高中数学必修五知识点和习题

1、1 / 38 目录编写说明 .0 第一章解三角形 .1 1.1 正弦定理和余弦定理.1 1.2 应用举例 .8 第二章数列 .12 2.1 数列的概念与简单表示方法.12 2.2 等差数列 .15 2.3 等差数列的前n 项和 .17 2.4 等比数列 .19 2.5 等比数列的前n 项和 .22 第三章不等式 .26 3.1 不等关系与不等式.26 3.2 一元二次不等式及其解法.28 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.31 3.4 基本不等式.34 0 / 38 编写说明本书是高中数学必修课程5 个模块中的一个，包括解三角形、数列与不等式三章内容。“解三角形”的主要内容是介

2、绍三角形的正、余弦定理，及其简单应用，旨在通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题以及能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。“数列”的主要内容是数列的概念与表示，等差数列与等比数列的通项公式与前 n 项和。数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。要求学生在探索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。“不等式”一章通过大量现实世界和日常生活中的具体实例引入不等关系，帮助学生理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值，进而

3、引导学生结合一些实际问题探索求解一元二次不等式的基本方法，用二元一次不等式组表示平面区域，以及解决一些简单的二元线性规划问题的方法，最后引导学生讨论了基本不等式及其简单应用。1 / 38 第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理正弦定理 ：在c中 ，a、b、c分 别 为 角、c的 对 边 ，r为c的 外 接 圆 的 半 径 ， 则 有2sinsinsinabcrc正弦定理的变形公式：2sinar，2sinbr，2sincrc；sin2ar，sin2br，sin2ccr；:sin:sin:sina b cc；sinsinsinsinsinsinabcabccc正弦定理的应用范围：已知两角和任一边

4、，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。【典型例题】1、在 abc中，角 a、b、c的对边分别为a、b、c,1,33baa，求 c。2、在 abc中， “a = b”是“ sin a = sin b”的 ( ) a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 即不充分又不必要条件【练习】1、,32,45,6,0aacabc中求 b、c、b. 2、在abc中,已知3a, 2b, b=450.求 a、c和 c. 3、已知abc中，3:2:1sin:sin:sincba，求cba:。4、在abc中,已知下列条件解三角形；（1）30,2,2aba；（ 2）45,2, 2

5、aba；（3）10,45,60aba（4）30,4, 3aba（5）120,5,2aba（6）30,6, 3aba5、在abc中，3a，2b，45b. 求角a，c和边c. 6、已知在abc中 ,10c,45a，030c，求a，b和b。7、在abc中，60a，34a,24b，求角b。8、在abc中，已知210ab，45a，3320bc，求角c。2 / 38 9、在abc中, 若bbaacossin，求角 b。 10 、在abc中, 若, 1,150,31tan0bcca求 ab 。11、在abc中，若5b，4b,2tan a，求asin和a。12、在 abc中，若3 a = 2b sin a，求

6、角 b。13、在abc中 ,已知内角3a, 边32bc。设内角xb，周长为y.（1）求函数xfy的解析式和定义域；（2） 求y的最大值。余弦定理在c中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababc余弦定理的变形公式：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abccab余弦定理的应用范围：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。【典型例题】1、 在abc中，已知2 3a，62c，060b，求 b 及 a。2、如图，在abc中，2ac，1bc，43cosc（1）求ab的值；（2）求ca2si

7、n的值 . 【练习】1、在abc中，若222abcbc，则角 a=_。2、 abc中， a 3，b7，c2，则角 b=_。3、在 abc中，若1413cos, 8,7cba，则最大角的余弦值为_。4、已知在abc中，03,3 3,30bcb，则角a=_、角c=_、a=_。5、已知在abc中，03,2 3,30bca，则角b=_、角c=_、边a=_。6、4,3,60abco,则c. 7、2,4,3abc,则 b= . 3 / 38 8、在abc中,已知222abbcc,则a=_. 9、在abc中,60ao,边长,b c是方程2327320 xx的两实根 ,则边bc=_. 10、在abc中，:2

8、:6 : ( 31)a b c，则 a=_， b=_， c=_。11、已知在abc中，3,13,4abbcac，则ac边上的高为 _ 12、已知abc、 、是abc的三边，060b，那么222aaccb的值 _ a. 大于 0 b. 小于 0 c. 等于 0 d. 不确定13、在abc中，若c为钝角，下列结论成立的是_ a. 222abcb. 222abcc. 222abcd. cos0c14、在abc中，222abc，且3sin2c，则c_ 15、在abc中，已知0260 ,bbac，则角a=_ 16、在abc中,角,a b c的对边分别为, ,a b c,若2bac,且2ca,则cosb=

9、_. 17、在abc中，4,3bc,bc边上的中线长372, 则a= ，a= . 18、在abc中,3,13,4abbcac,则ac边上的高为 _. 19、在abc中,角,a b c的对边分别为, ,a b c,若2bac,且2ca,则cosb=_ 20、在abc中，若137,8,cos14abc，则最大角的余弦值是_ 21、已知三角形的三边长分别是2323322mmmmm，且0m，这个三角形的最大角为_。22、 在abc中，60a，且最大边长和最小边长是方程xx27110的两个根， 第三边的长 _。23、在abc中，已知cbasin2tan，给出以下四个论断：1tantanba2sinsin

10、0ba1cossin22bacba222sincoscos其中正确的是_ 24、在abc中，角cba,的对边分别为abc、 、。若222()tan3acbbac，则角 b 的值为 _ 25、abc的内角cba,的对边分别为abc、 、。若abc、 、成等差数列，且ac2。则bcos= 4 / 38 26、在abc中，若4:2:3sin:sin:sincba，则ccos的值为 _ 27、在abc中，已知3sin,sincos0,3 5,55aaaab，求c。解三角形的进一步讨论利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系， 从而确定三角形的形

11、状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，a，则a为锐角a为钝角或直角图形关系式absin aabsin absin aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解三角形面积公式：abcsbacscabssin21;sin21;sin21【典型例题】1、在abc中，已知, ,a b a，讨论三角形解的情况。分析：先由sinsinbaba可进一步求出b；则0180()ca

12、b，从而sinacca1当 a 为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。2当 a 为锐角时，如果ab，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（ 1）若sinaba，则有两解； （2）若sinaba，则只有一解； （3）若sinaba，则无解。评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当a为锐角且sinba ab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。2、根据所给条件,判断abc的形状 . 1）在abc中，已知7a，5b，3c。2）;coscosbbaa3）ccbbaacoscoscos3、在abc中，若120ao，5ab，7bc，求abc的面积。5

13、 / 38 4、在 abc中，证明：2222112cos2cosbabbaa5、设abc的内角cba,所对的边长分别为abc、 、，且54cosb，2b。（ 1） 当30a时，求a的值； (2) 当abc的面积为3时，求ca的值6、在abc中，已知2,3 bcab。（）若63cosb，求csin的值； （）求角c的取值范围【练习】1、在abc中，已知80a，100b，045a，试判断此三角形的解的情况。2、在abc中，若1a，12c，040c，则符合题意的b 的值有 _个。3、在abc中，axcm，2bcm，045b，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。4、在abc中，已知sin

14、:sin:sin1:2:3abc，判断abc的类型。5、在abc中，060a，1a，2bc，判断abc的形状。6、abc中，2222cosbabca，判断该三角形的形状。7、abc中, acbcasinsinlgsinlg2sinsinlg，判断该三角形的形状。8、在abc中，若sin asin bcosacosb，判断abc的形状。9、在abc中，若060 ,2bbac，判断abc的形状。10、在abc中，已知baccabsincos，判断该三角形的形状。11、在abc中，已知()()3abc abcab，且2cossinsinabc，试确定abc的形状。12、abc中，如果2lgsinlg

15、lglgbca，并且b为锐角，试判断此三角形的形状。13、abc中，2cos22abcc（abc、 、分别为角cba,所对的边），判断此三角形的形状。14、根据所给条件，判断abc的形状 . （）bbaacoscos；（）ccbbaacoscoscos15、在abc中，abc、 、分别为内角abc、 、的对边，且2 sin(2)sin(2)sinaabcbcbc（）求a的大小；（）若sinsin1bc，试判断abc的形状 . 16、在 abc中，3ab,1ac, a30，求 abc面积。6 / 38 17、在abc中，060a，1b，面积为32，求sinsinsinabcabc的值18、在ab

16、c中，若55a，16b，且此三角形的面积220 3s，求角 c 19、在abc中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积2224abcs，求角 c 20、已知在abc中，b=30 ,b=6,c=63, 求 a 及abc的面积21、在oab中，o 为坐标原点，2,0(),1 ,(sin),cos, 1(ba，则当oab的面积达最大值时，a6b4c3d222、已知cba,为abc的三个内角，其所对的边分别为abc、 、，且0cos2cos22aa。(1) 求角a的值；(2) 若4,32cba，求abc的面积23、abc内接于半径为r的圆，且bbacarsin2sinsin222，求abc的面积的最

17、大值。24、 三角形的某两边长分别为cmcm 5,3, 其夹角的余弦值是方程06752xx的根，求此三角形的面积。在abc中，求证：（1）;sinsinsin222222cbacba（ 2）)coscoscos(2222cabbcaabccba. 25、已知在abc中，3,13,4abbcac，则ac边上的高为（）a.322 b. 332 c. 32 d. 3 326、在abc中，已知a比b长 2，b比c长 2，且最大角的正弦值为32，则abc的面积等于 （）a. 1534b. 154c. 2134d. 353427、在abc中，已知030a，且3312ab，则c的值为( ) a. 4 b.

18、8 c. 4或 8 d. 无解28、在abc中，060 ,2aab，且abc的面积23abcs，则bc边的长为（）a. 3b. 3 c. 7d. 7 7 / 38 29、在abc中,若abasin23, 则b = ( )a o30 b o60c o60或o120 d o30或o15030、abc中，sinsinsinsinsin222abbcc，则a等于（）a. 135b. 120c. 45d. 6031、在abc中，角cba,所对的边分别为abc、 、。若( 3)coscosbcaac，则cosa= _32、已知在abc中，22sin:sin2 :1,2abcbbc，则三个内角cba,的度数

19、依次是_ 33、在abc中，已知() :(): ()4:5: 6bccaab，给出下列结论： 由已知条件，这个三角形被唯一确定； abc一定是钝角三角形；sin:sin:sin7:5:3abc； 若8bc，则abc的面积是15 32。其中正确结论的序号是_34、abc中，已知2220bbcc，且76,cos8aa，则abc的面积等于 _。35、在锐角abc中，1bc，ab2,则aaccos的值等于，ac的取值范围是36、如图，在abc中，已知045b，d是bc边上的一点，abdcacad则,3,7,5_ 37、在abc中，内角cba,所对边的边分别为abc、 、。已知2,3cc。（1）若abc

20、的面积等于3，求,a b；（2）若sin2sinba，求abc的面积。38、在abc中，内角cba,对边的边长分别是abc、 、，已知3, 2 cc. (1) 若abc的面积等于3，求ba,；(2) 若aabc2sin2sinsin，求abc的面积39、abc的内角abc、 、的对边分别为abc、 、.己知sincsin2 sinsin,aacacbb () 求b； （）若75 ,2,.aba co求 ,40、在abc中，cba,的对边分别是cba,，已知cbbcaacoscoscos3，求acos的值。a b d c 8 / 38 41、在abc中，cba,为角cba,所对的三边，已知22(

21、)abcbc，求角a42、在abc中，abc、 、分别是角abc、 、的对边，且cabcb2coscos. (1) 求角b的大小；(2) 若13b，4ca，求abc的面积43、在abc中，内角a,cb,的对边分别是cba,，设s为abc的面积，满足22243cbas（ 1）求角 c的大小；（2）求basinsin的最大值。44、已知yxnxxm,cos,1 ,sin32cos2，满足0nm。 （1）将y表示为x的函数xf，并求xf的最小正周期。 （2）已知abc内角a,cb,的对边分别是cba,，若32af，且2a，求cb的取值范围1.2 应用举例解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，

22、正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角(1) 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角( 如图 (1) (2) 方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点的方位角为( 如图 (2) (3) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45，西偏东60等(4) 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数距离测量问题9 / 38 【典型例题】1、如图，设

23、a、b两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在a 的同侧，在所在的河岸边选定一点 c，测出 ac的距离是55m，bac=51，acb=75。求 a、b两点的距离 (精确到 0.1m) 【练习】1、两灯塔a、b与海洋观察站c的距离都等于a km,灯塔 a 在观察站 c 的北偏东30，灯塔 b 在观察站c南偏东 60 ，则 a、b之间的距离为多少？2、 如 图所示，为 了测量河对 岸ba,两点 间的 距离，在这 岸定一 基线cd， 现已 测出acd和60acd，30bcd，105bdc，60adc，试求ab的长3、 如图，dcba,都在同一个与水平面垂直的平面内db,为两岛上的两座灯塔的塔顶

24、，测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为75，30，于水面c处测得b点和d点的仰角均为60，kmac1 .0. 试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离相等，然后求b，d的距离高度测量问题【典型例题】1、ab 是底部 b 不可到达的一个建筑物，a 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度ab 的方法。分析：求 ab长的关键是先求ae，在ace中，如能求出c点到建筑物顶部a 的距离 ca，再测出由c点观察 a 的仰角，就可以计算出ae的长。10 / 38 【练习】1、如图，在山顶铁塔上b处测得地面上一点a 的俯角=5404，在塔底 c 处测得 a 处的俯角=501。已知铁塔bc部分的高为27

25、.3 m,求出山高 cd(精确到 1 m) 2、 如图 ,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 a 处时测得公路南侧远处一山顶d 在东偏南 15的方向上 ,行驶 5km 后到达 b处,测得此山顶在东偏南25 的方向上 ,仰角为 8,求此山的高度cd. 3、 如图， 山脚下有一小塔ab，在塔底b测得山顶c的仰角为60，在山顶c测得塔顶a的俯角为45，已知塔高mab20，求山高cd. 4、 如图所示，测量河对岸的塔高ab时，可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d，现测得bcd，bdc，scd，并在点c测得塔顶a的仰角为，求塔高ab. 11 / 38 角度测量问题【典型例题】如图，一艘海轮

26、从a 出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile 后到达海岛b,然后从 b 出发 ,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile 后达到海岛c.如果下次航行直接从a 出发到达c,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile) 【练习】1、在某点 b处测得建筑物ae的顶端 a 的仰角为，沿 be方向前进30m，至点 c 处测得顶端a的仰角为2，再继续前进103m 至 d 点，测得顶端a 的仰角为4，求的大小和建筑物ae的高。2、某巡逻艇在a 处发现北偏东45相距 9 海里的 c处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10 海里 /小时的速度

27、向我海岸行驶，巡逻艇立即以14 海里 /小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？3、 在某海岸a处，发现北偏东30方向，距离a处）（13n mile 的b处有一艘走私船在a处北偏西15的方向，距离a处6n mile 的c处的缉私船奉命以35n mile/h的速度追截走私船. 此时，走私船正以 5 n mile/h的速度从b处按照北偏东30方向逃窜， 问缉私船至少经过多长时间可以追上走私船，并指出缉私船航行方向. 注： 在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际

28、问题的解。a c b 301512 / 38 第二章数列2.1 数列的概念与简单表示方法数列的概念与简单表示方法定义：按一定次序排列的一列数叫数列 ，其中数列中的每一个数都是函数值，将数列中的每个数称为数列的项，和它在数列中的次序对应起来，称为第1 项，第 2 项，第n 项，。数列的一般形式：,321naaaa，简记为na数列的分类：（1）按项数来分：有穷数列： 项数有限的数列；无穷数列： 项数无限的数列叫。（2）按项的大小来分：递增数列 ：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列 ：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列 ：各项相等的数列摆动数列 ：从第 2 项起，有

29、些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列数列na的第 n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 。【典型例题】1、已知数列na满足31nnaa，则这个数列是（）a 递增数列b 递减数列c 摆动数列d 不确定2、数列，924,715-58 ,1-的一个通项公式是（）a 12)1(2nnnannb 12)3()1(nnnannc 121)1() 1(2nnannd 12)2()1(nnnann3、数列，11,22,5 ,2的一个通项公式是_【练习】1、下列数列是递增、递减、摆动还是常数列？（1）,1,31,21, 1n（2）;2,2,2 , 1632

30、（3）, 1, 1 , 1, 1（4）,6 ,6 ,613 / 38 2、已知数列na满足：21, 011nnaaa，则数列na是（）a. 递增数列b. 递减数列c.摆动数列d.不确定3、已知数列na满足：31nnaa，则数列na是（）a. 递增数列b. 递减数列c.摆动数列d.不确定4、数列,1,51,41,31n中，第 10 项是 _ 5、已知数列，433221 ,0，其中 0.9 是它的第 _项。6、1,1,2,3,5.，这个数列的第八项是_ 7、观察下列的图形中小正方形的个数，则第7个图中有 _个小正方形。8、上述关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（）a21nannb1

31、2nn nac12nn nad22nn na9、设数列2，5，2 2，11，则2 5是这个数列的（）a第6项b第7项c第8项d第9项10、数列7，77，777，7777，77777，的通项公式为_11、已知数列2nn，那么（）a0是数列中的一项b21是数列中的一项c702是数列中的一项d以上答案都不对12、若2nnan，则na与1na的大小关系是（）a1nnaab1nnaac1nnaa d不能确定13、根据下列数列的前几项写出数列的一个通项公式(1) ；，225,8 ,292,2114 / 38 （2）；，9 ,7-5 ,3-1（3）；，3 ,5 ,3 ,5 , 3,5（4）；，9999,99

32、9,99914、写出下列数列的一个通项公式：（1）;,54,43,32,21（2）;,4,3,2 , 1（3）;,7,5,3 , 1（4）;,7777,777,77,715、一给定函数)(xfy的图象在下列图中，并且对任意)1 ,0(1a，由关系式)(1nnafa得到的数列na满足)(1nnaann，则该函数的图象可能是( ) 16、已知数列na中的首项naann21211，则此数列的第三项是_ 17、已知数列na满足)(133, 011nnaaaannn，则20a_ 18、练习：已知数列na满足：nnaaaannnn,0, 121434,2009a_;2014a_ 19、设)(1313121

33、1nnnan，则nnaa1_ a231nb. 13131nnc. 231131nnd. 23113131nnn20、已知数列na满足)2()1(11naaannnn，且, 11a则35aa的值是 _21、数列na中，,32, 121aa且)2,(21111nnnaaannn，则6a_. 15 / 38 22、已知数列na的第 1项是 1，第 2项是 2，以后各项由)2(21naaannn给出，（1）写出这个数列的前5项； （2）利用上面的数列na，通过公式nnnaab1构造一个新的数列nb的前 5项。2.2 等差数列等差数列 ：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数

34、，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）等差中项 :如果，这三个数成等差数列，那么2ba我们把2ba叫做和的等差中项等差数列的通项公式：dnaan)1(1【变式：nadmnam)(】性质：若na是等差数列，且mnpq（m、n、p、*q） ，则mnpqaaaa【典型例题】1、已知数列1，4，7，10， 3n+7,其中后一项比前一项大3. （1）指出这个数列的通项公式；（2）指出 1+4+（3n5）是该数列的前几项之和.2、将一个等差数列的通项公式输入计算器数列nu中，设数列的第s 项和第t 项分别为su和tu，计算tsuuts的值，你能发现什么结论？并证明你的

35、结论【练 习】1、 （1）求等差数列3，7，11，的第4 项与第 10 项 . （2）求等差数列10，8，6，的第20 项. （3）100 是不是等差数列2，9， 16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. （4） 20 是不是等差数列0， 321， 7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 2、在等差数列 na中， （1）已知4a=10,7a=19,求1a与 d; （2）已知3a=9, 9a=3,求12a. 3、在等差数列na中，已知105a，3112a，求1a,d,naa ,204、 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10 级，各级的宽度成等差数列，计

36、算中间各级的宽度5、 已知数列 na的通项公式qpnan，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？6、已知为等差数列，则等于a. -1 b. 1 c. 3 d.7 16 / 38 7、已知na为等差数列，且7a24a 1, 3a0,则公差 da.2 b.12c.12d.2 8、等差数列na中，12981aaal且2310171aaal，则公差d= 9、各项不为零的等差数列na中，02211273aaa，则7a的值为（）a0b4 c04或d210、已知等差数列na中，12497,1,16aaaa则的值是（）a15 b30 c31 d 64 11、等差数列na

37、中，51130aa，47a，则12a的值为a15 b23 c25 d37 12、设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380a a a，则111213aaa（）a 120 b 105 c 90 d 7513、若一个等差数列前3 项和为 34,后 3 项和为 146,且所有项的和为390,求这个数列项数. 14、在等差数列 an中 ,mananm,，则nma，的值为（）a nmb )(21nmc)(21nmd 0 15、已知在等差数列na中，0,455aas，求47: aa16、在等差数列na中，若113,aa是方程016102xx的两根，则7a_ 17、若ba，两个等差数列bx

38、xa,21与byyya,321的公差分别为21,dd，则21dd_ 18、等差数列na的前 10项的和,10010s前 100项的和10100s,求前 110项的和.110s19、 莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，请解答书中的一道题目，把100 个面包分给5 个人，使每个人所得成等差数列，且是较多的三分之和的71是较少的两份之和，求最少一份的量。20、 已知数列na的前 n 项和为ns， 点)(1,1nnaapnnn）（在曲线214)(xxf， 且0.11naa，求证：数列21na是等差数列，并求na。21、如果1a，2a，8a为各项都大于零的等差数列，公差0d，则 ( ) a 1a

39、8a45a ab8a1a45a ac1a+8a4a+5ad1a8a=45a a17 / 38 22、 已知是一次函数， 其图象过点， 又成等差数列， 求)()2()1(nfff的值 . 23、已知数列21na成等差数列，且713,61153aa，求8a的值。2.3 等差数列的前n 项和等差数列的前n项和的公式：12nnn aas；112nn nsnad等差数列的前n项和的性质：若项数为*2n n，则21nnnsn aa，且ssnd偶奇，1nnsasa奇偶若项数为*21nn，则2121nnsna，且nssa奇偶，1snsn奇偶（其中nsna奇，1nsna偶） 。【典型例题】1、已知等差数列na的

40、前 n 项之和记为sn，s10=10 ，s30=70，则 s40等于。2、已知一个等差数列na的通项公式an=255n，求数列|na的前 n 项和；【练习】1、 等差数列 -10，-6，-2，2， 前_项的和是54？2、 （1）求正整数列前n 个偶数的和；（2）求正整数列前n 个奇数的和。3、 如果等差数列na的前 4 项的和是 2，前 9 项的和是 -6，求其前n 项和的公式。4、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列na的有关未知数：（1）151,5,66nads求 n 及na； （2）12,15,10,nndnaas求及5、等差数列na、nb的前 n 项和为 sn、tn.若),(2741

41、7nnnntsnn求77ba；6、已知一个等差数列的前10 项的和是 310，前 20 项的和是1220，求前 n 项和。7、设ns是等差数列na的前 n 项和，已知23a，611a，则7s等于 ( ) a13 b35 c 49 d 63 8、等差数列na的前 n 项和为ns，且3s=6，1a=4， 则公差 d 等于（）a1 b 53c.- 2 d 3 18 / 38 9、等差数列na的前 n 项和为ns，已知2110mmmaaa，2138ms,则m（）a.38 b.20 c.10 d.9 10、若等差数列na的前 5 项和525s，且23a，则7a( ) a.12b.13c.14d.15 1

42、1、已知na是等差数列，124aa，7828aa，则该数列前10 项和10s等于（）a64 b100 c110 d 120 12、记等差数列na的前n项和为ns，若112a，420s，则6s（）a16 b24 c36 d48 13、等差数列na的前n项和为xs若则432,3, 1saa（）a12 b 10 c8 d 6 14、设等差数列na的前n项和为ns，若39s，636s，则789aaa（）a63 b45 c36 d27 15、已知两个等差数列na和nb的前n项和分别为an和nb，且7453nnanbn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是（）a2 b3 c4 d5 16、等差数列 an

43、中， a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 sn=100,则 n=（）a9 b10 c11 d12 17、设等差数列na的前n项和为ns，若4510,15ss，则4a的最大值为 _ 18、设 sn=是等差数列 an的前 n 项和， a12=-8,s9=-9,则 s16= . 19、已知等差数列na的前n项和为ns，若1221s，则25811aaaa20、若数列na的前n项和210 (1 2 3)nsnn nl，则此数列的通项公式为； 数 列nna中数值最小的项是第项21、各项均不为零的等差数列na中，若2110(,2)nnnaaannn，则2009s等于（）a0 b2 c2009 d40

44、18 22、已知等差数列an的前 n 项和为 sn，若714s，则35aa的值为（）a2 b4 c7 d8 19 / 38 23、在等差数列na中，284aa,则 其前 9 项的和 s9等于（）a18 b 27 c 36 d 9 24、在等差数列na中，39741aaa，27963aaa，则数列na的前 9 项之和9s等于（）a.66b99c144d.29725、设等差数列na的前 n 项和为1413121184,20,8,aaaasssn则若（）a18 b17 c16 d15 26、已知等差数列na共有 100 项，前三项的和为7，最后三项和为3，那么前100 项和为 _ 27、等差数列na

45、前 m 项的和为30，前 2m 项和为 100，那么它的前3m 项和为 _ 28、设等差数列na的前n项和为ns，若972s,则249aaa= 11、设等差数列na的前n项和为ns，若535aa则95ss29、等差数列na的前n项和为ns，且53655,ss则4a30、设ns为数列na的前n项和，2nsknn，*nn，其中k是常数，求1a及na；31、设数列na的通项公式为(,0)napnq nnp. 数列nb定义如下：对于正整数m，mb是使得不等式nam成立的所有n 中的最小值 . （）若11,23pq，求3b；（）若2,1pq，求数列mb的前 2m 项和公式；（）是否存在p 和 q，使得3

46、2()mbmmn？如果存在，求p 和 q 的取值范围；如果不存在，请说明理由 . 32、已知等差数列na中，, 0,166473aaaa求na前 n 项和ns. 33、已知 an是一个公差大于0 的等差数列，且满足 a3a655, a2+a716. ()求数列 an的通项公式：2.4 等比数列概念： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列 ，这个常数称为等比数列的公比若等比数列na的首项是1a，公比是q，则通项公式 为11nnaa q20 / 38 通项公式的变形：n mnmaa q；11nnaa q；11nnaqa；nmnmaqa等比中项：在a与

47、b中间插入一个数g，使a，g，b成等比数列，则g称为a与b的等比中项若2gab，则称g为a与b的等比中项若na是等比数列，且mnpq（m、n、p、*q） ，则mnpqaaaa；若na是等比数列，且2npq（n、p、*q） ，则2npqaaa【典型例题】1、在等比数列na中，（1）3,274qa，求7a；（2）8,1842aa，求qa ,1（3）6,475aa，求9a（4）6,152415aaaa，求3a2、求下列各组数的等比中项（1）53-7537与（2）)0,0(224224bababbaa与3、在等比数列中na中，11a，公比1q，若54321aaaaaam，则 m= 4、设na是由正数组

48、成的等比数列，且公比不为1，则18aa与45aa的大小关系为（）a1845aaaab1845aaaac1845aaaad与公比的值有关5、若不等于1 的三个正数a，b， c 成等比数列，则(2log)(1log)bcaa_。6、若数列是等比数列，下列命题正确的个数是（）2na，2na是等比数列lgna成等差数列1na，na成等比数列nca，nak(0)k成等比数列。a 5 b4 c3 d2 【练习】1、在等比数列na中，64,283aa，求na。2、在等比数列na中，11a，公比1q，若54321aaaaaam，则 m=_ 21 / 38 3、已知na为等比数列，6, 3876321aaaaa

49、a，求131211aaa的值。4、在公比为整数的等比数列na中，且nnnaaa212，求公比q=_ 5、已知等比数列na的公比为21，且609931aaa，则100642aaaa_ 6、在等比数列na中，baaaaa2019109,，则10099aa_ 7、已知na是等比数列，且0na，243546225a aa aa a，那么35aa8、在等比数列na中，公比2q，且30303212?aaaa，那么?30963aaaa_ 9、三个数成等比数列，其和为44，各数平方和为84，则这三个数为（）a2，4，8 b8，4，2 c 2，4，8，或 8，4，2 d1428 56,33310、设na是由正数

50、组成的等比数列，且公比不为1，则18aa与45aa的大小关系为（）a1845aaaab1845aaaac1845aaaad与公比的值有关11、已知等比数列na的公比为正数，且3a9a=225a，2a=1，则1a= a. 21b. 22c. 2d.2 12、设na是公差不为0 的等差数列，12a且136,a a a成等比数列，则na的前n项和ns=（）a2744nnb2533nnc2324nnd2nn13、已知na是等比数列，41252aa，则13221nnaaaaaa=（）a.16（n41）b.6（n21）c.332（n41）d.332（n21）14、在等比数列 an中， a28， a564，

51、 ，则公比q 为（）a2 b3 c4 d8 15、若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且310abc，则aa4 b2 c 2 d 4 16、在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3 ，前三项和为21，则 a3+ a4+ a5=( ) a .33 b. 72 c. 84 d .189 22 / 38 17、若数列na是公比为4 的等比数列，且12a =，则数列2logna是（）a. 公差为 2 的等差数列b. 公差为lg 2的等差数列c. 公比为 2 的等比数列d. 公比为lg 2的等比数列18、已知等差数列na的公差0d，且931,aaa成等比数列，则1042931aaaaaa的值为1

52、9、等比数列na，9, 14321aaaa，则54aa20、等比数列na中，641211109?aaaa，则?138aa21、等比数列na中，362,0645342aaaaaaan，则53aa22、有三个正数成等比数列，其和为21，若第三个数减去9，则它们成等差数列，这三个数分别为_。2.5 等比数列的前n 项和等比数列na的前n项和的公式：11111111nnnna qsaqaa qqqq等比数列的前n项和的性质：若项数为*2n n，则sqs偶奇nnmnmssqsns，2nnss，32nnss成等比数列【典型例题】1、公差不为零的等差数列na的前n项和为ns.若4a是37aa与的等比中项 , 832s,则10s等于a. 18 b. 24 c. 60 d. 90 2、设等比数列na的公比12q，前n项和为ns，则44sa3、设等比数列 na的前 n 项和为ns。若3614, 1ssa，则4a= 4、设有数列na，156a，若以123,na aaal为系数的二次方程2110nnaxa x都有根,，且满足331。（1）求证：数列12na是等比数列。（2）求数列na的通项na以及前 n 项和ns。23 / 38 5、设na是由正数组成的等比数列，ns是其前 n 项和，证明0.50.520.51logloglog2nnnsss。6、在等比数列中，13a