第二代小波提升步骤

1、第二代小波提升步骤小波分析2009-10-12 15:14:31阅读663评论5字号：大中小订阅1 提升原理小波提升是一种构造紧支集双正交小波的新方法。1) 步骤由提升构成第二代小波变换的过程分为如下3个步骤：(1)分裂分裂(Split)是将原始信号习= sj, k 分为两个互不相交的子集和。每个子集的长度是原子 集的一半。通常是将一个数列分为偶数序列ej-1和奇数序列oj-1,即Split (sj) = (ej-l,oj-l )其中,ej-1 = ej-1, k = sj, 2 k, oj-1 = oj-1, k = sj, 2 k+1。预测预测(Predict)是利用偶数序列和奇数序列之间

2、的相关性，由其中一个序列(一般是偶序列 ej-1)来预测另一个序列(一般是奇序列oj-l)o实际值oj-1与预测值P (ej-1)的差值dj-1反 映了两者之间的逼近程度，称之为细节系数或小波系数，对应于原信号习的高频部分。一 般来说，数据的相关性越强，则小波系数的幅值就越小。如果预测是合理的，则差值数据集 dj-1所包含的信息比原始子集oj-1包含的信息要少得多。预测过程如下：dj-1 = oj-1 -P (ej-1)其中，预测算子P可用预测函数Pk来表示，函数Pk可取为ej-1中的对应数据本身：Pk (ej-1, k) = ej-1, k = sj, 2 k或ej-1中的对应数据的相邻数据

3、的平均值：Pk (ej-1) = (ej-1. k + ej-1, k+1) / 2 = (sj, 2 k + sj, 2 k +1)/ 2或其他更复杂的函数。(3)更新经过分裂步骤产生子集的某些整体特征(如均值)可能与原始数据并不一致，为了保持原始 数据的这些整体特征，需要一个更新(Update)过程。将更新过程用算子U来代替，其过程如 下：sj-1 = ej-1 + U (d j-1)其中，sj-1为sj的低频部分：与预测函数一样，更新算子也可以取不同函数，如Uk(dj-l) = dj-l,k/2或U k (dj-1) = (dj-1, k-1 + dj-1, k) / 4 + 1 / 2

4、。P与U取不同的函数，可构造出不同的小波变换。2) 分解与重构经过小波提升，可将信号sj分解为低频部分sj-1和高频部分dj-1；对于低频数据子集sj-1可 以再进行相同的分裂、预测和更新，把习-1进一步分解成dj-2和习-2；-；如此下去，经 过n次分解后，原始数据sj的小波表示为sj-n, dj-n, dj-n+1,，dj-1。其中sj-n代表了信 号的低频部分，而dj,dj+l,dj则是信号的从低到高的高频部分系列。每次分解对应于上面的三个提升步骤一一分裂、预测和更新：Split(sj) = (ej-1, oj-1 ), dj-1 = oj-1 -P (ej-1), sj-1 = ej-

5、1 + U (dj-1)小波提升是一个完全可逆的过程，其反变换的步骤如下：ej-1 = sj-1 - U (dj-1 ), oj-1 = dj-1 + P (ej-1), sj = Merge (ej-1, oj-1 )卜图是用提升方法进行小波分解和重构的示意图。佩坎序列s偶敌那列3分解的三个步骤可以用替代的方式来计算：先将奇数序列更新(用偶数序列预测奇数序列), 然后用更新的奇数序列更新偶数序列。大致过程如下：Split (sj) = (ej-l,oj-l ), oj-1 -=P(ej-l), ej-1+= U (oj-1)其反变换过程也可以用替代的方式来计算：ej-1 -= U (oj-1

6、), oj-1 += P (ej-1 ), sj = Merge (ej-1, oj-1)4)例子(1)线性Ha如小波变换取预测函数Pk (ej-l) = ej-l,k=sj,2k更新函数Uk(dj-l) = dj-l,k/2则得到线性Haar小波变换。分解式如下：Split (sj) = (ej-l,oj-l )d j-1, k = oj-1, k - Pk (ej-1) = oj-1, k - ej-1, k = sj, 2k+1 - sj, 2ksj-1, k = ej-1, k + Uk (d j-1) = sj、2k + dj-i, k/ 2 = (sj、2k+l + sj, 2k)

7、/ 2重构式如下：ej-1, k = sj-1, k - Uk (d j-1) = sj-1, k - djl, k/ 2oj-1, k = d j-1, k + Pk (ej-1) = d jJ, k + ej-1, ksj = Merge (ej-l,oj-l) (2)线性小波变换取预测函数Pk (ej-1) = (ej-1, k + ej-1, k+1) / 2 = (sj，2k + sj, 2k +2)/ 2更新函数Uk (d j-1) = (dj-1, k-1 + dj-1, k) /4则得到线性小波变换。分解式如下：Split (sj) = (ej-l,oj-l )d j-1, k

8、 = oj-1, k - Pk (ej-1) = oj-1, k - (ej-l? k + ej-1, k+1) / 2 = sj, 2k+l - (sj, 2k + sj, 2k +2)/2sj-1,k = ej-1,k + Uk(dj-1) = sj, 2k + (dj-1,k-1 + dj-1,k)/4重构式如下：ej-1, k = sj-1, k -Uk(dj-1) = sj-1, k - (dj-1,k-1 + dj-1, k) /4oj-1, k = d j-1, k + Pk (ej-1) = d jJ, k + (ej-1, k + ej-1, k+1) / 2sj = Mer

9、ge (ej-l,oj-l)实际上，提升算法是一种改善快速小波变换的方法。单步的提升算法并不能用于所有的小波 构造过程，事实上只有一些特殊的小波变换很容易用它构造，比如双正交小波。不过，涉及 有限滤波器(FIR)的所有小波或子带变换可用多个提升步骤来构造。Daubeclues和Sweldens 等已经证明，借助于因子化小波变换，所有小波的构造都能够用提升模式实现。1整数小波变换可以用提升方法来构造具紧支集的双正交小波，那么就可以通过对每一次滤波后的数据进行 取整(用表示)来实现整数小波变换，而且这种变换是完全可逆的，也就是完全重构数 据。Sweldens已经证明在提升的基础上可以进行整数集到整

10、数集的小波变换，也就是说，一个整 数集合通过小波变换得到的仍然是整数集合。这就给数字图象的压缩编码带来了好处，由于 不需要对变换后的系数进行量化，因此提供了实现无损压缩的可能。下面试几个典型的整数小波变换的例子：1)S变换最简单的整数小波变换是S变换(S transform, S = sequential),它是线性Haar小波变换的近似 整数形式。分解式如下：dj-1, k = sj, 2k+1 - sj, 2ksj-1, k = sj, 2k + dj-1, k/2相当于对原更新函数取整。重构式如下：sj,2k = sj-l,k-dj-l,k/2sj, 2k+1 = d j-1, k +

11、sj, 2k 2 ) S+P变换S变换之后，在低通系数sj-l,k的基础上进行线性预测，以产生新的高通系数dj-l,k ,这 就是 S+P 变换族(S+P family of tiaiisform, S+P = sequential plus prediction)0 分解式如 I、： sj-1, k = sj, 2k + vk / 2d j-1, k = vk + tk + 1/2其中vk = sj, 2k +1 _ sj, 2ktk = a -1 (sj-1, k -2 - sj-1, k-1) + a 0 (sj-1, k -1 - sj-1, k) + a 1 (sj-1, k - s

12、j-1, k+l) + 3 -1 vk+1 例如，取参数如下表所示。变换a -1a 0a 13-1S00002/601/41/40B01/43/81/4C-1/161/41/23/8其中(1) S变换：sj-1, k = sj, 2k + vk /2 = sj, 2k + (sj, 2k+1 - sj, 2k)/ 2 d j-1, k = vk = sj, 2k +1 - sj, 2k 其分解与重构式同上l)o(2) 2/6 变换：分解：sjrk H sj“ 2k + vk、2H sj2k +(Sj9 2k +11 sj" 2k)、2 d jrk H vk +(sj.r'7 sj.rk )、4 + (sjrk I sjrk +1) / 4+1*2 H (SL 2k+l I Sr 2 片)+(sj?7 sjrk +1)、4 + la 君“vkH $ 2k+1 sj2k sj-lk-H sj2k + vk 一 2 dlk H vk +(s.r-k 1 丨 slk+l)、4 + =2m酋“:r、>r -r卜" *卜 rJlUTk I LEIr P 丄di-r? 0 4 T 卜Sy 2k 丄(2 sj.rk I d j?k + uk 二 22Sy 2k+1 H sjv 2k