高三数学精准培优专题练习12：数列求和

1、培优点十二数列求和1错位相减法例 1：已知na是等差数列， 其前n项和为ns，nb是等比数列， 且112ab，4427ab，4410sb（1）求数列na与nb的通项公式；（2）记1121nnnnta baba bl， nn ，求证：12210nnntab【答案】（1）31nan，2nnb； （2）见解析【解析】（1）设na的公差为d，nb的公比为q，则3441127327abadb q，34411104610sbadbq，即332322786210dqdq，解得：32dq，31nan，2nnb（2）23123422 2nntnnl，23+123123422 2nntnnl， 得123124 2

2、13123 2222 22312321nnnnntnnl10 22 3112nn，所证恒等式左边10 22 31nn，右边2102 3110 2nnnabn，即左边右边，所以不等式得证2裂项相消法例 2：设数列na，其前n项和23nsn ，nb为单调递增的等比数列，123512bb b，1133abab（1）求数列na，nb的通项公式；（2）若21nnnnbcbb，求数列nc的前n项和nt【答案】（1）63nan，12nnb； （2）11121nnt【解析】（1）2n时，22133163nnnassnnn，当1n时，113as符合上式，63nan，nb为等比数列31232512bb bb，28

3、b，设nb的公比为q，则21328,8bbbb qqqq，而315a，113383158ababqq，解得2q或12q，nb单调递增，2q，21222nnnbb（2）111112211222121212121nnnnnnnnnc，112231111111212121212121nnnntccll1111111212121nn一、单选题1已知等差数列na中918s，240ns，4309nan，则项数为（）a10 b 14 c15 d17 【答案】 c 【解析】 199599182aasa，52a，154230240222nnnn aan aans，15n，故选 c2在等差数列na中，满足4737

4、aa，且10a，ns是na前n项的和， 若ns取得最大值，则n（）对点增分集训a7 b 8 c9 d10 【答案】 c 【解析】 设等差数列首项为1a，公差为 d ，由题意可知14330ad，10a，2111352233nn ndasnann，二次函数的对称轴为358 754n.，开口向下，又 nn ，当9n时，ns取最大值故选c3对于函数yfx，部分x与y的对应关系如下表：x1 2 3 4 5 6 7 8 9 y3 7 5 9 6 1 8 2 4 数列nx满足：11x，且对于任意nn，点1nnxx,都在函数yfx的图象上，则122015xxx（）a7554 b 7549 c7546 d753

5、9 【答案】 a 【解析】 由题意可知：13f，35f，56f，61f，13fl，点1nnxx,都在函数yfx的图象上，则11x，23x，35x，46x，511xx，则数列nx是周期为4 的周期数列，由于 201545033，且123415xxxx，故122015503 151357554xxx故选 a 4设等差数列na的前n项和ns，44a，515s，若数列11nna a的前m项和为1011，则m（）a8 b 9 c10 d11 【答案】 c 【解析】ns为等差数列na的前n项和，设公差为d ，44a，515s，则4534155asa，解得1d，则44nann 由于1111111nna an

6、 nnn，则11111110112231111msmmml，解得10m故答案为10故选 c 5在等差数列na中，其前n项和是ns，若90s，100s，则在11sa，22sa，l，99sa中最大的是（）a11sab88sac55sad99sa【答案】 c 【解析】 由于19959902aasa，110105610502aasaa，可得50a，60a，这样110sa，220sa，l，550sa，660sa，l，990sa， 而125sssl，125aaal，在11sa，22sa，l，99sa中最大的是55sa故选 c6设数列1n的前n项和为ns，则对任意正整数n，ns（）a112nnb1112nc

7、112nd112n【答案】 d 【解析】 数列1n是首项与公比均为1的等比数列其前n项和为11111112nnns故选 d7已知数列na满足11a，121211nnnana，12212141nnnnanabn，12nntbbb，若nmt恒成立，则m的最小值为（）a0 b 1 c2 d12【答案】 d 【解析】 由题意知，12121nnnaabnn，由121211nnnana，得11111212121212 2121nnaannnnnn，12111111111112133521212212nntbbbnnnll，12nt恒成立，12m，故m最小值为12，故选 d8数列na的前n项和为ns，若1n

8、nan，则2018s（）a2018 b 1009 c2019 d1010 【答案】 b 【解析】 由题意，数列na满足1nnan，2018123420172018123420172018saaaaaall1234201720181009l，故选 b9已知数列na中，12321nnaaaann，则2222123naaaa等于（）a1413nb1213nc41nd221n【答案】 a 【解析】 设12321nnnsaaaann，由1112,nnnsnassn，解得12nna，令214nnnba，故22221231413nnaaaa故选 a10已知函数223sin2nfnn，且nafn ，则1232

9、00aaaal（）a20100 b 20500 c40100 d10050 【答案】 a 【解析】nafn ，当n为偶数时，2223sin2nfnnn ，当n为奇数时，2223sin2nfnnn，故222221232001234199200aaaall-21 1220019920019912319920020100ll故选 a11 已 知 数 列na满 足 ：112a，21a，112nnnaaannn ,， 则132435111aaa aa a201820201aa的整数部分为（）a0 b 1 c2 d3 【答案】 b 【解析】1111111111111111nnnnnnnnnnnnnnnnn

10、naaaaaaaaaaaaaaaaaa111111111111nnnnnnnnnaaaaaaaa a，原式1223201820192019202020192020111112a aa aaaaaaal，当3n时，201920202019202011121,2naaaaa，整数部分为1，故选 b12 对于任意实数x， 符号x表示不超过x的最大整数， 例如33，122，121 已知数列na满足2lognan，其前n项和为ns，若0n是满足2018ns的最小整数， 则0n的值为（）a305 b 306 c315 d316 【答案】 d 【解析】 由题意，2lognan ，当1n时，可得10a， （1

11、 项）当1222n时，可得231aa， （2 项）当2322n时，可得4572aaal， （ 4 项）当3422n时，可得89153aaal， （8 项）当4522n时，可得1617314aaal， （16 项）l l当122nnn时，可得12212nnnaaanl， （2n项）则前n项和为1234122232422nnsnl，234512122232422nnsnl，两式相减得2341222222nnnsnl，1112222122018nnnnsnn，此时8n，当8n时，对应的项为83162aa，即0316n，故选 d二、填空题13 已 知 数 列na满 足112nnnaan n， 记ns为

12、na的 前n项 和 ， 则40s_【答案】 440 【解析】 由112nnnaan n可得：当2nk 时，有2212kkaak，当21nk时，有212221kkaak，当21nk时，有21221kkaak， 有22241kkaak， 有21211kkaa，则40135739246840saaaaaaaaaall1091 10715231071084402l故答案为44014n表示不超过n的最大整数若11233s，24567810s，3910111213141521s，l，则ns_【答案】21nn，nn【解析】 第一个等式，起始数为1，项数为2234121 ，113s，第二个等式，起始数为2，项

13、数为2259432 ，225s，第三个等式，起始数为3，项数为22716943 ，337s，l第n个等式，起始数为n，项数为22121nnn，21nsnn，nn，故答案为21nsnn，nn15已知函数113sin22fxxx，则122018201920192019fff_；【答案】 2018 【解析】 111113sin13sin 12222fafaaaaa112sinsin222aa，设122018201920192019sfff，则201820171201920192019sfff， 得1201822018403620192019sff，2018s故答案为201816定义12nnpppl为

14、n个正整数1p，2p，l，np的“均倒数”， 若已知数列na的前n项的“均倒数”为15n，又5nnab，则12231011111bbb bb bl_；【答案】1021【解析】 数列na的前n项的“均倒数”为15n，15nnsn，解得25nsn ，115as，当2n时，221551105nnnassnnn，当1n时，上式成立，则105nan，215nnabn，111111212222121nnb bnnnn，则1 22310 1111111111111111011233557192122121bbb bb bll故答案为1021三、解答题17正项等差数列na中，已知0na，12315aaa，且1

15、2a，25a，313a构成等比数列nb的前三项（1）求数列na，nb的通项公式；（2）求数列nna b的前n项和nt【答案】（1）21nan，15 2nnb； （2）521 21nntn【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则由已知得：1232315aaaa，即25a，又52513100dd，解得2d或13d（舍去），123aad，1121naandn，又1125ba，22510ba，2q，15 2nnb；（2）215 35272212nntn，2325 325272212nntn，两式相减得21532222222125 1221nnnntnn，则521 21nntn18已知ns为数列na的前n项和，且12a，0na，2632nnnsaa， nn （1）求数列na的通项公式；（2）若对nn ，2( 1)nnnba，求数列nb的前 2n项的和2 nt【答案】（1）32nan； （2）2