, 所以所以 3b c = 0 , c = 3b , ,所求平面方程为所求平面方程为 by

41、 3bz = 0 ,0 b显然显然所以所求平面方程为所以所求平面方程为.03 zy81设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(ap、)0 , 0(bq、), 0 , 0(cr(其其中中0 a,0 b,0 c), 求求此此平平面面方方程程. 设平面方程为设平面方程为, 0 dczbyax将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc 解解例例5 582代入即得所求方程为代入即得所求方程为1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距oypxzqr,ada ,bdb

42、 .cdc ,0 d显然显然,0 dczbyax83把平面方程化为截距式把平面方程化为截距式, 14/556/5 zyxxyzo求求平平面面0546 zyx与与三三个个坐坐标标面面所所围围四四面面体体的的体体积积. . .1441254556561 v解解例例6 684两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. .定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n , 0:11111 dzcybxa, 0:22222 dzcybxa,1111cban ,2222cban 3、两平面的夹角、两平面的夹角85按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有22

43、2222212121212121|coscbacbaccbbaa 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( ; 0212121 ccbbaa21)2( /.212121ccbbaa 86求求两两平平面面062 zyx和和052 zyx的的夹夹角角. . 解解例例7 7，2 , 1, 11 n两平面的法向分别为两平面的法向分别为，1 , 1 , 22 n，321 nn，6|21 nn21|cos2121 nnnn .3 87解解例例8 8 判断下列各组平面的位置关系：判断下列各组平面的位置关系：；：0432 )1(1 zyx .01865 2 zyx： ，1

44、 , 3, 21 n，8 , 6 , 52 n，021 nn. 21 ,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm两平面平行但不重合两平面平行但不重合01224, 012)2( zyxzyx解解88,212142 21)0 , 1, 1()0 , 1, 1( mm两平面平行两平面平行所以两平面重合所以两平面重合.02224, 012)3( zyxzyx,1, 1, 21 n2 , 2, 42 n解解89.0)1, 1 , 0()1 , 1 , 1( 21，求求它它的的方方程程平平面面且且垂垂直直于于和和一

45、一平平面面通通过过两两点点 zyxmm1 1m2m1n.02 zyx111201 kji,1, 1, 2 解解例例9 9所求平面的法向为所求平面的法向为，过过点点)1 , 1 , 1(1m，0)1()1()1(2 zyx化简得化简得n121 nmmn 90过过点点)1 , 3, 2( 且且与与平平面面0432 zyx平平行行的的平平面面方方程程. . 将将)1 , 3, 2( 代入得代入得 7 d, , 所求方程为所求方程为 0732 zyx. . 解解例例1010，032 dzyx设所求方程为设所求方程为91设设),(0000zyxp是平面是平面byax 0 dcz 外一点，求外一点，求0p

46、到平面的距离到平面的距离. 1pnn0p 解解则有则有 0111 dczbyax, , 在平面上取一点在平面上取一点),(1111zyxp, , 4、点到平面的距离、点到平面的距离显然有显然有 |01ndnpp , , 而而,10101001cbazzyyxxnpp )()()(101010zzcyybxxa )(111000czbyaxczbyax ，dczbyax 00092222000|cbadczbyaxd 点到平面距离公式点到平面距离公式如如, ,点点)1 , 1 , 1(到平面到平面0432 zyx的距离为的距离为 ，dczbyaxnpp 00001，而而222| cban 194

47、4132 .144 , |01ndnpp 93平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程一般方程一般方程截距式方程截距式方程 （注意两平面的（注意两平面的位置关系位置关系）小结小结94xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两个不平行平面的交空间直线可看成两个不平行平面的交线线0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa 0022221111dzcybxadzcybxa 空间直线的一般方程空间直线的一般方程l二、空间直线及其方程二、空间直线及其方程1、空间

48、直线的一般方程、空间直线的一般方程95xyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于一如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条已知直线，这个向量称为这条直线的条直线的方向向量方向向量sl),(0000zyxm0m m ,lm ),(zyxmsmm0/,pnms ,0000zzyyxxmm 2、空间直线的点向式方程与参数方程、空间直线的点向式方程与参数方程pzznyymxx000 96pzznyymxx000 直线的点向式方程直线的点向式方程(或对称式方程或对称式方程)注注：若：若0 m, ,理解为理解为 lzznyyxx000, , 若若0 nm, ,理解为理解为 0

49、0yyxx, , 此时直线与此时直线与 x 轴垂直；轴垂直； 此时直线与此时直线与 xoy 面垂直面垂直. 97tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为直线的方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦. 直线的参数方程直线的参数方程98求求过过两两点点),(111zyxa、),(222zyxb的的直直线线方方程程. . 解解例例1111 直线的直线的两点式方程两点式方程 方向向量为方向向量为，,121212zzyyxxab 121121121zzzzyyyyxxxx 所以所求直线方程为所以所求直线方程为99一一直直线线过过

50、点点)4 , 3, 2( , 且且和和 y 轴轴垂垂直直相相交交，求求其其方方程程. 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( b取取bas ,4, 0, 2 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx解解例例1212因为直线和因为直线和 y 轴垂直相交轴垂直相交, 100即即直直线线过过点点)2 , 0 , 1( , , 解解例例13 13 将直线一般式化为对称方程及参数方程：将直线一般式化为对称方程及参数方程： 043201zyxzyx先在直线上找一点：先在直线上找一点：,1 x令令， 06302zyzy解得解得， 20zy101两两平平面面的的法法向向：1111， n, ,3 , 1

51、, 22 n, , 直直线线的的方方向向向向量量为为 3, 1, 421 nns， 直直线线的的对对称称方方程程为为 32141 zyx. . 再求方向向量：再求方向向量： 043201zyxzyx1 2 1n2n参数方程为参数方程为.3241 tztytx即即直直线线过过点点)2 , 0 , 1( , , 102 定义定义直线直线:1l,111111pzznyymxx 直线直线:2l,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmll 两直线的方向向量的夹角称为两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角两直线的夹角.（通常取锐角）（

52、通常取锐角） 两直线的夹角公式两直线的夹角公式3、两直线的夹角、两直线的夹角s1s2103两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(ll , 0212121 ppnnmm21)2(ll/,212121ppnnmm 直线直线:1l直线直线:2l,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21ll 即即104求两直线求两直线 1l：21213 zyx和和 2l：230212/3 zyx的夹角的夹角. . 解解例例1414,851517|220213|cos .851arccos 105定义定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影

53、直线的夹角 称为称为直线与平面的夹角直线与平面的夹角,:000pzznyymxxl , 0: dczbyax,pnms ,cban 2),(ns 2),(ns4、直线与平面的夹角、直线与平面的夹角.20 106222222|sinpnmcbacpbnam 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： l)1(.pcnbma l)2(/. 0 cpbnam)2cos(sin | )2cos(| 107例例15 15 判定下列各组直线与平面的关系：判定下列各组直线与平面的关系：. 3224: 37423: )1( zyxzyxl和和又点又点m0( 3, 4,

54、 0)在直线在直线 l 上上, 但不在平面上但不在平面上,所以所以 l 与与 平行平行, 但不重合但不重合.解解l的方向向量的方向向量3 , 7, 2 s 的法向量的法向量2, 2, 4 n,0 ns所以所以 l 与与 平行平行.108解解l的方向向量的方向向量7 , 2, 3 s 的法向量的法向量14, 4, 6 n,/ns所以所以 l 与与 垂直垂直.81446: 723: )2( zyxzyxl和和例例15 15 判定下列各组直线与平面的关系：判定下列各组直线与平面的关系：109解解l的方向向量的方向向量4, 1 , 3 s的法向量的法向量111， n. 3: 431232: )3( z

55、yxzyxl和和,0 ns所以所以 l 与与 平行平行.又又 l 上的点上的点 m0(2, 2, 3) 满足平面方程满足平面方程,所以所以 l 与与 重重合合.例例15 15 判定下列各组直线与平面的关系：判定下列各组直线与平面的关系：110设设直直线线 :l21121 zyx，平平面面: 32 zyx，求求直直线线与与平平面面的的夹夹角角. ,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s|sinsnsn 967 .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角解解例例1616111求求过过点点)4 , 2, 1( 且且与与平平面面0432 zyx垂垂直直的的直直线线方方程程. . 求求过过点点)

56、5 , 2 , 3( 且且与与平平面面34 zx和和152 zyx平平行行的的直直线线方方程程. . 所求直线方程为所求直线方程为 153243 zyx. . 解解例例1717.143221 zyx例例1818解解方向向量方向向量,1, 3, 45, 1, 24, 0 , 1 s112l求过点求过点)3 , 1 , 2(a且与直线且与直线: :12131 zyx垂直相交的直线方程垂直相交的直线方程. . 即即 0523 zyx, , 例例1919解解，0)3() 1( 2)2( 3 zyx a ， tztytx1213，0614 t，73 tb过点过点 a 且与直线且与直线 l 垂直的平面垂直

57、的平面 ：再求直线再求直线 l 与平面与平面 的交点的交点(垂足垂足)： 代入代入的方程的方程, , 113垂垂足足为为 )73,713,72( b, , 所求直线为过点所求直线为过点 a,b 的直线：的直线： ，3733171312722 zyx.431122 zyx即即l a b求过点求过点)3 , 1 , 2(a且与直线且与直线: :12131 zyx垂直相交的直线方程垂直相交的直线方程. . 例例1919解解114注注：缺缺少少平平面面2 ( (为为什什么么? ?) ). . 5、平面束方程、平面束方程0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa设两张平面设两张平面相交

58、于直线相交于直线 l , 则过则过 l 的平面束可表示为的平面束可表示为 .0)(22221111 dzcybxadzcybxa 115设设平平面面方方程程为为 0)132(22 zyxzyx , 求经过直线求经过直线 13222zyxzyx和点和点)2 , 2, 1( p的平的平面方程面方程 例例2020解解由由于于点点)2 , 2, 1( p在在该该平平面面上上， 代代入入得得 2 , 由此得到所求平面方程为由此得到所求平面方程为 ,0)132(222 zyxzyx.04554 zyx即即116求过点求过点)2, 1 , 3( 且通过直线且通过直线12354zyx 的平面方程的平面方程.

59、. 比较：比较：解解因为平面过点因为平面过点)2, 1 , 3( a, ,且过直线上一点且过直线上一点)0 , 3, 4( b, , 故平面平行于故平面平行于ab, ,且平行于直线的方向向量且平行于直线的方向向量1 , 2 , 5 s, , 所以其法向为所以其法向为 22, 9 , 8125241 kjisabn由点法式得所求平面的方程为由点法式得所求平面的方程为 0)2(22)1(9)3(8 zyx0592298 zyx即即117设设平平面面方方程程为为 0) 132(22 zyxzyx , 求经过直线求经过直线 0262 zyxzyxl：且垂直于平面且垂直于平面02 zyx的平面方程的平面

60、方程. 例例2121解解由于所求平面与平面由于所求平面与平面02 zyx垂直，所以垂直，所以 由此得到所求平面方程为由此得到所求平面方程为 ,06)1()1(2)1( zyx 即即,01, 2, 11,22,1 .0623 zyx,01)22(21 即即解得解得 2 , 118 l求直线求直线l: : 0101zyxzyx 在平面在平面 : :0 zyx上的投影直线的方程上的投影直线的方程. . 只只要要求求出出过过l且且与与 垂垂直直的的平平面面即即可可. . 且且 l 过过点点)0 , 1 , 0(, , 的的法法向向1 , 1 , 1 n, , 过过l且与且与 垂直的平面垂直的平面1 的