《理学习题课》ppt课件

1、第第 2 章章 行列式行列式习习 题题 课课一、主要内容一、主要内容二、典型例题二、典型例题三、练习题三、练习题一、主要内容一、主要内容定义定义 定义定义n阶矩阵阶矩阵A的行列的行列式式nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211det ;)det(det111111aaAn 时时，当当）（1111121211111122det,( 1),11nnjjjjnAa Aa Aa AAMMAjn （ ） 当当时时，其其中中为为划划去去 的的第第 行行第第 列列后后所所得得的的阶阶行行列列式式，11jjAa称称为为的的代代数数余余子子式式。|,detAA记记号号1 1、n n阶行列式的定义

2、阶行列式的定义性质性质1 1 行列式按任一行展开，其值相等，即行列式按任一行展开，其值相等，即1122det,( 1),1iiiiininijijijijijijAa Aa Aa AAMMAijnAa 其其中中为为划划去去 的的第第 行行第第 列列后后所所得得的的阶阶行行列列式式，称称为为的的代代数数余余子子式式。2、n阶行列式的性质阶行列式的性质 性质2 n阶行列式某两行对应元全相等，那么行列式为零. 即当 aik = ajk ， ij, k=1, n时，det A = 0. 推论 假设行列式的某一行全为零，那么行列式等于零.性质性质3 nnnnininiiiinaaacbcbcbaaa21

3、221111211 nnnniniinaaabbbaaa212111211 nnnniniinaaacccaaa212111211 性质4行列式的初等变换假设把行初等变换施(1) 将将A的某一行乘以数的某一行乘以数k得到得到A1，那么，那么 detA1 = k(detA)； (2) 将将A的某一行的的某一行的k(0)倍加到另一行得到倍加到另一行得到A2 ,那么那么 detA2 = detA；(3) 交换交换A的两行得到的两行得到A3, 那么那么 detA3 = - detA.于于n阶矩阵阶矩阵A上：上： 推论推论 假设行列式某两行对应元假设行列式某两行对应元成比例，那么行列式的值成比例，那么行

4、列式的值为零为零.性质性质5 5 设设A A为为n n阶矩阵，那阶矩阵，那么么).)(det(det)det(BAAB .det)det(AA T T方阵乘积的行列式方阵乘积的行列式定理定理1 1 方阵方阵A A可逆的充要条件为可逆的充要条件为det A0.det A0.定理定理2 2 设设A, BA, B为为n n阶方阵，那阶方阵，那么么 推论推论1 设设Ai (i=1, , t)为为n阶矩阵，那么阶矩阵，那么).(det)det)det(121ttAAAAA（ 推论推论2 设设A, B为为n阶矩阵，阶矩阵，且且AB=I (或或BA=I), 那么那么B=A -1. 行列式性质小结：行列式性质

5、小结： 二、三类初等变换二、三类初等变换 ：1.1.换行反号换行反号 , , 2.2.倍乘倍乘 , , 3.3.倍加倍加 . . 三、三种为零三、三种为零 ： 1. 1.有一行全为零有一行全为零 , , 3.3.有两行成比例有两行成比例 . . 2. 2.有两行一样有两行一样 , ,四、四、 一种分解一种分解 . .五、五、.DD T T一、按行展开一、按行展开 ：ininiiiiAaAaAaD 22113 3、克莱姆法那么、克莱姆法那么., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,2122112222212111212111所所得得到到的的行行列列式式，换换成成常常数数项项列列中中第第）是

6、是把把系系数数行行列列式式（其其中中那那么么它它有有惟惟一一解解的的系系数数行行列列式式如如果果线线性性方方程程组组njjjnnnnnnnnnnbbbjDnjDnjDDxDbxaxaxabxaxaxabxaxaxa 克莱姆法那么的实际价值克莱姆法那么的实际价值., 0., 22112222212111212111惟惟一一那那么么它它一一定定有有解解，且且解解的的系系数数行行列列式式如如果果线线性性方方程程组组 Dbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn. 必必为为零零解解，则则它它的的系系数数行行列列式式解解或或有有两两个个不不同同的的如如果果上上述述线线性性方方程程组组

7、无无定理定理定理定理., 0. 0, 0, 0 221122221211212111那么它没有非零解那么它没有非零解的系数行列式的系数行列式如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn. 它它的的系系数数行行列列式式必必为为零零组组有有非非零零解解，则则如如果果上上述述齐齐次次线线性性方方程程定理定理定理定理逆矩阵的一个简明表达式逆矩阵的一个简明表达式引理引理1 设设A=(aij)n,n，那么，那么 jijiAAaAajninji,det011引理引理2 2 设设A A为为n n阶矩阵，阶矩阵，那么那么,)(det*IAAAAA 定理定理 1

8、方阵方阵A可逆的充要条件为可逆的充要条件为|A|0。当。当A可可逆时逆时,那那么么.det1*1AAA njnljljlAaAaAa2211 ），（当，（当）（当（当jljlD0 ,4 4、矩阵的秩、矩阵的秩矩阵矩阵A中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数r，称为，称为A的秩的秩定义定义秩，记为秩，记为R(A) = r. 矩阵的秩的另矩阵的秩的另一种了解：一种了解：010.ArDrDArA 设设在在矩矩阵阵中中有有一一个个不不等等于于的的阶阶子子式式，且且所所有有阶阶子子式式（如如果果存存在在的的话话）全全等等于于 ，那那么么称称为为矩矩阵阵 的的最最高高阶阶非非零零子子式式，数数称称为为矩

9、矩阵阵的的秩秩求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法将矩阵作初等行变换，将矩阵作初等行变换，把矩阵化为阶梯形矩阵，把矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵的非阶梯形矩阵的非0 0行的行数即为矩阵的秩行的行数即为矩阵的秩根本结论与性质根本结论与性质.),(,)(.0004kARkkAR);,min()(nmARnmA05.阶矩阵，则阶矩阵，则为为设设);()(ARARAT T，对任意矩阵对任意矩阵6.)(nARAn可逆可逆阶矩阵阶矩阵7.1. R(A)=0 A=O；2. R(A) r A有一个有一个r 阶子式不为零；阶子式不为零； 3. R(A) r A的一切的一切r +1阶子式全为零。阶子式全为零。 (满秩矩阵

10、满秩矩阵可逆矩阵可逆矩阵 降秩矩阵降秩矩阵不可逆矩阵不可逆矩阵)定理定理1 1 初等变换不改动矩阵的秩。初等变换不改动矩阵的秩。推论推论 对恣意矩阵对恣意矩阵A, R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)，其中其中P, Q分别为可逆矩阵分别为可逆矩阵.)(,标标准准形形即即任任何何矩矩阵阵都都等等价价于于其其的的标标准准形形称称为为其其中中使使得得都都存存在在可可逆逆矩矩阵阵对对任任意意矩矩阵阵AOOOIrARQOOOIPAQPArnmrnnmmnm 定理定理2 2有关矩阵秩的定理有关矩阵秩的定理推论推论 同型矩阵同型矩阵A与与B等价的充要条件是等价的充要条件是R(A)=R(B).( (

11、一一) )计算证明行列式计算证明行列式( (二二) )克莱姆法那么克莱姆法那么二、典型例题( (三三) )矩阵秩矩阵秩1利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例例 计算计算.333222111222nnnDnnnn ( (一一) )计算证明行列式计算证明行列式解解1212121333122211111! nnnnnnn )1()13)(12( !nn )2()24)(23(n)1( nn!.1 !2)!2()!1( ! nnnnnnnnnnD222333222111 2用降阶法计算用降阶法计算例例 计算计算.4abcdbadccdabdcbaD 解解abcdbadccdabdcbaD1111

12、)(4 abcdbadccdabdcbaD1111)(4 dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcba 0001)(dadbdccbcacdbcbdbadcba )(dadbdccbcacdbcbdbadcba )(dadbdccbcacddcbadcba 011)(dacbdccbdacddcbadcba 001)()()()(22cbdadcbadcba )()(dcbadcbadcbadcba dacbcbdadcbadcba )(dacbdccbdacddcbadcba 001)(3用数学归纳法用数学归纳法例例 证明证明.coscos21000100000cos210001cos

13、210001cos nDn 证证 cos1 D,cos cos211cos2 D,2cos .,2, 1结结论论成成立立时时 nn cos2100001cos2100001cos2100001cos2100001cos2100001cos6 D455565)1(cos2DD 45cos2DD ,的的行行列列式式结结论论成成立立假假设设对对阶阶数数小小于于 n21111)1(cos2 nnnnnnnDDD .coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn .的的行行列列式式也也成成立立下下证证对对于于阶阶数数等等于于 n得得按按最最后后一一行行展展开开现现将

14、将,nD21cos2 nnDD ,由由归归纳纳假假设设 )2cos()1cos(cos2 nn.结结论论成成立立所所以以对对一一切切自自然然数数 n,)1cos(1 nDn,)2cos(2 nDn.cos221DDDnnn )2cos()2cos(cos nnn,cos n 例例 4321,6063324208421221bA设设 .)(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵阵bABA 解解),(bAB 分析：分析：A).()(),(BRARbAB及及中中可可同同时时看看出出故故从从 设对设对B只作行变换，化成了阶梯形矩阵只作行变换，化成了阶梯形矩阵那么对那么对A作同样的行变换，就化成了阶梯形矩作同样

15、的行变换，就化成了阶梯形矩阵阵 46063332422084211221)(bAB 13600512000240011221131222rrrr 143rr 4321,6063324208421221bA 10000500000120011221 00000100000120011221. 3)(, 2)( BRAR2322rrr 243rr 1360051200024001122153 r34rr . 0)(,)(, AfAEfdcbaA并并验验证证多多项项式式的的写写成成试试将将设设 解解AEf )( )(Af例例dcba bcda )( 00Ebcadda )(2EbcadAdaA)()

16、(2 1001)()(bcaddcbadadcbadcba,0000 . 0)( Af即即EbcadAdaAAf)()()(2 dbccdacbdabbca22 bcadbcad00 dcbaA 22dadcdacbdabada并并且且阶阶单单位位阵阵是是是是非非奇奇异异的的阶阶方方阵阵都都是是设设,nEAnDCBA例例.,11 EOBAEZDCBAYEACOEX;)1(XYZ求求乘乘积积.:)2(1BACDADCBA 证证明明解解1根据分块矩阵的乘法，得根据分块矩阵的乘法，得 EOBAEDCBAEACOEXYZ11 EOBAEBACDOBA11.1 BACDOOA2由由1可得可得BACDOO

17、AXYZ1 ,ZYXXYZ , 1 ZX而而.1BACDADCBAY .,11 EOBAEZDCBAYEACOEX.1 BACDOOAXYZ,1BACDA . 0)det(, ABnmmnBnmA试试证证明明且且矩矩阵阵为为矩矩阵阵为为设设)()(ArABr mn . 0)det( AB证明证明例例,矩矩阵阵为为mmAB 例计算例计算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 解解列列都都加加到到第第一一列列，得得将将第第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 提取第一列的公因子

18、，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的将将第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，将将第第倍倍加加到到第第列列的的将将第第)(1,3)(12)(11aaan . )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(例证明例证明. 02sin)sin()sin()sin(2sin)sin()sin()sin(2sin 证证. 0000sinsinsincoscoscos0cossin0cossin0cossin 左左边边例计

19、算例计算.21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆拆成成两两个个行行列列式式之之和和列列把把依依第第DnnaaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 .000121xaaaxaaaaxaaaaxann .1121DxaxxxDnnnn 从而从而得得列展开列展开第第右端的第二个行列式按右端的第二个行列式按列列加到第加到第倍分别倍分别列的列的将第将第右端的第一个行列式右端的第一个行列式,1, 2 , 1)1(, nnn ,0000000001121DxaaxaxaxDnnnn 由此递推，得由此递推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn 于是于是如此继续下去，可得如此继续下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121 )(21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn ).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn 时时，还还可可改改写写成成当当021