高中数学2.2.2第2课时对数函数及其性质的应用学案新人教A版必修1

1、第 2 课时对数函数及其性质的应用 学习目标 1. 进一步加深理解对数函数的概念.2. 掌握对数函数的性质及其应用 知识链接 对数函数的图象和性质a10a1 图象性质定义域(0 ，)值域r过定点(1,0) ，即当x1 时，y0 单调性在(0 ， ) 上是增函数在(0 ， ) 上是减函数奇偶性非奇非偶函数要点一对数值的大小比较例 1 比较下列各组中两个值的大小：(1)ln 0.3，ln 2 ；(2)loga3.1 ， loga5.2(a0，且a1)；(3)log30.2 ， log40.2 ；(4)log3， log3. 解(1) 因为函数yln x是增函数，且0.3 2，所以 ln 0.3ln

2、 2. (2) 当a1 时，函数ylogax在(0， ) 上是增函数， 又 3.1 5.2 ， 所以 loga3.1 loga5.2 ；当 0a1 时，函数ylogax在(0， ) 上是减函数， 又 3.1 5.2 ， 所以 loga3.1 loga5.2. (3) 方法一因为 0log0.23log0.24，所以1log0.231log0.24，即 log30.2 log40.2. 方法二如图所示，由图可知log40.2 log30.2. (4) 因为函数ylog3x是增函数，且 3，所以 log3 log331. 同理， 1log log3，所以 log3 log3. 规律方法比较对数式的

3、大小，主要依据对数函数的单调性1若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较2若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论3若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较4若底数与真数都不同，则常借助1,0 等中间量进行比较跟踪演练1 (1) 设a log32，blog52，clog23，则 ( ) aacb b bcaccba d cab(2) 已知alog23.6 ，blog43.2 ，clog43.6 ，则 ( ) aabc b acbcbac d cab答案(1)d (2)b

4、 解析(1)alog32log331；clog23 log221，由对数函数的性质可知log52 log32，bac，故选 d. (2)alog23.6 log43.62，函数ylog4x在(0 ， ) 上为增函数，3.623.6 3.2 ，所以acb，故选 b. 要点二对数函数单调性的应用例 2 求函数y log21(1 x2)的单调增区间，并求函数的最小值解要使y log21(1 x2) 有意义，则1x20，x21，则 1x1，因此函数的定义域为( 1,1) 令t1x2，x( 1,1) 当x( 1,0 时，x增大，t增大，ylog21t减小，x( 1,0 时，ylog21(1x2) 是减函

5、数；当x0,1) 时，ylog21(1x2) 是增函数故函数ylog21(1 x2) 的单调增区间为0,1)，且函数的最小值yminlog21(102) 0. 规律方法1. 求形如ylogaf(x) 的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)0，先求定义域2求此类型函数单调区间的两种思路：(1) 利用定义求证；(2) 借助函数的性质，研究函数tf(x)和y logat在定义域上的单调性，从而判定y logaf(x) 的单调性跟踪演练2 (1) 函数f(x) |log21x| 的单调递增区间是( ) a. 0，12 b (0,1 c(0， ) d 1 ，)(2) 设函数f(x) 21

6、x，x1，1log2x，x1，则满足f(x) 2 的x的取值范围是 ( ) a 1,2 b 0,2 c1 ， ) d 0 ，)答案(1)d (2)d 解析(1)f(x)log21x，x1，log21x，0 x1.当x1 时，tlog21x是减函数，f(x) log21x是增函数f(x)的单调增区间为1 ， ) (2)f(x) 2?x1，21x2或x1，1log2x2? 0 x1 或x1，故选 d. 要点三对数函数的综合应用例 3 已知函数f(x) logax1x1(a0 且a1)，(1) 求f(x) 的定义域；(2) 判断函数的奇偶性和单调性解(1) 要使此函数有意义，则有x 10 x 10或

7、x10，x10.解得x1 或x 1，此函数的定义域为( ， 1)(1， ) (2)f( x) logax1x1logax1x1 logax1x1f(x) 又由 (1) 知f(x) 的定义域关于原点对称，f(x)为奇函数f(x) logax1x1loga(1 2x1) ，函数u12x1在区间 ( ， 1) 和区间 (1 ， ) 上单调递减所以当a1 时，f(x) logax1x1在( ， 1) ，(1 ， ) 上递减；当 0a1 时，f(x) logax1x1在( ， 1) ，(1 ， ) 上递增规律方法1. 判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称2求函数的单调区间有两种思路：(

8、1) 易得到单调区间的，可用定义法来求证；(2) 利用复合函数的单调性求得单调区间跟踪演练3 已知函数f(x) loga1mxx1(a0，a1，m1)是奇函数(1) 求实数m的值；(2) 探究函数f(x) 在(1 ， ) 上的单调性解(1) 由已知条件得f(x) f(x) 0 对定义域中的x均成立logamx1x1loga1mxx10，即mx1x11mxx11，m2x21x21 对定义域中的x均成立m21，即m1( 舍去 ) 或m 1. (2) 由(1) 得f(x) loga1xx1. 设tx1x1x12x112x1，当x1x2 1 时，t1t22x112x212x2x1x11x2 10，t1

9、t2. 当a1 时， logat1logat2，即f(x1) f(x2) ，当a1 时，f(x) 在(1， ) 上是减函数同理当 0a1 时，f(x) 在(1 ， ) 上是增函数1函数yln x的单调递增区间是( ) ae ， ) b (0 ，)c( ， ) d 1 ，)答案b 解析函数yln x的定义域为 (0， ) ，其在 (0， ) 上是增函数，故该函数的单调递增区间为 (0 ， ) 2设alog54，b(log53)2，clog45，则 ( ) aacb b bcacabc d bac答案d 解析1 log55log54log53 log510，1a log54log53b(log53

10、)2. 又clog45log441. cab. 3函数f(x) log21x1的定义域是 ( ) a(1， ) b (2 ，)c( ， 2) d (1,2 答案d 解析由题意有x10，log21x10，解得 1x2.4函数f(x) log21x，x1，2x，x1的值域为 _答案( ， 2) 解析当x1 时， log21xlog211 0，当x1 时，f(x) 0. 当x1 时，02x21，即 0f(x) 2. 因此函数f(x) 的值域为 ( ， 2) 5函数f(x) log5(2x1) 的单调增区间是_答案12，解析要使ylog5(2x1) 有意义，则2x10，即x12，而y log5u为 (

11、0 ， ) 上的增函数， 当x12时，u2x 1也为 r上的增函数， 故原函数的单调增区间是12，. 1. 比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a1 和 0a1 两类分别求解2 解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用一、基础达标1若集合axlog21x12，则 ?ra等于 ( ) a( ， 0 22，b.22，c( ， 0 22，d.22，答案a 解析log21x12，即 log21xlog2122，0 x22，即ax0 x22， ?rax x0，或x22.

12、故选 a. 2设alog3，blog23，clog32，则 ( ) aabc b acbcbac d bca答案a 解析alog3 1，blog2312log2312，1 ，clog3212log32 0，12，故有abc. 3函数f(x) logax(0 a1) 在a2，a 上的最大值是 ( ) a0 b 1 c 2 d a答案c 解析0a1，f(x) logax在a2，a 上是减函数，f(x)maxf(a2) logaa22. 4函数f(x) lg(1x21x) 的奇偶性是 ( ) a奇函数 b 偶函数c即奇又偶函数 d 非奇非偶函数答案a 解析f(x) 定义域为r，f( x) f(x)

13、lg(1x21x) lg(1x2 1x) lg1x21x2lg 1 0，f(x)为奇函数，选a. 5函数ylog31( x24x12) 的单调递减区间是( ) a( ， 2) b (2 ，)c( 2,2) d ( 2,6) 答案c 解析ylog31u，ux24x12. 令ux24x120，得 2x6. x( 2,2) 时，ux24x12 为增函数，ylog31( x24x 12)为减函数，函数的单调减区间是(2,2) 6已知定义域为r的偶函数f(x) 在0 ， ) 上是增函数，且f(12) 0，则不等式f(log4x)0 的解集是 _答案x|12x2 解析由题意可知，f(log4x) 0? 1

14、2log4x12? log4421log4xlog4421?12x2. 7已知f(x) (log21x)2 3log21x，x2,4 试求f(x) 的最大值与最小值解令tlog21x，则yt23t (t32)294，2x4，log214log21xlog212，即2t 1. 可知y(t32)294在 2， 1 上单调递减当t 2 时，y取最大值为10；当t 1 时，y取最小值为4. 故f(x) 的最大值为10，最小值为4. 二、能力提升8设alog36，blog510，clog714，则 ( ) acba b bcacacb d abc答案d 解析alog36log33log321log32，

15、blog510log55log52 1log52，clog714log77log72 1log72，log32log52log72，abc，故选 d. 9已知函数f(x)是定义在r 上的偶函数，且在区间0 ， ) 上单调递增若实数a满足f(log2a) f(log21a) 2f(1) ，则a的取值范围是 ( ) a1,2 b.0，12c12，2 d (0,2 答案c 解析f(log21a) f( log2a) f(log2a) ，原不等式可化为f(log2a) f(1) 又f(x)在区间 0 ， ) 上单调递增，0log2a1，即1a2. f(x) 是偶函数，f(log2a) f( 1) 又f

16、(x) 在区间 ( ，0 上单调递减， 1log2a0， 12a1. 综上可知12a2.10已知函数f(x) a2x1，x1，logax，x1，若f(x) 在( ， ) 上单调递增， 则实数a的取值范围为 _答案a|2 a3解析函数f(x) 是( ， ) 上的增函数，a的取值需满足a20，a1，loga1a21，解得 2a3.11讨论函数f(x) loga(3x22x1)的单调性解由 3x22x10 得函数的定义域为x x1，或x13. 则当a1 时，若x1，则u3x22x1 为增函数，f(x) loga(3x22x1)为增函数若x13，则u3x22x1 为减函数f(x) loga(3x22x1)为减函数当 0a1 时，若x1，则f(x) loga(3x22x1)为减函数；若x13，则f(x) loga(3x22x1) 为增函数三、探究与创新12已知x满足不等式： 2(log21x)27log21x30，求函数f(x) log2x4 log2x2的最大值和最小值解由 2(log21x)27log21x30，可解得 3log21x12，即2x8，12log2x3.f(x) (log2x2)(log2x1) log2x32214，当 log2x32，即x22时，f(x) 有最小值14. 当 log2x3，即x8 时，f(x) 有最大值 2. f(x)min14，f(x)max