数理方程与特殊函数杨ppt30

1、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1email: 数理方程与特殊函数数理方程与特殊函数任课教师：杨春任课教师：杨春数学科学学院数学科学学院 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2数学物理方程总复习数学物理方程总复习本次课主要内容本次课主要内容一、偏微分方程理论与分离变量法一、偏微分方程理论与分离变量法二、二、 行波法与积分变换法行波法与积分变换法三、三、 格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式 0.8 1 0.6 0.

2、4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 31、定解问题的建立定解问题的建立2、方程的化简方程的化简4、函数函数(一一)、偏微分方程理论偏微分方程理论一、偏微分方程理论与分离变量法一、偏微分方程理论与分离变量法3、二阶线性偏微分方程理论二阶线性偏微分方程理论 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 41、定解问题的建立、定解问题的建立 写出定解问题，需要建立偏微分方程、写出定解问题，需要建立偏微分方程、写出边界条件写出边界条件(包括衔接条件，自然条件）包括衔接条件，自然条件）和初始条件

3、。和初始条件。 建立偏微分方程的主要方法是微元法建立偏微分方程的主要方法是微元法(1).明确物理过程与研究对象明确物理过程与研究对象(待研究物理量待研究物理量);(2).进行微元分析；进行微元分析； 分析微元和相邻部分的相互作用，根据分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。物理定律用算式表达这种作用。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 5如何写出三类边界条件？如何写出三类边界条件？(1)、明确环境影响通过的所有边界；、明确环境影响通过的所有边界；(2)、分析边界所处的物理状况；、分析边界所处的物理状

4、况；(3)、利用物理规律写出表达边界状况的表、利用物理规律写出表达边界状况的表达式。达式。(3).化简、整理算式。化简、整理算式。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 6例例1 一根半径为一根半径为r,密度为密度为，比热为，比热为c c，热传导系数，热传导系数为为k k的匀质杆。如果同截面上的温度相同，其侧面与的匀质杆。如果同截面上的温度相同，其侧面与温度为温度为u u1 1的介质发生热交换，且热交换系数为的介质发生热交换，且热交换系数为k k1 1. .求求杆上温度满足的方程杆上温度满足的方程解解：物理量为杆上温度物理量

5、为杆上温度u(x,t),取微元取微元x,x+dxx+dxxx在在dt时间里，微元段获得的热量为：时间里，微元段获得的热量为：(, )( , )xxk uxdx t sux t s dt 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 7该热量一部分该热量一部分q1用于微元段升温，另一部分用于微元段升温，另一部分q2从侧面流出从侧面流出1tqc sdxu dt211()2qk uurdxdt所以，微元段满足的方程为：所以，微元段满足的方程为：(, )( , )xxk uxdx t sux t s dt11()2tc sdxu dtk u

6、urdxdt112()xxtkkuuuucc r所以，方程为：所以，方程为： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 8(1)、写出特征方程：(2)、计算211122220dydyaaadxdx2121122aa a (3)、作变换(a)、0 12(,)(,)xyxy2、方程的化简、方程的化简 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 9(b)、0 12(,)(,)xyxy12( , )( , )x yx y ic 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t

7、 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 10(c)、0 (,)()xyxy或( , )x yc 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 11(4)、求出变换方程：1 11 21 11 22 12 22 12 2taaaaqqaaaa12,blc blc cc ff其中：xyxyq 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 12二阶线性方程分类：2121122aa a 0 (1) 双曲型 0 抛物型0 椭圆型 (2) (3) 说明：分类也指点

8、的邻域内的分类！ 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 13例例2 化下面方程为标准型4520 xxxyyyxyuuuuu2dyidx解：解：212112210aa a 方程属于椭圆型方程属于椭圆型2yxx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 14 2110 xyxyq所以1 11 21 11 22 12 22 12 2taaaaqqaaaa211221102510 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5

9、0 0.5 1 n 15100110blc21,0blccf0uuu可得 标准型： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 163、二阶线性偏微分方程理论二阶线性偏微分方程理论(1). 线性算子线性算子 t为算子，若为算子，若t(c1u1+c2u2)=c1tu1+c2tu2，称称t为线性算子为线性算子(2). 二阶线性偏微分算子二阶线性偏微分算子 cybxbyayxaxal21222221222112 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 17于是 二阶线性

10、偏微分方程fcuububuauauayxyyxyxx212212112可以简记为：flu 齐次形式为：0lu 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 18原理原理1：(1)iilufin 11nniiiiiilcuc f意义：欲求叠加原理叠加原理luf的解，如果1niiifc f且求出(1)ilufin 的解为：(1)iuin 则1niiic u为方程luf的解 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 19(1,2,)iiluf i11iiiiiilcuc f

11、说明：原理说明：原理2是原理是原理1的有条件推广。条件的有条件推广。条件是算子是算子l与和号能交换次序。与和号能交换次序。叠加原理叠加原理原理原理2： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 20其中，其中，m表示自变量组，表示自变量组，m0为参数组为参数组 .0,mmflu 设设u(m,m0)满足线性方程满足线性方程(线性定解条件线性定解条件)叠加原理叠加原理原理原理3：且积分且积分00(),vu mu mmdm收敛，收敛，并满足并满足l中出现的偏导数与积分号交换次中出现的偏导数与积分号交换次序所需要的条件，那么序所需要的条

12、件，那么u(m)满足方程满足方程(或或定解条件）定解条件） 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2100(),vlu mfmmdm叠加原理叠加原理说明：原理说明：原理3可以理解为：若可以理解为：若0,mmflu 那么：那么：00(),vlu mfmmdm00(),vu mu mmdm 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 22叠加原理叠加原理定理：非齐次线性方程的一般解等于对应定理：非齐次线性方程的一般解等于对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次方程的齐次

13、线性微分方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。的一个特解之和。例例3 求泊松方程求泊松方程 ：的一般解的一般解。2221212uxy解解:(1)先求出方程的一个特解先求出方程的一个特解u1由方程的形式可令由方程的形式可令u1=ax4+by4,代入方程可得：代入方程可得：441uxy 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 23(2)、求对应齐次方程通解、求对应齐次方程通解xiy 对应齐次方程为：对应齐次方程为：20u作变换：作变换：则齐次方程化为：则齐次方程化为：0uu再作变换：再作变换：ab 0.8 1 0.6 0.4 0.

14、2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 24方程化为：方程化为：u f x iyg x iy0abu齐次方程通解为：齐次方程通解为：原方程通解为：原方程通解为：44()u f x iyg x iyxy 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 25齐次化原理齐次化原理1齐次化原理齐次化原理232, (,)0,ttlmrttfmt 0, 0)0,( ,00322tttuutrmmtflutu.0,;tuw t md如果如果(, ; )w m t满足方程：满足方程：那么非齐次柯西问题那么非齐次柯西

15、问题的解为：的解为： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 26齐次化原理齐次化原理20)0,( ,03tutrmmtflutu,3mftrmltt.0,;tuw t md如果如果(, ; )w m t满足方程：满足方程：那么非齐次柯西问题那么非齐次柯西问题的解为：的解为： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 27例例4、若、若v(x,t,)是定解问题是定解问题2000,0,0.txxxxlthua uucuuu.0( , ), ;tu x tv x t

16、d是定解问题是定解问题的解，则：的解，则：22000 ,0 ,0 .tx xxxlthiruauuccuuu的解的解 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 282.0( , , )ttuvi rdv x tttc证明：首先，证明：首先，00tu其次，因其次，因v(x,t,)是齐次定解问题的解，因是齐次定解问题的解，因此，不难证明此，不难证明00,0,xx luu2220()ttxxxxhvhi rua uua vv dctcc2irc 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0

17、 0.5 1 n 29解的适定性解的适定性 满足解的存在性、唯一性和稳定性的解称满足解的存在性、唯一性和稳定性的解称为解的适定性。为解的适定性。 解的稳定性是指若定解条件有微小变化，解的稳定性是指若定解条件有微小变化，其解也只有微小变化其解也只有微小变化 只有解满足稳定性，其解才有意义，因定只有解满足稳定性，其解才有意义，因定解条件常为实验数据，有测量误差。解条件常为实验数据，有测量误差。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 30 (1)、 定义定义 函数是指满足下面两个条件的函数函数是指满足下面两个条件的函数 4、 函数

18、函数0000 ,(1 ) .(),xxxxxx 0001 ,(,)( 2 ) .()0 ,(,)baxabxxd xxab 几点说明：几点说明： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 31 (a) 、 几何意义几何意义曲线峰无限高，无限窄！但曲线下面积为曲线峰无限高，无限窄！但曲线下面积为1。 (b)、物理意义、物理意义x0 x(x-x(x-x0 0) ) 定义中条件定义中条件(1)反映物理量集中在反映物理量集中在x0处，该处，该处称为点源；条件处称为点源；条件(2)反映物理量有限。反映物理量有限。 0.8 1 0.6 0.

19、4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 32 例例5 5、两端固定的长为、两端固定的长为l l的弦，密度为的弦，密度为，初，初始时刻在始时刻在x x0 0处受到冲量处受到冲量i i的作用。求初速度和的作用。求初速度和定解问题。定解问题。解解:(1)x0u(x,t)xl0000,0,t txxuxx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 33(2) 由动量定理由动量定理f f tt= = mv得：得：0ltiu dx所以有：所以有：0000(),0,ttixxxxuxx定解问题为：定

20、解问题为：20000000,0(),0,0,ttxxxx ltttua uuuixxxxuuxx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 34 (2)、 性质性质(a)(a)筛选性质：对任意连续函数筛选性质：对任意连续函数(x),(x),有：有：00() ( )()xxx dxx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 35所以，所以，0 xx证明：由于证明：由于(b)(b)函数是偶函数函数是偶函数, ,即：即：()( )xx有有0()0 xx00() ( )

21、()xxx dxx证明：由于对任意连续函数证明：由于对任意连续函数(x),(x),有有() ( )(0)( ) ( )xx dxxx dx所以，所以，()( )xx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 36函数的导数函数的导数定义：设定义：设定义的算符定义的算符(n)(n)称为称为(x)(x)的的n n阶导数。阶导数。1( )f xc由由( )( )( ) ( )( 1)(0)nnnx f x dxf 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 37 例例6、

22、求证：、求证：01()4mmr 其中其中证明：当证明：当m m不等于不等于m m0 0时，直接计算可得：时，直接计算可得：03,m mr222000()()()rxxyyzz104 r 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 38 另一方面：另一方面：11()144ksdvdsrrr 01()4mmr 所以：所以： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 39(1)、分离变量、分离变量(2)、求解固有值问题、求解固有值问题(3)、求解其它常微分方程对应于固有值

23、的解、求解其它常微分方程对应于固有值的解1、分离变量法求定解的步骤、分离变量法求定解的步骤(4)、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。(二二)、分离变量方法、分离变量方法 2、常涉及的几种固有值问题、常涉及的几种固有值问题 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 400(1),(0)0,( )0xxxx l222(1,2,3)nnnl( )sin,(1,2,)nnn xxxbnl0(2),(0)0,( )0xxxx l222(0,1,2,3)nnnl( )cos,(0,1,2,)nnn

24、 xxxbnl 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 410(3),(0)0,( )0xxxx l2221()2(0,1, 2, 3)nnnl12( )sin,(1,2,)nnnxxbx nl0(4),(0)0,( )0xxxx l2221()2(0,1, 2,3)nnnl12( )cos,(0,1,2,)nnnxxbx nl 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 420(5),(2 )( ) 2(0,1,2,3 )nnn( )cossin,(0,1,2,

25、)nnnanbnn 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 433、固有函数值方法、固有函数值方法1211112222( , ),(0,)( ,)( ,)0(2)( ,)( ,)0(0, )0,(0, )0txxxtlwlwf x ttxxxaw t xw t xaw t xw t xwxwx定解问题一般形式：定解问题一般形式：求解步骤：求解步骤： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 44(1)、求下面齐次定解问题对应的固有值问题、求下面齐次定解问题对应的

26、固有值问题12111122220,(0,)( ,)( ,)0( ,)( ,)0txxxlwlwtxxxw t xw t xw t xw t x固有函数为：固有函数为：xn(x)(2)、令一般解为：、令一般解为：( , )( )( )nnw x tt t xx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 45(3)、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函数系展开后通过比较系数得到数系展开后通过比较系数得到tn(t)的微分方程；的微分方程；(4)、由原定解问题初值条件得出、由原定解问题初值条件得

27、出t n(t)的初值条件；的初值条件；(5)、由常数变易法求出、由常数变易法求出t n(t) 。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 46齐次化原理齐次化原理14、齐次化原理求解、齐次化原理求解232, (,)0,ttlmrttfmt 0, 0)0,( ,00322tttuutrmmtflutu.0,;tuw t md如果如果(, ; )w m t满足方程：满足方程：那么非齐次柯西问题那么非齐次柯西问题的解为：的解为： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1

28、n 47齐次化原理齐次化原理20)0,( ,03tutrmmtflutu,3mftrmltt.0,;tuw t md如果如果(, ; )w m t满足方程：满足方程：那么非齐次柯西问题那么非齐次柯西问题的解为：的解为： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 485、边界条件齐次化方法、边界条件齐次化方法(1)、一般方法、一般方法采用未知函数代换法：采用未知函数代换法：),(),(),(txwtxvtxu选择适当的选择适当的w(x,t)，使关于，使关于v(x,t)定解问题边界条件是定解问题边界条件是齐次的。齐次的。(2)、特殊

29、情形下齐次化方法、特殊情形下齐次化方法如果方程自由项和边界条件表达式均与如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关，则可以无关，则可以令：令：( , )( , )( )u x tv x tw x 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 49可以把关于可以把关于v(x,t)的定解问题直接化为齐次方程和齐次的定解问题直接化为齐次方程和齐次边界条件。边界条件。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 502222200022sincos,(0,0)3,643(1),s

30、inxx lttuuaxxxl ttxlluuxuuxltl解解：令 )(),(),(xwtxvtxu将其代入定解问题中得：将其代入定解问题中得：例例6 求如下定解问题求如下定解问题 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 512022( )sincos03,6xx la wxxxllww2224( )sin3 132lxw xxall22222000,(0,0)043(1)( ),xx lttvvaxl ttxvvxvvw xxltl可将其分解为：可将其分解为：22000022( )sincos,(0,0)3,64( )3(

31、1),sinttxxxxx lx ltttva va wxxxxl tllvwvwxvw xvxll于是得：于是得： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 521( , )cossinsinnnnn an anv x tctdtxlll由分离变量得一般解为：由分离变量得一般解为：由初值条件得：由初值条件得：由傅立叶级数展开得：由傅立叶级数展开得：13(1)( )sinnnxnwxcxll14sincosnnnanaxdxlll 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5

32、 1 n 5322202sinsin32lnlnncxxdxlall2220,4,432nlna024sinsinlnndxxdxn all0,4,44nlna 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 54所以，定解问题的解为：所以，定解问题的解为：22 2444( , )cossinsin324lalaxv x tttalall 原定解问题的解为：原定解问题的解为：222222444( , )cossinsin3244sin3 132lalaxu x tttalalllxxall 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x

33、t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 55注：圆域、扇形域等圆弧形边界围城的区域上的定解注：圆域、扇形域等圆弧形边界围城的区域上的定解问题分离变量求解，要在极坐标下进行。求解时要注问题分离变量求解，要在极坐标下进行。求解时要注意自然条件的使用。意自然条件的使用。例例7 在扇形域在扇形域0,00,00的状态完的状态完全由以该点为心，全由以该点为心，at为半径的球面上的初始扰动决定；为半径的球面上的初始扰动决定；2) 当初始扰动限制在空间某局部范围内时，扰动有清晰当初始扰动限制在空间某局部范围内时，扰动有清晰的的“前锋前锋”与与“阵尾阵尾”，即惠更斯原理成立。，即惠更斯原

34、理成立。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 72答：答：(a)公式公式为：为：(5)二维齐次波动方程柯西问题的泊松公式是什么？公式的物理意义是什么？(b) 物理意义：物理意义：1)空间任意一点空间任意一点m在任意时刻在任意时刻t0的状态完的状态完全由以该点为心，全由以该点为心，at为半径的圆盘域上的初始扰动决定；为半径的圆盘域上的初始扰动决定；2)局部初始扰动对二维空间上任意一点的扰动有持续后效，局部初始扰动对二维空间上任意一点的扰动有持续后效，波的传播有清晰的前锋而无后锋，惠更斯原理不成立。波的传播有清晰的前锋而无后锋

35、，惠更斯原理不成立。22 22001(cos ,sin)( , , )2atxryru x y trdrdata tr 22 22001(cos ,sin)2atxryrrdrdaa tr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 732、典型题型、典型题型(1)利用行波法求解利用行波法求解例例1、求下面柯西问题的解：、求下面柯西问题的解：0,303202022222yyyuxuyuyxuxu解：特征方程解：特征方程为：为：03222dxdxdydy21,3cyxcyx特征线方程为：特征线方程为： 0.8 1 0.6 0.4 0

36、.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 74yxyx3令令：变换原方程化成标准型：变换原方程化成标准型： 02u2212( )( )(3)()ufffxyfxy通解为通解为 : 代入条件代入条件得：得：0)()3(3)()3(21221xfxfxxfxf 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 75cxxfcxxf222143)(41)(22223)(43)3(41),(yxyxyxyxu例例2、求波动方程的古沙问题、求波动方程的古沙问题200(,0)(1)( )(2)( ),( (0)(

37、0)0)(3)ttxxx attx atua uatxat tuxux 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 7612( , )()()u x tf xatfxat解：方程通解为：解：方程通解为：由由(2)得：得：12(0)(2 )( )(4)ffxx又由又由(3)得：得：12(2 )(0)( )(5)fxfx由由(4)与与(5)得：得：1221( )( )(0)2( )( )(0)2xf xfxfxf 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 7712( ,

38、 )()()(0)(0)22xatxatu x tff所以：所以：又由又由(4)得：得：12(0)(0)(0)ff所以：所以：( , )()()(0)22xatxatu x t(2)半无界问题的求解半无界问题的求解采用延拓或行波方法求解采用延拓或行波方法求解 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 78例例3、半无限长杆的端点受到纵向力、半无限长杆的端点受到纵向力f(t)=asint的作用，的作用，求解杆的振动。求解杆的振动。解：定解问题为：解：定解问题为：fun|x=0.ys0 x2000(0,0)(1)( ),( )(3)

39、sin(3)ttxxtttxxua uxtuxuxautys 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 79解：方法解：方法1：延拓法：延拓法首先，当首先，当xat时，端点的影响没有传到，所以有：时，端点的影响没有传到，所以有： atxatxdaatxatxtxu.2121),(其次，当其次，当xat时，端点的影响已经传到，所以定解问题必时，端点的影响已经传到，所以定解问题必须考虑边界影响。将定解问题作延拓：须考虑边界影响。将定解问题作延拓：1( ),0( )( ),0 xxxxx1( ),0( )( ),0 xxxxx延拓后的

40、定解问题的解为：延拓后的定解问题的解为： .11( , )22x atx atu x txatxatda 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 80欲使延拓后的解限制在欲使延拓后的解限制在x0上时为原定解问题的解，只需上时为原定解问题的解，只需让延拓解满足边界条件，即：让延拓解满足边界条件，即：为此：令为此：令0111222xxuatatatataa sinatys0atat 只要：只要：1( )()xx又令又令11sin22aatattaays 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1

41、 0.5 0 0.5 1 n 81得到：得到：所以有：所以有：111sin22aatattaays 12()sinaaxxxysa所以当所以当x00时：时：(2) 求像函数求像函数(3) 求原像函数求原像函数1( , ) ( , )u x yfuy( )0a当当00时：时：( )0b像函数为像函数为：( , )( )yutfe 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1071( , ) ( , )u x yfuy1( )yffe由卷积定理由卷积定理 ：1( )yg xfe这里：这里：11( )( )*( )yffefff xg

42、 x( )*( )f xg x221yxy 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 108于是得定解为：于是得定解为： 221( , )( )*yu x tf xxy .22.1()yfdxy 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 109例例14、求解如下定解问题：、求解如下定解问题：2000,(0,0)0,0,0ttxxxxtttua ugxtuuuu 0 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5

43、1 n 11022220/0,0 xxxd uas ug sdxuu解解:(1)作针对于时间变量的作针对于时间变量的laplace变换变换 (2)、求像函数：、求像函数：31(1)sxauges 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 111211321 t 2sxaxgtaluglexsgxatxaa (3)、求原像函数：、求原像函数：例例15、求解如下定解问题、求解如下定解问题(习题习题5.4第第5题题)：000,(0,0)0( ) xxttttttxuaubucuxtuuut 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x

44、t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 11222220()()2xd ubasbsc uasudxau()2ba sxaue 解解:(1)作针对于时间变量的作针对于时间变量的laplace变换变换 (2)、求像函数：、求像函数： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 113()112122() t0 tba sxabxa sxabxaluleeleeta xa xa x (3)、求原像函数：、求原像函数： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0

45、.5 1 n 114三、格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式三、格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式(一一)、green函数函数问题问题(二二)、贝塞尔函数问题、贝塞尔函数问题 (三三)、勒让得多项式问题、勒让得多项式问题 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 115(一一)、green函数函数问题问题1、三个格林公式、三个格林公式第一格林公式：设第一格林公式：设u (x, y, z) ,v (x, y, z)在在ssv上有一阶连上有一阶连续偏导数，它们在续偏导数，它们在v中有二阶偏导，则：中有二阶偏导，则：svvu v dsu

46、vdvu vdv 第二格林公式：设第二格林公式：设u (x, y, z) ,v (x, y, z)在在ssv上有一阶连续上有一阶连续偏导数，它们在偏导数，它们在v中有二阶偏导，则：中有二阶偏导，则：svu vv udsu vv u dv 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 116设设m0，m是是v中的点，中的点，v(m)=1/rmm0, u(x,y,z)满足第一格满足第一格林公式条件，则有：林公式条件，则有：000011111()44mmmmmmsvuu mudsudvrnnrr第三格林公式：第三格林公式：m0msvxyz

47、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 117例例1、写出稳态场方程洛平问题的解。、写出稳态场方程洛平问题的解。要求要求:(1)掌握三个公式的推导；掌握三个公式的推导；(2)稳态场方程洛平问题的解。稳态场方程洛平问题的解。解解:(1)泊松方程洛平问题为：泊松方程洛平问题为：(,), (,)(,), (,), (xxyyzzsssuuuufxyzxyzvuxyzuxyzn 连 续 ）连 续 ）011111()( )( )( )44svu mmmdsf m dvrn rr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.

48、5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 118拉普拉斯方程洛平问题为：拉普拉斯方程洛平问题为：0 , (,)(,) , (,) , (x xy yz zsssuuuuxyzvuxyzuxyzn 连续）连续）0111()()()4su mmmdsrnr 例例2、求拉普拉斯方程洛平问题的解、求拉普拉斯方程洛平问题的解0 , (,)1 ,0ssuxyzvuun 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 119解：由第三格林公式：解：由第三格林公式：0011()4mmsu mdsn r ( , , ),( , , )( ,

49、, ),0ssux y zx y zvuux y zn 例例3、求拉普拉斯方程洛平问题的解、求拉普拉斯方程洛平问题的解解：由第三格林公式：解：由第三格林公式：0001111()( , , )44mmmmsvu mdsx y z dvn rr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1202、调和函数、调和函数要求要求:(1)掌握概念和性质的证明；掌握概念和性质的证明；(2 ) 性质的应用性质的应用(极值原理极值原理)(),()suf mmvum例例4、求证泊松方程狄氏问题的解是唯一的、稳定的。、求证泊松方程狄氏问题的解是唯一的

50、、稳定的。证明：泊松方程狄氏问题为：证明：泊松方程狄氏问题为：(a ) 解的唯一性证明：解的唯一性证明：设定解问题有两个解设定解问题有两个解u1与与u2,则：则： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 121令令:u=u1-u2,则：则：11(),()suf mmvum22(),()suf mmvum0,0sumvu由极值原理有：由极值原理有： ，即，即0u 12uu(b ) 解的稳定性证明：解的稳定性证明：设在设在s上给定了函数上给定了函数 使得：使得： 且：且： ,* 11(),()suf mmvum22(),*()su

51、f mmvum* 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 122令令:u=u1-u2,则：则：0,*sumvu由极值原理有：由极值原理有： 即证明了稳定性。即证明了稳定性。u3、泊松方程狄氏问题格林函数、泊松方程狄氏问题格林函数要求要求:(1)掌握掌握狄氏问题格林函数狄氏问题格林函数概念和性质概念和性质(2)泊松方程、拉氏方程狄氏问题解的积分表达式泊松方程、拉氏方程狄氏问题解的积分表达式(3) 特殊区域上狄氏问题格林函数和对应的解的积分表达式特殊区域上狄氏问题格林函数和对应的解的积分表达式例例5、什么是泊松方程狄氏问题格林函数

52、？物理意义是什、什么是泊松方程狄氏问题格林函数？物理意义是什么？么？ 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 123答答: (1)泊松方程狄氏问题格林函数定义为：泊松方程狄氏问题格林函数定义为：(a) 若若g(m,m0)满足：满足：0000(,)(),(,)0ssg m mmmm mvg m m 则称则称g(m,m0)为定义在为定义在vs上的三维狄氏格林函数。上的三维狄氏格林函数。(b) 若若g(m,m0)满足：满足：0000(,)(),(,)0slg m mmmm mdg m m 则称则称g(m,m0)为定义在为定义在ds上

53、的平面狄氏格林函数。上的平面狄氏格林函数。(2) 物理意义是物理意义是: 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 124(a) 物理意义：首先，对于方程物理意义：首先，对于方程g(m,mg(m,m0 0 )=-(m-m )=-(m-m0 0) )来来说，其物理意义是：空间中说，其物理意义是：空间中m m0 0点处有一电量为点处有一电量为(真空中真空中的介电常数）的正点电荷，在的介电常数）的正点电荷，在m m处产生的电势为处产生的电势为g(m,mg(m,m0 0),),其大小为其大小为g(m,mg(m,m0 0)=1/4r)=1

54、/4r； 其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电壳内电壳内m0处有正点电荷处有正点电荷和它在边界面上产生的感应电和它在边界面上产生的感应电荷在壳内荷在壳内m处产生的电势的叠加为处产生的电势的叠加为g(m,m0),其大小为其大小为g(m,m0)= 1/4r +v (x, y, z)。（b) 物理意义：首先，对于方程物理意义：首先，对于方程g(m,mg(m,m0 0 )=-(m-m )=-(m-m0 0) )来来说，其物理意义是：平面中说，其物理意义是：平面中m m0 0点处有一电量为点处有一电量为(真空中真空中的介电常数）的正点电荷，在的介电常

55、数）的正点电荷，在m m处产生的电势为处产生的电势为g(m,mg(m,m0 0),),其大小为其大小为g(m,mg(m,m0 0)=1/2lnr)=1/2lnr； 其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电圈内电圈内m0处有正点电荷处有正点电荷和它在边界上产生的感应电荷和它在边界上产生的感应电荷在圈内在圈内m处产生的电势的叠加为处产生的电势的叠加为g(m,m0),其大小为其大小为g(m,m0)= 1/4lnr +v(x,y)。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 125例例6

56、、三维泊松方程狄氏格林函数的性质是什么？、三维泊松方程狄氏格林函数的性质是什么？答：三维泊松方程狄氏格林函数的性质主要有：答：三维泊松方程狄氏格林函数的性质主要有：(1) 狄氏格林函数在除去狄氏格林函数在除去m=m0点外处处满足拉氏方程。点外处处满足拉氏方程。当当mm0时，时，g(m,m0)趋于无穷大，其阶数和趋于无穷大，其阶数和1/rmm0相相同。同。(2) 在边界上格林函数恒等于零。在边界上格林函数恒等于零。(3) 在区域在区域v内，有：内，有：0010(,)4m mg mmr(4) green函数具有对称性函数具有对称性(物理上称为互易性物理上称为互易性 )，即，即 );();(1221

57、mmgmmg 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 126例例7、三维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？、三维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？答：答：000(,)()(,)svg m mu mudsg m mfdvn例例8、二维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？、二维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？0()(,)ldgumd sg fxy dn 答：答：例例9、教材重点介绍了几种特殊区域上狄氏问题格林函数？、教材重点介绍了几种特殊区域上狄氏问题格林函数？采用什么方法求？采用什么方法求？ 0.8 1 0.6

58、0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 127答答: (1)球域、半空间；圆域、半平面、第一象限。球域、半空间；圆域、半平面、第一象限。平面上的求法类似。平面上的求法类似。求三维空间中区域求三维空间中区域vs上狄氏格林函数上狄氏格林函数,可考虑一接地导可考虑一接地导体壳体壳s，在，在vs内内m0处放置电量为处放置电量为0的正点电荷，由格的正点电荷，由格林函数物理意义：林函数物理意义：g(m,m0)等于等于v内电荷内电荷0与感应电荷与感应电荷在在m处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求：处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求：在在v外找一个外找

59、一个m0关于关于s的像点，在该点放置一负电荷，的像点，在该点放置一负电荷，使它与使它与0在在s上产生的电势叠加为零，则它们在上产生的电势叠加为零，则它们在m处的处的电势叠加等于电势叠加等于g(m,m0).(2) 采用镜像法采用镜像法例例10、回忆球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的、回忆球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的格林函数表达式格林函数表达式 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 128答答: (1)球域球域00011111(,)44rg m mrrrrr20100rrrrr(2)上半空间上半空间010111

60、(,)4m mm mg mmrr2222220000001114()()()xxyyzzxxyyzz 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 129(3) 上半平面狄氏问题的上半平面狄氏问题的green函数函数 0101111(,)22mmmmg m mlnlnrr(4) 圆域上狄氏问题的圆域上狄氏问题的green函数函数 100011(,)lnln22mmm mrrg mmrr(5) 第一象限上狄氏问题的第一象限上狄氏问题的green函数函数 0123011111111(,)lnlnlnln2222mmmmmmmmg m m