§4-6导体、电磁介质界面上的边界条件磁路定理

1、6 6 导体、电磁介质界面上的边界条件导体、电磁介质界面上的边界条件 磁路定理磁路定理6.0 电流密度矢量电流密度矢量 连续方程连续方程 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 导体中电流的方向沿电场方向，从高电势处指向低电势处 电流单位时间内通过导体任一横截面的电量 1.1.电流密度矢量电流密度矢量jdSdI u单位时间内通过垂直于电流方向的单位面积的电量SdjdIdSdISIStqjSS00limlimu通过导体中任意截面S的电流强度与电流密度矢量的关系为)()(cosSSjdSSdjIu电流密度矢量j的分布构成一个矢量场电流场2.电流的连续性方程电流的连续性方程u根据电荷守恒，对于任意闭合

2、面，有dtdqSdjsdVdtddVtdVjVtju任何一点电流密度的散度等于该任何一点电流密度的散度等于该点电荷体密度的减少点电荷体密度的减少u恒定条件)(0SSdj0dtdqu电流线连续性地穿过闭合曲面所包围的体积，不能在任何地方中断，永远是闭闭合曲线。电荷分布不随时间变化u恒定电场恒定电场：与恒定电流相联系的场3.导电规律导电规律恒定电场和静电场一样，满足环路定理0l dE可以引进电势差（电压）的概念欧姆定律积分形式 RUI IRU 或 电阻率和电导率均匀导体电阻均匀导体电阻非均匀导体非均匀导体SlRSdlR 是导体的电阻率电阻率电导电导RG11电导率电导率4.关于电阻率和电导率的讨论关

3、于电阻率和电导率的讨论电阻率和电导率由导体本身的性质所决定导体材料种类繁多，性质千变万化，因而电阻率与电导率也因材料的不同而各不相同（与、 相似）n各向同性介质、为标量l均匀材料内部，、是常数l非均匀材料，其内部各处的、可以不同n各向异性介质、为张量电阻率与导体的性质与温度有关5.欧姆定律微分形式欧姆定律微分形式设想在导体的电流场内取一小电流管，在该电流管内应用欧姆定律，有 SjIlEU SlR/RUISESllESj/Ej 场强E的方向和电流密度矢量j的方向处处一致Ej欧姆定律微分形式欧姆定律微分形式 上式给出了j与E的点点对应关系更适用于表征性质各异的导体材料的特征适用范围比积分形式大6.

4、1 两种介质分界面上的边界条件两种介质分界面上的边界条件n要点：界面上介质的性质有一突变，这将导致静电场也会有突变电场、磁场的高斯定理、环路定理的积分形式在边界上依 然成立，可以把不同介质里的场量用积分方程联系起来方程的微分形式只适用于非边界区域，对于边界突变处，方方程的微分形式只适用于非边界区域，对于边界突变处，方 程的微分形式已失去意义程的微分形式已失去意义通常用积分方程还不能直接求得空间各点场的分布，所 以常常要将方程的积分形式变换成微分形式必须考虑用新的形式来给出边界上各物理量的关系，亦即 给出边界条件实际上边界条件就是把积分方程放到边界突变处得到的结果0-1、导体界面上的两个边界条件

5、、导体界面上的两个边界条件 （1）j的法向分量的连续性的法向分量的连续性 通过闭合面的电流为 侧）底）底(2(1(SdjSdjSdjSdjdSnj1dSnj20dS根据电流的连续性方程根据电流的连续性方程 0)(12SnjjSdj于是 0)(12njj或nnjj12在边界面两侧电流密度的法向分量是连续的在边界面两侧电流密度的法向分量是连续的 （2）E的切向分量的连续性的切向分量的连续性E沿此闭合环路的线积分为 ADDCCBBAl dEl dEl dEl dEl dEBC和DA的长度趋于0 按照静电场的环路定理 0)(21lEEl dEtt021ttEEttEE21或在边界面两侧电场强度的切向分

6、量是连续的在边界面两侧电场强度的切向分量是连续的 0)(21nEE6-1 介质界面上的两个边界条件介质界面上的两个边界条件 两种电介质界面上的两个边界条件两种电介质界面上的两个边界条件 由高斯定理 )(0内SqSdD一般在不同的电介质界面上没有自由电荷0 SdD对于电场强度有环路定理 0l dE与 比较得0 SdjnnDDnDD12120)(或0)(21nEE 电位移电位移矢量的矢量的法向法向分量连续分量连续;电场强度电场强度矢量的矢量的切切向向分量连续分量连续 两种磁介质界面上的两个边界条件两种磁介质界面上的两个边界条件磁感应强度矢量的高斯定理 0 SdBnnBBnBB12120)(或磁场强

7、度的安培环路定理 )(0内LIl dH一般在不同磁介质的界面上没有传导电流0I 0l dHttHHnHH12120)(或 磁感应强度磁感应强度矢量的矢量的法向法向分量连续；分量连续；磁场强度磁场强度矢矢量的量的切向切向分量连续分量连续 结论结论 两种不同介质的分界面上，两部分介质的、不同，相应地有三组边界条件磁介质界面上，B法向连续，H切向连续0)(12nBB0)(12nHH电介质界面上，D法向连续，E切向连续0)(12nDD0)(21nEE以上设界面上没有自由电荷和无传导电流两种导体界面上，j法向连续，E切向连续0)(12njj0)(21nEE6.2 有介质情形的边值问题的唯一性定理有介质情

8、形的边值问题的唯一性定理 介质界面上的边界条件是：介质界面上的边界条件是：场强E的切向分量连续，电位移D的法向分量连续；用电势的语言表达，即通过界面时U连续，以及两侧nUnU2211即电场如有法向分量，即不等于零，且它们的方向一致，则电势连续且无极值，有这两条，第一章里证唯一性定理所用的方法基本上是有效的。（如电势有极值，则其一阶导数 ，即场强=0）分区均匀电介质中的导体组分区均匀电介质中的导体组10Un6.3 6.3 电流线、电场线和磁感应线在边界上的电流线、电场线和磁感应线在边界上的“折射折射”j、D、B法向分量连续，切向分量不连续三者在两种界面发生折射 电流线、电场线与界面法线的夹角分别

9、为1、222112211sinsin;cos,cosEEEEjjjjttnn按照边界条件 nnjj12ttEE21两式相除得 ntntjEjE2211222111tantanjEjE 设两种导体的电导率分别为1、2，则按欧姆定律的微分形式，有111Ej222Ej于是 21212211tantan,tantan或导体界面两侧电场线与法线夹角的正切之比等于导体界面两侧电场线与法线夹角的正切之比等于两侧电导率之比两侧电导率之比 在电介质中在电介质中 1101ED2202ED用同样的方法可以证明21212211tantan,tantan或 电介质界面两侧电场线与法线夹角的正切之比电介质界面两侧电场线与

10、法线夹角的正切之比等于两侧介电常数之比等于两侧介电常数之比 在磁介质中在磁介质中 1101HB2202HB21212211tantan,tantan或用同样的方法可以证明 磁介质界面两侧磁感应线与法线夹角的正切之磁介质界面两侧磁感应线与法线夹角的正切之比等于两侧磁导率之比比等于两侧磁导率之比 结论结论: :电流线电流线( (磁感应线磁感应线) )向高电向高电( (磁磁) )导率物质内密集导率物质内密集导体与绝缘体之间导体与绝缘体之间介质2良导体，假设假设:介质1不良导体或绝缘体，1B磁介质之间磁介质之间 2121tantan010290 在不良导体一侧电流线和电场线几乎与界面垂在不良导体一侧电

11、流线和电场线几乎与界面垂直，而在良导体一侧电流线和电场线几乎与界面直，而在良导体一侧电流线和电场线几乎与界面平行，从而电流线非常密集。这样，高导电率的平行，从而电流线非常密集。这样，高导电率的物质就把电流集中到自己的内部物质就把电流集中到自己的内部2121tantan磁介质1弱磁性物质（顺磁质或抗磁质），11 622101021磁介质2铁磁质，以上，21tantan010290， 21212211tantan,tantan或由于 在弱磁性物质一侧磁感应线和磁场线几乎与界在弱磁性物质一侧磁感应线和磁场线几乎与界面垂直，而在铁磁质一侧磁感应线和磁场线几乎面垂直，而在铁磁质一侧磁感应线和磁场线几乎与

12、界面平行，从而磁感应线非常密集。这样，高与界面平行，从而磁感应线非常密集。这样，高导磁率的物质把磁通量集中到自己的内部导磁率的物质把磁通量集中到自己的内部 6.4 6.4 磁路定理磁路定理621010铁磁材料的磁导率很大(数量级在以上)，铁芯有使磁感应通量集中到自己内部的作用。 一个没有铁芯的载流线圈产生的磁通量是弥散在整个空间的 若把同样的线圈绕在一个闭合或差不多闭合的铁芯上时，则不仅磁通量的数值大大增加，而且磁感应线几乎是沿着铁芯的 由铁芯和励磁线圈组成的磁感应管（磁路）由导线和电源组成的电路 铁芯的边界就构成一个磁感应管，它把绝大部分磁通量集中到这个管子里 铁芯构成的磁感应管叫做磁路磁路

13、磁路定理磁路定理 磁路定理是磁场的“高斯定理”和安培环路定理的具体应用 恒定电路中，通过各个截面的电流I相等铁芯里通过各个截面的磁通量B相同 闭合电路中，电源的电动势等于各段导线上的电势降落之和iiiiiiiiSlIRIIR电路与磁路的比较电路与磁路的比较对于磁路，有安培环路定理iiiiiBiiiiiiiLSllBlHldHNI00)(0因为通过各段磁路的磁通量B相同00ii iBBiiiiilNIH lRS 电电路路磁磁路路电动势磁通势 电流0NImI0iBi电导率磁通量 磁导率电阻磁阻iiiiSlRiiimiSlR0电势降落iIR磁势降落 iiiBiiSllH0磁阻磁通势miBiiiiim

14、imRlHSlRNIE磁势降落磁阻电工中叫做磁动势磁通势00磁路的公式可写成与电路公式更加相似的形式 imiBiiimRlHE磁路定理磁路定理 磁路定理的文字表述：磁路定理的文字表述：闭合磁路的磁动势等于各段磁路上磁势降落之和。例题例题1212 （p274p274）. .图a和b分别是一个U形电磁铁的外貌和磁路图，它的尺寸如下：磁极截面积S1 1=0.01=0.01m m2 2，长度l1=0.6m，1 1=6000=6000，轭铁截面积S2=0.02m2 ，长度l2=1.40m，2=700， 气隙长度l3在00.05m范围内可调 。如果线圈匝数为N=5000，电流I0最大为4A，问l3=0.0

15、5m和0.01m时最大磁场强度H值各多少？解：解： 根据磁路定理0312101202303BNIlllSSS 式(1)且在气隙中03BHS 式(2)，且(1)=(2)；则3322211130/SlSlSlSNIH忽略漏磁效应，取21301. 0mSS得到OemAHml353109 . 4/1092. 305. 0时，OemAHml463103 . 2/108 . 101. 0时，例题例题13 p249例题11证明，闭合磁芯的螺绕环自感系数L比空心时的L0大倍。由于种种原因，实际电感器件中的磁芯不都是闭合的。这时的自感系数L与空心线圈自感系数L0 之比，称为器件的有效磁导率有效有效，如图所示，磁

16、环开有气隙。设磁芯材料的磁导率为 ，其长度为l1，气隙的长度为l2 求有效磁导率。 解：解：设空心线圈的磁组为Rm0、加入铁芯后的磁组为Rm，二者的磁动势一样，都是E EmNI0，因此它们之中的磁通量分别为0000mmmBRNIRmmmBRNIR0SBB00BSB000HB00HB有效00HB有效0BB0BBmmRR0SlRm00SlSlRm0201SlSlSl02010/21lll22)(llll) 1(12ll见p249例题21(1)ll有效讨论：210cm1mm1000/119101000/10199.ll有效有效设， =1000，则；如 =1000 ，则说明：气隙长度只有总磁路的1/100,但 比 下降很多，当材料磁导率增大10倍， 也没有增大多少，这是因为在这个串联磁路中，气隙磁阻远大于铁芯磁阻，磁路中磁阻主要由气隙决定。有效有效u空气中，磁阻大，通量小u介质中，磁阻小，通量大，磁通量较多通过 介质，磁力线集中在铁芯内。u串联磁路串联磁路中高磁阻空气隙在整个磁路中起主要 作用u并联磁路对于分支节点