正弦定理省参赛获奖实用教案

1、会计学1正弦正弦(zhngxin)定理省参赛获奖定理省参赛获奖第一页，共41页。ABC3C2C1CBC的长度(chngd)与角A的大小有关吗?三角形中角A与它的对边BC的长度(chngd)是否存在定量关系?第1页/共41页第二页，共41页。在RtABC中,各角与其(yq)对边的关系:caA sincbB sin1sinC不难得到(d do):CcBbAasinsinsinCBAabccc第2页/共41页第三页，共41页。在非直角三角形ABC中有这样(zhyng)的关系吗?AcbaCB第3页/共41页第四页，共41页。正弦(zhngxin)定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦(zhngxi

2、n)的比相等.CcBbAasinsinsin即第4页/共41页第五页，共41页。(1) 若直角三角形,已证得结论(jiln)成立.bADcADCBsin,sin所以(suy)AD=csinB=bsinC, 即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作ADBC于D,此时(c sh)有证法1:(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,第5页/共41页第六页，共41页。由(1)(2)(3)知，结论(jiln)成立CCbADsinsin ）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D(3) 若三角形是钝角(dnjio)三角形,且角C是

3、钝角(dnjio)如图2, 此时也有cADB sin交BC延长线于D,过点A作ADBC，CAcbB图2第6页/共41页第七页，共41页。 AasinBbsinCcsin（2R为为ABC外接圆直径外接圆直径(zhjng)）2R思考(sko)求证(qizhng):第7页/共41页第八页，共41页。证明证明(zhngmng)：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径(zhjng)BC/,连AC/,第8页/共41页第九页，共41页。AcbCBDa向量(xingling)法证法(zhn

4、 f)2:利用向量(xingling)的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.第9页/共41页第十页，共41页。证明(zhngmng)：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsinCabBacSABCsin21sin21同理BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin21证法(zhn f)3:第10页/共41页第十一页，共41页。剖析(pux)定理、加深理解正弦定理可以解决(jiju)三角形中哪类问题： 已知两角和一边(ybin)，求其他角和边. 已知两边和其中一边的对角，求

5、另一边的对角，进而可求其他的边和角.CcBbAasinsinsin第11页/共41页第十二页，共41页。定理(dngl)的应用例 1在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b (精确(jngqu)到0.01）.解： 且 105C)(A180 BCcBbsinsin b = CBcsinsin19.32=30sin105sin10已知两角和任意已知两角和任意(rny)边，边，求其他两边和一角求其他两边和一角CcAasinsina = CAcsinsin14.14=21030sin45sin10BACbc)26(5a第12页/共41页第十三页，共41页。在ABC

6、中，已知 A=75，B= 45，c= 求a ， b.23在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12 求a ， c.a= ,c= 3434 3233ba练习(linx)第13页/共41页第十四页，共41页。例 2 已知a=16， b= ， A=30 .求角B，C和边c已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角(du jio),求其他求其他边和角边和角解：由正弦(zhngxin)定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以(suy)60,或120当 时60C=90.32cC=30.16sinsinACac316当120时B16300ABC16316第14页

7、/共41页第十五页，共41页。变式: a=30, b=26, A=30求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以25.70, 或180025.70=154.30由于(yuy)154.30 +3001800故B只有(zhyu)一解（如图）C=124.30,57.49sinsinACac第15页/共41页第十六页，共41页。变式: a=30, b=26, A=30求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以(suy)25.70,C=124.3

8、0,57.49sinsinACaca b A B ,三角形中大边对大角(d jio)第16页/共41页第十七页，共41页。已知两边和其中已知两边和其中(qzhng)一边的对角一边的对角,求其求其他边和角他边和角1.根据下列(xili)条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30.B=90，C=60，c= 313(2) b=40，c=20，C=45.练习(linx)注：三角形中角的正弦值小于时，角可能有两解无解第17页/共41页第十八页，共41页。课堂(ktng)小结（1）三角形常用(chn yn)公式：（2）正弦定理应用(yngyng)范围： 已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和

9、其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC2R第18页/共41页第十九页，共41页。已知两边已知两边(lingbin)和其中一边和其中一边的对角的对角,求其他边和角时求其他边和角时,三角形三角形什么情况下有一解什么情况下有一解,二解二解,无解无解?课后思考课后思考(sko)第19页/共41页第二十页，共41页。第20页/共41页第二十一页，共41页。ACababsinA无解无解ACaba=bsinA一解一解ACabbsinA a b两解两解BB1B2BACbaab一解一解a第21页/共4

10、1页第二十二页，共41页。ABabCABabCABabCab 一解一解第22页/共41页第二十三页，共41页。正弦定理的综合正弦定理的综合(zngh)应用应用221.tantan,.ABCaBbAABC在中，已知试判断的形状1.3,3 3,30 ,.ABCbcBABC在中，已知试判断的形状21.( cos)cos0,.xbA xaBa bABCABa bABC已知方程的两根 之积等于两根之和，且为的边， ， 为的对角，试判断的形状第23页/共41页第二十四页，共41页。1., ,sinsinsin.ABCa b cABCaabcb cBCAABC在中，为边长， ， ， 为所对的角，若试判断的形

11、状第24页/共41页第二十五页，共41页。2222222.0.coscoscoscoscoscosABCabbccaABBCCA在中，求证：2.(sinsin)(sinsin)(sinsin)0.ABCaBCbCAcAB在中，求证： 第25页/共41页第二十六页，共41页。3.12057,.ABCAABBCABCS在中，若，求的面积3.sin()sinsin.ABCCABPABAPCBPCPCPBPA一条直线上有三点 ， ， ，点 在 ，之间,点 是直线之外一点，设，求证：CBAP第26页/共41页第二十七页，共41页。3.,3,3.4 3sin()3.4 3sin()336.6sin()3.

12、6sin()336ABCABCABCABBBCBDB中，则的周长为第27页/共41页第二十八页，共41页。4.ABCADBACABBDACDC在中，是的平分线， 用正弦定理证明：ACBD第28页/共41页第二十九页，共41页。1.(1)sinsin.(2)sinsin.ABCABAB判断正误：若，则；反之也成立在中，若，则； 反之也成立第29页/共41页第三十页，共41页。352.sincos,513sin.ABCABC在中，已知，求.6563)sin(sin.54cos,sinsinsinsin,53sin.1312sin), 0(,135cosBACAABAbaBbAaBAABBB只能为锐

13、角，可知由正弦定理又解：第30页/共41页第三十一页，共41页。.sin,1312sin,54cosCBAABC求中，已知变：在.65336563sin.6533)sin(sin135cos)2(.6563)sin(sin135cos) 1 (.135cos,sinsin,1312sin53sin), 0(,54cos或时，时，角，可以为锐角也可以为钝又解：CBACBBACBBBBAbaBABAAA第31页/共41页第三十二页，共41页。3., ,2 cos(60).oABCABCa b cbcaCA在中，设所对的边分别为，若，求.120150302103030.21)30sin(1cossi

14、n30sinsinsin)cossin3(cossin3cossinsinsincoscossin)sin(sin)sin60sincos60(cossin2sinsin000000000AAAAAACCCAACACACCACACABCCACB又即略解：由正弦定理得第32页/共41页第三十三页，共41页。2214.().4ABCSbcABC已知的面积，试确定的形状.20sin10)sin1 (21, 0)(410)sin1 (21)(41sin21)(412222为等腰直角三角形且解：ABCcbAAcbAbccbAbccbAbccbS第33页/共41页第三十四页，共41页。实际实际(shj)问

15、题问题例例1、如图，要测底部不能到达的烟囱、如图，要测底部不能到达的烟囱(yncng)的高的高AB，从与烟囱，从与烟囱(yncng)底部在底部在同一水平直线上的同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱两处，测得烟囱(yncng)的仰角分别是的仰角分别是和 45 60，CD间的距离间的距离(jl)是是12m.已知测角仪器高已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。求烟囱的高。图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，几何图形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想第34页/共41页第三十五页，共41页。实例实例(shl)讲解讲解AA1BCDC1D1分析：如图，因为分析：如图，因为AB=A

16、A1+A1B，又，又已知已知AA1=1.5m,所以所以(suy)只要求出只要求出A1B即可。即可。解：15sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在662184 .2836182211BCBA)(9 .295 . 14 .2811mAABAAB答：烟囱(yncng)的高为 29.9m.第35页/共41页第三十六页，共41页。ABCDE6520352.3520100065 ,(1 ).ABDDBCm例 某登山队在山脚 处测得山顶 的仰角为 ，沿倾斜角为的斜坡前进米 后到达 处，又测得 处的仰角为求

17、山的高度精确到ABCDE652035第36页/共41页第三十七页，共41页。BEDC2.57,1.89,2.01,45 ,120 ,.BCcm CDcmBEcm BC某地出土一块玉佩（如图），其中一角破损，现测得如下数据；为了复原，计算原另两边的长BEDCA第37页/共41页第三十八页，共41页。 解斜三角形的问题，通常都要根据(gnj)题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解。 在这个过程中，贯穿(gunchun)了数学建模的思想。这种思想即是从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。第38页/共41页第三十九页，共41页。本节小结本节小结(x