高等数学(下)重要内容要点

1、1 / 39 高等数学（下）内容要点第七章向量代数与空间解析几何1向量的运算：模、方向余弦、加、减、积已知向量(,),(,)xyzxyzxyzxyzaa ia ja ka aabb ib jb kb b b，则222,cos,cos,cos|yxzxyzaaaaaaaaaa1coscoscos222，1,cos,cos,cos|xyzaaaaa数量积：cos,prprbaxxyyzza ba ba bajabjba ba ba b注意下面两个性质的应用：（） 设a是任意向量，则2|aaa；（） a bb a ；从而有2222bbaaba向量积：0sin,xyzxyzijkaba ba bcaa

2、abbb其中构成右手系且的单位向量是同时垂直于00,cba，bac。ba在几何上表示以ba,为邻边的平行四边形的面积。注意性质：()()abbaba混和积：321321321)(,cccbbbaaacbacba其中cba,的混合积的绝对值等于以cba,为棱的平行六面体体积。2向量之间的平行、垂直、共面条件两向量垂直的充要条件：.0baba两向量平行（共线）的充要条件：2 / 39 312123/0.aaaabbaabbbb3平面与直线（1）平面及其方程点法式方程：0)()()(000zzcyybxxa一般式方程：0dczbyax截距式方程：1czbyax三点式方程：01313131212121

3、11zzyyxxzzyyxxzzyyxx（2） 直线方程点向式方程：pzznyymxx000（对称式方程）一般式方程：0022221111dzcybxadzcybxa两点式方程：010010010zzzzyyyyxxxx（实际是对称式方程）参数式方程：ptzzntyymtxx000,直线的三种方程可以相互转换。（3） 点到平面的距离，点到直线的距离，异面直线间的距离点),(0000zyxm到平面0dczbyax的距离：222000cbadczbyaxd点1m 到直线pzznyymxx000的距离：ssmmd10，其中s为直线的方向向量，0000(,)mxyz。两异面直线111222111222

4、,xxyyzzxxyyzzmnpmnp间的距离：3 / 39 121212()ssm mdss该公式可理解为 （1）直线上的两点12,mm 对应的向量12m m在12()ss投影的绝对值。或（ 2）1212()ssm m表示1212,s s m m为棱边的平行六面体的体积，而体积又可表示为12ssd。（4） 平面与平面、平面与直线、直线与直线的关系（平行、垂直、相交）。两平面法向量的夹角 (常取锐角 )称为两平面的夹角 . 两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角（取锐角） 直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角（取锐角）平面束设有两张不平行的平面， 交成一条直线l，过直线l的所有

5、平面的集合称为由直线l所确定的 平面束 。设空间直线的一般式方程为00:22221111dzcybxadzcybxal则方程11112222()()0a xb yc zda xb yc zd (10) 称为过直线l的平面束方程。 其中、为参数，且不全为零。1.过点(1,1,1)m且与直线2022360 xyzxyz平行的直线方程为2.已知平面过点(1, 2,0)且与直线602310 xyzxyz垂直，求此平面方程。3.已知向量,2oab obaoda，如图(1) 求证:oda的面积2.2a b absa(2) 当 ,a b 夹角为何值时 , oda的面积为最大 ? 解(1)连接ab,则1122

6、aobabsabaadadaaboadb4 / 39 同时,cosa ba ba ba ododa所以21.22a b absod ada(2) 22211cossinsin 2422a b absa ba bbaa所以当4时,面积为最大 . 4. 设352aijk，29bijk，试求的值，使得：1）ab与 z轴垂直；2）ab与a垂直，并证明此时ab取得最小值。解首先ab=(32,51, 29)，1）ab与 z轴垂直， 就是ab与基本单位向量 k 垂直， 即0abk，从而(32,51, 29) (0,0,1)290所以，当4.5时，ab与z轴垂直；2）ab与a垂直，即 ()0aba从而有3(3

7、2)5(51)2( 29)3870, 所以，当738时，ab与a垂直。记d2ab，则d=222(32)(51)( 29) ，求导7614d，得驻点738，且076 d，所以当738时，ab取得最小值。5.求两直线0420042052zxyzyyx与的公垂线方程。解：直线401229042052zyxzyyx的对称式方程为直线1200280420zyxzxy的对称式方程为公垂线的方向向量为2,10, 11, 0, 24, 1 , 2设垂足分别为)2,0,82(),4, 2,92(uuttt，则0,2112,22410218292ututtut解得5 / 39 公垂线方程为221018zyx6 /

8、 39 第八章多元函数的微分一、多元函数的概念、极限、连续二、偏导数、全微分定义偏导数 ：0000000(,)(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx，yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000全微分 ： 设),(yxfz， 若22),(yxybxaz， 则称),(yxfz在点),(00yx可微，并称dyzdxzybxadzyx为),(yxfz在点),(00yx的全微分。注意一元函数与二元函数在可微、可导、连续等概念上的区别与联系一元函数在某点处二元函数在某点处有三、多元复合函数的求导法则显函数多元复合函数求导法是多元函数微分学中的一个中心内容。在用法则时关键是

9、弄清函数的复合结构， 哪些是中间变量， 哪些是自变量， 为此我们把变量之间的关系用图示来表式， 称为变量之间的关系图 ，或称为 变量之间的树形图 。另外还注意抽象复合函数),(yxxyf等的偏导数的求法， 其中主要是正确理解和使用符号21111,fff等。存在连续偏导数可微连续可偏导方向导数存在极限存在可导可微连续极限存在7 / 39 求法：事实上，在求显函数的偏导数时已经用了复合函数的求导法则，只是当时没有明显写出变量之间的关系。如设yzxzyxvxyuvezu,sin求其中法 1 原题即是求yzxzyxezxy,)sin(的偏导数法 2 明确变量之间的关系为：zuvxy利用复合函数的求导法

10、则xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz即可求出偏导数。法 3 利用全微分的形式不变性，先计算全微分，后得偏导数.)cossin()cossin()(cos)(sincossindyvevxedxvevyedydxvexdyydxvevdvevduedzuuuuuuuu所以得)cos()sin(cossinyxeyxyevevyexzxyxyuu隐函数的求导法则我们知道表示函数的方法是多种多样的，如显式表示，隐式表示（又分为单个方程或方程组），参数方程（显式或隐式）表示等，相应就产生各式各样的求导法则或公式。1） 由二元方程0),(yxf所确定的一元隐函数)(xfy的导数dxdy的求法：（

11、1）显化：由0),(yxf解出)(xfy（满足隐函数存在定理的条件） ，利用一元函数的求导法则，求出dxdy。由0),(yxf解出)(yfx，利用反函数的求导法则，求出1dydxdx dy（2） 视xy为 的函数用复合函数的求导则（3） 用隐函数的求导公式yxffdxdy（4） 利用函数的微分8 / 39 2）由三元方程0),(zyxf所确定的二元函数),(yxfz或),(zygx等的偏导数yxxz,等的求法（与上面相应）显化：一般行不通视yxz,为的函数，两边分别对yx,求导，则可得到yzxz,隐函数的求导公式zyzxffyzffxz,利用微分方程组0),(0),(zyxgzyxf确定隐函数

12、)(),(xzzxyy，求dxdzdxdy,通过解下面的线性方程组得到00dxdzgdxdyggdxdzfdxdyffzyxzyx四、多元函数微分学的几何应用1空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的参数方程为),(),(),(),(:0000zyxtttzztyytxx与空间直角点参数相对应为切点则切线向量为)(),(),(000tztytxs切线方程为)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为0)()()(000000zztzyytyxxtx 设空间曲线的一般方程为),(,0),(0),(:000zyxzyxgzyxf切点为9 / 39 则切线向量为pnmgggfffkjis

13、zyxzyxzyx,),(000，或为)(),(, 100 xzxy（将曲线方程转化为参数方程）切线方程为pzznyymxx000法平面方程为0)()()(000zzpyynxxm2 空间曲面的切平面与法线 设曲面方程为为切点),(,0),(:0000zyxmzyxf则切平面的法线向量为cbamfmfmfnzyx,)(),(),(000切平面方程为0)()()(000zzcyybxxa法线方程为czzbyyaxx000 设曲面的参数方程为),(),(),(),(),(:00000vuzyxvuzzvuyyvuxx对应的参数为切点则切平面的法向量为cbazyxzyxkjinvvvuuu,切平面方

14、程为0)()()(000zzcyybxxa法线方程为czzbyyaxx000五、方向导数与梯度1 方向导数定义：函数),(),(00yxyxf在点处沿l方向的函数的增量),(),(0000yxfyyxxf与 这 两 点),(),(0000yyxxyx的 距 离22yx之比，当距离0的极限，记为,fl即00000(,)(,)l i mfxxyyfxyfl10 / 39 lf表示),(),(00yxyxf在点处沿方向l的变化率。关于方向导数的存在性与计算有下面的定理定理 如果函数),(),(00yxyxf在点可微分， 则函数在该点沿任一方向l的方向导数存在，且有cos),(cos),(0000yx

15、fyxflfyx其中cos,cos是方向l的方向余弦，即)cos,(cosle是与l同方向的单位向量。（同理有cos),(cos),(cos),(000000000zyxfzyxfzyxflfzyx）2 梯度定义：jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000方向导数与梯度的关系：cos),(),(cos),(cos),(00000000yxgradfeyxgradfyxfyxflflyx其中legradf与是的夹角。所以函数在一点的梯度是一个向量，它的方向是函数在这一点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。（同理有kzyxfjzyxfizyxfzyxgr

16、adfzyx),(),(),(),(000000000000）六、多元函数的极值及其求法定义：对),(000yxp的去心邻域内的任意一点),(yx都有),(),(00yxfyxf，则称),(),(),(0000yxfyxyxf有极大值在点),(),(00yxfyxf，则称),(),(),(0000yxfyxyxf有极小值在点定理 1（取极值的必要条件）),(),(00yxyxf在点有偏导数， 且在点),(00yx处有极值，则有0),(,0),(0000yxfyxfyx使0),(,0),(0000yxfyxfyx的点),(00yx，称为),(yxf的驻点。上定理可改写为： 在偏导数存在的前提条件

17、上， 极值点必为驻点。 但反之不成立。定理 2（取极值的充分条件）),(yxf在点),(00yx的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又0),(,0),(0000yxfyxfyx，令),(),(),(000000yxfcyxfbyxfayyxyxx，则11 / 39 02acb时，),(00yxf是极值，且)0(0a时是极小（大）值02acb时，),(00yxf不是极值02acb，不能肯定),(00yxf是否是极值，还需另作讨论。极值的求法：无条件极值：从上面的定理2 即得求无条件极值的步骤。条件极值：方法 1：转化为无条件极值方法 2：用拉格朗日乘数法求驻点设目标函数0),(),(yxyx

18、fz在约束方程下的极值，先作拉格朗日函数),(),(),(yxyxfyxl解方程组0,0,0lllyx得可能极值点。（在求最值时，若可能极值点唯一，无须判别，可直接下结论：该点的函数值即为最值。）对于多个变量，多个约束条件的情况，同理。关键：建立正确、简洁的目标函数1.设( , )f x y有二阶连续偏导数，其梯度2(2,)fxy x，则( , )f x y2.曲面22260 xyz在点(2,3,1)处的切平面方程为3.设22(sin ,)xzf ey xy，f具有二阶连续偏导数，求2,.zzxx y4.求函数222uxyz 在约束条件21xyz下的最小值。解：令222( , , ,)(21)

19、l x y zxyzxyz20,2,220,210 xyzlxlylzlxyz则,2xyz，代入0l有13。得唯一驻点1 1 1(, ).6 6 3当x或y或z时，( , , )u x y z，所以唯一驻点为函数的最小值点，12 / 39 最小值为1 1 11(,).6 6 36u5.设11()xyze，则22zzxyxy【a】a2zb2yc2xd26.( ,)f x y连续是偏导数存在的【 d 】a必要条件b充分条件c充要条件d无关条件7.设, 1),(2222vfuf，vuf且满足具有二阶连续偏导数又222222),(21,),(ygxgyxxyfyxg求（22yx）8.设函数( )f x

20、具有二阶连续导数，且( )0,(0)0f xf， 则函数( )ln( )zf xf y在(0,0)处取得极小值的一个充分条件是【a】 ，并说明理由。（a）(0)1,(0)0.ff（b）(0)1,(0)0.ff（c）(0)1,(0)0.ff（d）(0)1,(0)0.ff解：( )( )( )ln( ),(0,0)0,(0,0)0( )xyxyf x fyzfxfyzzzfy22( ) ( )( )( )( )( )ln( ),( )( )( )xxxyyyfy fyfyfx fyzfxf yzzf xf yfy当(0)1,(0)0ff成立时，(0)(0,0)(0)ln(0)0,(0,0)0,(0

21、,0)(0)(0)xxxyyyfazffbzczff且20bac，从而( )ln( )zf xfy在(0,0)处取得极小值。13 / 39 第九章重积分二重积分的计算法二重积分的计算总的来说就是化二重积分为二次积分。(1)利用直角坐标计算二重积分ddxdyyxf),( 设被积分函数为( , )f x y，积分区域为x型区域bxaxyxd),()(:21，如图（此种区域的特点是：用垂直于x轴的直线穿过区域d时，与d的交点不多于两个）)()()()(2121),(),()(),(xxbabaxxbaddyyxfdxdxdyyxfdxxadxdyyxf此结论对非正的),(yxf仍成立。 设积分区域为

22、y型区域，即dycyxyd),()(:21, )()(21),(),(yydcddxyxfdydxdyyxf 积分区域既是x型区域，又是y型区域，则)()(21),(xxbadyyxfdx)()(21),(),(yydcddxyxfdydxdyyxf上式表明，虽然积分次序不同，它们的值是相同的。 区域既不是x型区域，又不是y型区域，作辅助线化为情形1、2 (2)利用极坐标计算二重积分前面讲了利用直角坐标计算二重积分，但对某些积分， 利用直角坐标难以解决，特别是区域d的边界用极坐标表示起来更方便时，往往用极坐标来计算更简捷。如222)(:,22ryxddxdyedyx；2222224:,siny

23、xddxdyyxd。极坐标下二重积分的计算，首先是把直角坐标下的二重积分( , )df x y d化为极坐标系的二重积分(cos ,sin)dfdd，再化为极坐标下的二次积分。设积分区域为),()(:21d14 / 39 dfdddfd)sin,cos()sin,cos()()(21若积分区域)()(,:21baddddf)sin,cos()()(21)sin,cos(dfdba其它各种区域类似。何时选用极坐标进行计算呢？一般说来，当积分域d 的边界曲线用极坐标方程表示比较简单或被积函数用极坐标表示比较简单，可考虑用积坐标计算。 通常被积函含22yx项，积分区域与圆有关（圆域或圆域的一部分）。

24、重积分的应用元素法:,:,几何上平面图形面积 曲面面积 曲顶体体积等二重积分物理上平面薄片的质量质心 力矩 转动惯量等(1)平面图形的面积：dddaddxdyrdrdd的面积。(2)平面薄片的质量、重心：( , )dmx y d，11( , )1( , )dddxxx y dxdmayyx y dm常数(3)立体的体积：即曲顶柱体的体积( , )df x y d(4)曲面面积已知曲面片方程为( , )zf x y的面积：xydyxdffa221若给出的方程为),(zygx，类似地有公式：yzdzydydzgga221二、三重积分三重积分的概念将二重积分的概念推广则得三重积分的概念。dvzyxf

25、),(niiiiivf10),(lim其中dv叫做体积元素。15 / 39 三重积分在直角坐标系下的计算(1)利用直角坐标计算三重积分dvzyxf),( , , )f x y z dxdydz先单积分后二重积分：设在xoy坐标面的投影为xyd，以xyd的边界为准线作母线平行于 z 的柱面，这柱面与曲面s的交线把s分为上、下两部分，设其方程为1212( , ),( , ),( , )( , )zz x yzzx yz x yz x y ，即有设xydyxyxzzyxzzyx),(),(),(),(21，其中),(),(21yxzyxz连续，xyd为在xoy坐标面的投影。（这类区域也称为xy型空间

26、区域）则xydyxzyxzddzzyxfdvzyxf),(),(21),(),(若)()(,),(21xyyxybxayxdxy，则),(),()()(),(),(212121),(),(),(yxzyxzxyxybadyxzyxzdzzyxfdydxddzzyxfdvzyxfxy若)()(,),(21yxxyxdycyxdxy，则),(),()()(),(),(212121),(),(),(yxzyxzyxyxdcdyxzyxzdzzyxfdxdyddzzyxfdvzyxfxy将空间区域投影到其它坐标面，类似于此。先二重积分后单积分设空间区域21,),( ),(czcdyxzyxz， 其中z

27、d 为垂直于 z轴的平面截闭区域所得的平面闭区域（这种区域也称为z-型区域） 。则zdccdxdyzyxfdzdvzyxf),(),(21然后再将区域zd 上的二重积分化为二次积分。(2)柱面坐标系下三重积分的计算。zzyx,s i n,c o s，柱坐标系的体积元为dvdd dz或利用三重积分换元法得体积分元16 / 39 1000cossin0sincos),(),(zzyxj进一步地有：),(),(21),(),sin,cos(),(zzddzzfdddzddzfdvzyxf何时选用柱面坐标 当是由柱形，锥形或旋转体围成且在坐标面上的投影是圆域或其部分，或者被积函数含有式子)(22yx等

28、时，常用柱面坐标计算。(3)球面坐标系下三重积分的计算。直角坐标与球面坐标的关系：cos,sinsin,cossinrzryrx，球面坐标下的体积元：ddrdrdvsin2进一步有ddrdrrwinrrfdxdydzzyxfsin)cos,sin,cossin(),(2何时 选 用 球面 坐标 当是球体 或其 部分 ，或被 积函 数含 有式 子222xyz时，常用球面坐标计算。1.计算积分222222cos().vxyzxyzdxdydz，其中222:1.vxyz解：令sincos ,sinsin,cosxyz02 ,0,01222222cos()vxyzxyz dxdydz211323200

29、000sincos2sincosddddd11002cos2sincosttdtttt2 (sin1cos1 1)17 / 39 2.设(f t）在0 +，上连续，且2222241( )1()(0)2xytf tfxydxdy t证明：24( ).tf te证明：222000( )1()12()22ttf tdfdfd对t求导得：( )22 2ftf tt，即( )8( )fttf t积分得：2ln( )4lnf ttc，所以24( )tf tce由(0)1f知1c，故24( ).tf te2.设d为圆224xy围成的区域，则ddxdy【 c】a0b2c4d67设22( , )2,0,0dx

30、y xyxy，221xy表示不超过221xy的最大整数，计算二重积分221dxyxydxdy解：记221( , )1,0,0dx y xyxy，222( ,) 12,0,0dx yxyxy则12221,( , )12,( , )x ydxyx yd，于是122212dddxyxydxdyxydxdyxydxdy42212330001sincos2sincosdrdrdrdr11384818 / 39 第十章曲线积分一、对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分的概念与性质对弧长曲线积分的性质性质 1llldsyxgdsyxfdsyxgyxf),(),(),(),(性质 2212),(),(),(llll

31、dsyxfdsyxfdsyxf性质 3设lyx),(有),(),(yxgyxf，则lldsyxgdsyxf),(),(特别地lldsyxfdsyxf),(),(对弧长的曲线积分的计算法（1） 参数方程给出平面曲线ttytx),(),(，则dtttttfdsyxfl22)()()(),(),(（2） 直角坐标给出积分弧段21),(xxxxyy，或21),(yyyyxx212)(1)(,(),(xxldxxyxyxfdsyxf或212)(1),(),(yyldyyxyyxfdsyxf（3） 极坐标给出积分弧段),(rrdrrrrfdsyxfl22)()()sin)(,cos)(),(对坐标的曲线积

32、分的计算法(1)设曲线l的参数方程为：)(),(tytx，起点对应的参数值为，终点对应的参数值为dttttqtttpqdypdxl)()(),()()(),(19 / 39 (2)设曲线l由直角坐标给出：),(),(),(2211yxbyxaxyy，则21)()(,()(,(xxldxxyxyxqxyxpqdypdx(3)设曲线l由直角坐标给出：),(),(),(2211yxbyxayxx21),()(),(yyldyyyxqyxyyxpqdypdx(4)可推广到空间直角坐标下的曲线。设:( ),( ),( )xx tyy tzz t，起点的参数值 t，终点的参数值为t，则21( ( ),(

33、), ( )( )( )( )( )( )yypdxqdyrdzp x ty tz tx tq t y tr t z t dt三、二类曲线积分之间的联系曲线弧abl由参数方程)(),(tytx给出，起点a对应的参数为， 终点b对应的参数值为)(，则( , )( , )coscosllp x y dxq x y dypqds。类似地有，( , , )( , , )( , , )coscoscos p x y z dxq x y z dyr x y z dzpqrds记( ,),(,),(cos ,cos,cos )ap q r drdx dy dz，则上式可表为a dradsa ds其中(,)(

34、 ),( ),( )drdx dy dztttdt上面的等式表明第二类曲线积与第一类曲线积分之间可以相互转化。四、格林 (green)公式及其应用格林公式定理 设闭区域d由分段光滑的曲线l围成，函数),(),(yxqyxp在d上具有一阶连续偏导数，则有ldqdypdxdxdyypxq-该式称为格林公式其中l是d的取正向的边界曲线。正向的规定 ：当观察者沿着区域d的边界l行走时，区域d总在他的左边。格林公式表明了 区域d的二重积分与其边界曲线l的曲线积分之间的联系，20 / 39 它用来计算曲线积分是很方便的。在格林公式中 取xqyp,，则有ldydxxdydxdy2区域d的面积为ldydxxd

35、ydxdya21 令xqp,0，则lxdya 令0,qyp，则lydxa注： =+平面上曲线积分与路径无关的条件若qp,在单连通区域g上具有一阶连续偏导数，则下面四个命题等价：（1）任意连接起点与终点两路径21,ll，有21llqdypdxqdypdx（2）0,cqdypdxgc（3）),(yxu，使qdypdxdu（4）xqypgyx,),(对面积的曲面积分的计算法对曲面积分的计算法 ：化曲面积分为二重积分，一代二换三投影。 设),(:yxzz，在xoy面上的投影为xyd，),(yxzz在xyd具有连续的偏导数，被积函数),(zyxf在上连续，则xydyxdxdyyxzyxzyxzyxfds

36、zyxf),(),(1),(,(),(22一代：被积函数中的某个变量用曲面方程代替。二换：ds用面积元公式换。三投影 ：将投影到相应的坐标面上。 设),(:zyxx，在yoz面的投影为yzd，则yzdzydydzxxzyzyxfdszyxf221),),(),( 设),(:zxyy，在 xoz面的投影为xzd，则xzdzxdxdzyyzzxyxfdszyxf221),(,(),( 设曲面方程由参数方程给出),(),(),(:vuzzvuyyvuxx，则21 / 39 uvdvvvuuududvzyxzyxkjivuzvuyvuxfdszyxf),(),(),(),(uvddudvfegvuf2

37、),(其中),(),(),(,222vuzvuyvuxrrrzyxeuuuuu记vvvvvrrzyxg222vuvuvuvurrzzyyxxf对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法归纳起来为：一代二投三定向，曲积化为重积算dxdyzyxr),(xyddxdyyxzyxr),(,(解释 ：设曲面积分的面积元为dxdy一代 ：将曲面的方程),(yxzz代入被积函数；二投 ：将曲面投影到xoy坐标面；三定向 ：上侧为正，下侧为负。其余同理 ，如若曲面积分的面积元为dxdz一代 ：将曲面的方程),(zxyy代入被积函数；二投 ：将曲面投影到 xoz坐标面；三定向 ：右侧为正，左侧为负。两类曲

38、面积分之间的联系dsrqprdxdyqdzdxpdydz)coscoscos()cos,cos,(cos),(),(),(dsdsdsrqpdxdydzdxdydzrqpdsadsnasdan注意其中dsnsdnrqpa),cos,cos,(cos),(,)(cos,cos,cos)dydz dzdx dxdydsdsds，(,1)(,1,)(1 ,)xyxzyzzzdxdyyy dxdzxx dydznna naprj aa nn说明：对坐标的曲面积分必须将曲面分别投影到相应的坐标面， 而对面积的曲面积分，可以投影到你觉得方便的某一个坐标面上（合一投影），这就是两种积分在应用上区别。特别注意

39、曲面的侧。22 / 39 三、 高斯公式通量与散度高斯 (gauss) 公式格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，类似地，容易想到： 空间区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间也有某种关系高斯公式。定理设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数),(zyxp，),(zyxq，),(zyxr在上具有一阶连续偏导数，则有rdxdyqdzdxpdydzdxdydzzryqxpdsqqp)coscoscos(该公式称为 高斯公式其中是的整个边界曲面的外侧，)cos,cos,(cos是在点),(zyx处的法向量的方向余弦。流量或通量 ：rdxdyqdzdxpdyd

40、z(coscoscos )npqqdsv ndsv ds通量密度或散度 ：zryqxpvdiv四、 斯托克斯公式环流量与旋度斯托克斯 (stockes) 公式平面区域上的二重积分与其边界上曲线积分有联系（格林公式）；空间区域上的三重积分与其边曲面上的曲面积分有联系（高斯公式）；那么，曲面积分与其边界上的曲线积分有没有联系呢？这就是今天要讲的斯托克斯公式，即把格林公式从平面推广到空间曲面斯托克斯公式。定理设光滑曲面的边界为光滑曲线，函数rqp,具有一阶连续偏导数，则有dsrqpzyxrqpzyxdxdydzdxdydzrdzqdypdxcoscoscos环流量：pdxqdyrdza dr 叫做a

41、沿有向闭曲线的环流量环量密度：coscoscosdxyzdspqr()cos()cos()cosrqprqpyzzxxy旋度：23 / 39 ()()()ijkrqprqprotaxyzaijkyzzxxypqr为向量场a的旋度。斯托克斯公式可改写为：()()a dradsandsrota ds又因cos .drota nrotads，为旋度arota 与法向量n的夹角。所以环量密度与旋度的关系为：旋度是一向量， 其方向为环量密度最大的方向，其模是环量密度的最大值。1.计算曲线积分233(2 )lix ydxxy dy。其中l是第一象限中沿圆周222xyx从(0,0)到(2,0)。2.计算曲面

42、积分212222(1)()xdydzzdxdyxyz，其中为上半球面224zxy的上侧。解：作辅助平面2214:0 xyz取下侧。12212222(1)1(1)2()xdydzzdxdyxdydzzdxdyxyz112211(1)(1)22xdydzzdxdyxdydzzdxdy2241112(1)22xyzdvdxdy22232200012132cossin2232ddrrdr14 .24 / 39 计算曲线积分dyxyxdxyl)13(2232，其中.222xyxl为正向圆周解：由格林公式0)()(2222ddldxdyyxdxdyyyx.23224138cos820422cos2033d

43、drrddrdrd用极坐标计算曲面积分2222y xdydzx z dzdxx zdxdy.其中是由曲面222zaxy与平面0z所围成的半球体的表面外侧. 解:222222()y xdydzx z dzdxx zdxdyyxdxdydz225222340004sinsinsin.15aarrdrddddr dr5.已知函数( ,)fx y具有二阶连续偏导数，且(1, )0,( ,1)0,( , )dfyf xf x y dxdya，其中( ,) 01,01dx yxy，计算( , )xydxyfx y dxdy。解：因为(1, )0,( ,1)0fyf x，所以(1,)0,( ,1)0yxfy

44、fx从而1111100000( , )( , )( , )( , )xyxyxxdxyfx y dxdyxdx yfx y dxdyx yfx yfx y dy dx11110000( , )( ,)xxxfx y dy dxdy xfx y dx1111100000( ,)( , )( , )xf x yf x y dx dydyf x y dxa6.设p为椭圆面222:1s xyzyz上的动点，若s在点p处的切平面与xoy面垂直，求点p的轨迹c，并计算曲面积分22(3)244xyzidsyzyz，其中是椭圆面s位于曲线c上方的部分解：椭圆面s上点( , , )p x y z处的法向量是2

45、,2,2nxyzzy点p处的切平面与xoy面垂直的充要条件是020n kzy25 / 39 所以点p的轨迹的方程为222201zyxyzyz，即2220314zyxy取223( , )14dx yxy，记的方程为( ,),(, )zz x yx yd，由于222222442211222xyyzyzxyzzzyzyzyz222222(3)2(3)214444xydxyzxyzidszz dxdyyzyzyzyz(3)32 .ddxdxdydxdy26 / 39 第十一章无穷级数一、常数项级数的概念及性质1定义12nuuu1nnu称为常数项无穷级数，其中第n项nu 叫做级数的一般项。令,21212

46、11nnuuusuusus， 则 数 列ns称 为 级 数1nnu的部分和数列，1nnu的前 n项和称为级数1nnu的部分和。定义如果级数1nnu 的部分数列ns有极限 s，即ssnnlim，则称无穷级数1nnu收敛，其极限值 s叫做这个 级数的和 ，即sunn1。如果ns没有极限，称无穷级数1nnu发散。例0nnaq -等比级数，或称为几何级数当1q时收敛，其和为公比第一项1；当1q时发散。2级数的基本性质性质 1：若1nnus，则.11nnukkskunn性质 2：若1nnus、1nnv，则1.nnnuvs性质 3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性不过收时其和一般要改变

47、。性质 4：若级数1nnu收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变注意：收敛级数去括号，则不一定收敛。性质 5(级数收敛的必要条件 )：若级数1nnu收敛，则它的一般项un趋于零，即0limnnu反之不成立；如调和级数11nn是发散的。27 / 39 二、常数项级数的审敛法1正项级数及其审敛法 ：(1)正项级数的概念 ：给定级数1nnu，若0nu，则称1nnu为正项级数 。(2)基本定理 ：正项级数1nnu收敛的充分必要条件是：它的部分和数列 sn有界利用此充要条件，马上得到正项级数的比较审敛法。( 3 )比较审敛法 ：设1nnu和1nnv都是正项级数，若存在自然数 n，当

48、 nn 时，有 unkvn (k 0)成立，则如果1nnv收敛1nnu收敛；如果1nnv发散1nnu发散注：用比较审敛做题， 主要将要讨论的级数适当地放大或缩小，并且放大或缩小后的级数的敛性是知道的。什么是适当 ：放大或缩小后，级数的敛散性不变；究竟是放大呢？还是缩小 ？：首先要猜测级数的敛散性， 若猜所讨论的级数收敛，则放大，放大后仍收敛，由比较审敛敛法知原级数收敛；若猜所讨论的级数发散，则缩小，缩小后仍发散，由比较审敛敛法知原级数发散。三个级数的敛散性是已知的：等比（几何）级数，调和级数，p-级数。几何级数 ：1,11,1nnqqq第一项公比发散调和级数 ：11nn发散p-级数 ：1111

49、pnpnp收敛,发散,( 4 )比 较 审 敛 法的 极 限形 式： 设1nnu和1nnv都 是 正 项 级 数 ，如 果limlvunnn（1）若l0，则级数1nnv与级数1nnu有相同的敛散性；（2）若0l，1nnv收敛，则级数1nnu 收敛（3）若l，1nnv发散，则1nnu发散。28 / 39 ( 5 )比值审敛法 (达朗贝尔判别法 )：设1nnu为正项级数，如果11,lim1,1,nnnuu则原级数收敛则原级数发散则原级数敛散性不确定，( 6 )根值审敛法 (柯西判别法 )：设1nnu为正项级数，则1,lim1,1,nnnu则原级数收敛则原级数发散则原级数敛散性不确定2交错级数及其审

50、敛法 : (1)交错级数的概念 ：形如1)1(nnun或)0()1(11nnuunn，即级数的各项正负交替，这样的级数称为交错级数 。( 2 )莱布尼茨定理 ：如果交错级数11)1(nnun满足条件： unun + 1 (n = 1, 2, 3, )；0l i mnnu则级数收敛，且其和su1，其余项 rn的绝对值 rn un + 1例判别级数111)1(nnn的敛散性。三、绝对收敛与条件收敛：1. 绝对收敛与条件收敛的概念：对于任意项级数1nnu（nu 为实数） ，若1nnu收敛，则称1nnu为绝对收敛 。若1nnu发散，但1nnu 收敛，则称1nnu 为条件收敛 。例如1311)1(nnn

51、为绝对收敛，而111)1(nnn为条件收敛。2. 定理：如果级数1nnu绝对收敛，则级数1nnu必定收敛反之不成立。应注意的几点 ：1比较、比值、根值审敛法，只适用于正项级数，对于一般项级数的收敛性，主要用该定理来判定。21nnu发散，不能断定1nnu发散；但若是用比值法、 根值法判定1nnu发29 / 39 散，则1nnu也发散。 （因为比值法、 根值法判别级数发散，是根据一般项不趋于0 而得的）定理1(阿贝尔 (abel)定理 ) 如果级数0nnxna在00 xx处收敛，则在00(,)xx内绝对收敛反之，如果级数0nnxna当 x = x0时发散，则在00(,)(,)xx内发散定理 1 推

52、广(阿贝尔 (abel)定理) 如果级数0)0(nnxxna在01xxx处收敛，则在10 xxxx内绝对收敛反之，如果级数0)0(nnxxna当1xx 时发散，则在10 xxxx内幂级数发散定理 ：如果1limlimnnnnnnaaa，则这幂级数的收敛半径1,0,0,0,.r利用该定理可求函数的收敛区域。1. 求出，得到收敛半径1r2. 讨论区间端点rx的敛散性，得收敛域。3幂级数的运算：设有两个幂级数),(,0rrxxannn，),(,0rrxxbnnn则这两个幂级数可以进行四则运算：（1）rrlllxxbaxbxannnnnnnnnn,min),(,)(000（2）),(,)()(0011

53、000llxxbababaxbxannnnnnnnnnn（3）000nnnnnnnnnxcxbxa，其中nc 由000)(nnnnnnnnnxaxbxc比较同次幂的系数确定。4幂级数的和函数的性质：性质：幂级数0nnxna的和函数 s(x)在其收敛域 i 上是连续的、可导的、可积的，且30 / 39 00000000000limlimlim)()(lim,nnnxxnnnxxnnnnnnxxxxxaxaxaxaxsxsixixxnaxxaxxaxxsnnnxnxnnnnnx,1ddd)(0100000),()()(1100rxxnaxaxaxsnnnnnnnnn逐项求导、积分后所得到的幂级数和

54、原级数有相同的收敛半径2函数展开成幂级数函数展开为幂级数的方法有两种：直接展开，间接展开。常见的幂级数展式：)1 , 1(,110 xxxnn),(,!0 xnxennx),(,)!12() 1(sin112xnxxnnn),(,)!2() 1(cos02xnxxnnn 1 , 1(,1)1()1ln(01xnxxnnnnmxnnmmmxmmmxx!) 1() 1(!2)1(1)1(2) 1 , 1(x2.求幂级数1( 1)3nnnnxn的收敛半径及收敛域，并求出和函数。4.设0,nnpp单调增，11nnp收敛。证明： （1）12nnnuppp单调减。（2）21nnu收敛。证明（ 1）1121

55、121nnnnnnuupppppp31 / 39 1212112112(1)()()()()nnnnnpppn ppppppppp121121120()()nnnnpppnppppppp12nnnuppp单调减（2）2122222nnnnnnupppnpp而11nnp收敛，由比较判别法，21nnu收敛。3.设幂级数1nnna x在2x处发散，则该幂级数在3x处【 a】a发散b绝对收敛c条件收敛d收敛性不能确定1.设( )f x是以2为周期的函数， 在(,的定义为2,0( ),0 xf xxx， 则( )f x的傅里叶级数在x处收敛于221 判别下列无穷级数的敛散性（1）112( 1)3nnnn

56、（2）5 41lnnnn解（ 1） ：112( 1)2133nnnnnnv，21lim13nnnv由1nnv收敛知原级数收敛。（2）取收敛级数6 511nnvn，由于1 20lnlimlim0nnnnunvn，故原级数收敛。2.已知数列nna收敛，12()nnnn aa也收敛，证明级数1nna收敛。证明：设12()nnnn aa，1nna的部分和分别为,nns32 / 39 则21324312()3()4()()nnnsaaaaaan aa111211(1)()(1)nnnnnaaaaanaa故11(1)nnnnaas，由已知可设lim,limnnnnnabss，则1limnnbas故原级数收

57、敛。3.将函数2( )ln(32)f xxx在0 x处展开为泰勒级数。解：2( )ln(32)ln(3)(1)ln(3)ln(1)f xxxxxxx而101ln(3)ln 3ln(1)ln 3( 1)(),( 3,3)31 3nnnxxxxn10ln(1),( 1,1)1nnxxxn故1210( 1)( )ln(32)ln 3131nnnnxf xxxn，( 1,1)x4.求幂级数1112nnnxn的和函数解：已知幂级数的收敛区间为 2,2)。当0 x时1111111( )( )22nnnnnnf xxxs xnxnx11111( )( )ln 2ln(2)222nnnnnxxs xs xxx

58、x故1( )ln 2ln(2)f xxx当0 x时，由和函数在收敛域内的连续性知011(0)limln 2ln(2)2xfxx故1ln 2ln(2), 2,0)(0,2)( )1 2,0 xxf xxx3.求幂级数11! 13 (1)!nnnnxn的和函数，并求1! 13 (1)!nnnn的和。33 / 39 答案：13323131( ),.(3)343xs xesex34 / 39 第十二章微分方程一阶微分方程的初等解法可分离变量的微分方程：形如( ) ( )dyf x g ydx分离变量1( )( )dyf x dxg y积分1( )( )dyf x dxcg y0)()()()(2211

59、dyynxmdxynxm1221( )( )0( )( )mxnydxdymxny1221( )( )( )( )mxnydxdycmxny将可分离变量的微分方程转化为已分离变量的方程，从而求出方程解的方法称为分离变量法。齐次方程： 形如()dyyfdxx或()dxxgdyy或( , )( , )0m x y dxn x y dy，其中( ,),( , )m x yn x y为同次齐次函数。三种形式可相互转换，但积分时有难易之分。齐次函数 ：若( ,)( , )km tx xyt m x y ，则称( , )m x yk为次齐次函数。齐次方程可以通过变换代换化为变量可分离方程。如方程()dyy

60、fdxx令xyu即令uxy则uxuy/，将它代入方程)(/xyfy中，得：)(/ufuxuuufxu)(/dxxuufdu1)(求解此变量可分离方程，并代回变量即得原方程的解。一阶线性微分方程 ：( )( )yp x yq x称为一阶非齐次线性微分方程( )0yp x y称为 一阶齐次线性微分方程 ， 也称为非齐次方程所对应的齐次方程。利对应齐次方程的通解，将通解中的常数变易成待定函数来求非齐线性方程的通解或特解的方法， 称为常数变易法 。 此种方法对高阶线性非齐次方程也适用。利用常数变易法可得非齐次方程的通为：非齐方程的通解：)()()(cdxexqeydxxpdxxp35 / 39 若把上