高等数学练习答案

1、 习题12-9 1. 求下列各微分方程的通解: (1)2y¢¢+y¢-y=2ex; 解 微分方程的特征方程为 2r2+r-1=0, 其根为, r2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 . 因为f(x)=2ex , l=1不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y*=Aex, 代入原方程得 2Aex+Aex-Aex=2ex, 解得A=1, 从而y*=ex. 因此, 原方程的通解为 . (2)y¢¢+a2y=ex; 解 微分方程的特征方程为 r2+a2=0, 其根为r=±ai, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1cos ax+C2sin a

2、x. 因为f(x)=ex, l=1不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y*=Aex, 代入原方程得 Aex+a2Aex=ex, 解得, 从而. 因此, 原方程的通解为 . (3)2y¢¢+5y¢=5x2-2x-1; 解 微分方程的特征方程为 2r2+5r=0, 其根为r1=0, , 故对应的齐次方程的通解为 . 因为f(x)=5x2-2x-1, l=0是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y*=x(Ax2+Bx+C),代入原方程并整理得 15Ax2+(12A+10B)x+(4B+5C)=5x2-2x-1, 比较系数得, , , 从而. 因此, 原方程的通解为

3、 . (4)y¢¢+3y¢+2y=3xe-x; 解 微分方程的特征方程为 r2+3r+2=0, 其根为r1=-1, r2=-2, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1e-x+C2e-2x. 因为f(x)=3xe-x, l=-1是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y*=x(Ax+B)e-x, 代入原方程并整理得 2Ax+(2A+B)=3x, 比较系数得, B=-3, 从而. 因此, 原方程的通解为 . (5)y¢¢-2y¢+5y=exsin2x; 解 微分方程的特征方程为 r2-2r+5=0, 其根为r1, 2=1±2i,

4、故对应的齐次方程的通解为 Y=ex(C1cos2x+C2sin2x). 因为f(x)=exsin2x, l+iw=1+2i是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y*=xex(Acos2x+Bsin2x), 代入原方程得 ex4Bcos2x-4Asin2x=exsin2x, 比较系数得, B=0, 从而. 因此, 原方程的通解为 . (6)y¢¢-6y¢+9y=(x+1)e3x; 解 微分方程的特征方程为 r2-6r+9=0, 其根为r1=r2=3, 故对应的齐次方程的通解为 Y=e3x(C1+C2x). 因为f(x)=(x+1)e3x, l=3是特征方程的重根,

5、故原方程的特解设为 y*=x2e3x(Ax+B), 代入原方程得 e3x(6Ax+2B)=e3x(x+1), 比较系数得, , 从而. 因此, 原方程的通解为 . (7)y¢¢+5y¢+4y=3-2x; 解 微分方程的特征方程为 r2+5r+4=0, 其根为r1=-1, r2=-4, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1e-x+C2e-4x. 因为f(x)=3-2x=(3-2x)e0x, l=0不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y*=Ax+B, 代入原方程得 4Ax+(5A+4B)=-2x+3, 比较系数得, , 从而. 因此, 原方程的通解为 . (8)y&

6、#162;¢+4y=xcos x; 解 微分方程的特征方程为 r2+4=0, 其根为r=±2i, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1cos2x+C2sin2x. 因为f(x)= xcos x=e0x(x×cos x+0×sin x), l+iw=i不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y*=(Ax+B)cos x+(Cx+D)sin x, 代入原方程得 (3Ax+3B+2C)cos x+(3Cx-2A+3D)sin x=xcos x, 比较系数得, B=0, C=0, 从而. 因此, 原方程的通解为 . (9)y¢¢+y=ex+co

7、s x; 解 微分方程的特征方程为 r2+1=0, 其根为r=±i , 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1cos x+C2sin x. 因为f(x)=f1(x)+f2(x), 其中f1(x)=ex, f2(x)=cos x, 而 方程y¢¢+y=ex具有Aex形式的特解; 方程y¢¢+y=cos x具有x(Bcos x+Csin x)形式的特解, 故原方程的特解设为 y*=Aex+x(Bcos x+Csin x), 代入原方程得 2Aex+2Ccos x-2Bsin x=ex+cos x, 比较系数得, B=0, 从而. 因此, 原方程的通解为

8、 . (10)y¢¢-y=sin2x . 解 微分方程的特征方程为 r2-1=0, 其根为r1=-1, r2=1, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1e-x+C2ex. 因为, 而 方程的特解为常数A; 方程具有Bcos2x+Csin2x形式的特解, 故原方程的特解设为 y*=A+Bcos2x+Csin2x,代入原方程得 , 比较系数得, C=0, 从而. 因此, 原方程的通解为 . 2. 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解: (1)y¢¢+y+sin x=0, y|x=p=1, y¢|x=p=1; 解 微分方程的特征方程为 r2+1=0,

9、 其根为r=±i, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1cos x+C2sin x. 因为f(x)=-sin2x=e0x(0×cos2x-sin2x), l+iw=i是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y*=Acos2x+Bsin2x, 代入原方程得 -3Acos 2x-3Bsin2x=-sin2x, 解得A=0, , 从而. 因此, 原方程的通解为 . 由y|x=p=1, y¢|x=p=1得C1=-1, , 故满足初始条件的特解为 . (2)y¢¢-3y¢+2y=5, y|x=0=1, y¢|x=0=2; 解 微分方程的特

10、征方程为 r2-3r+2=0, 其根为r1=1, r2=2, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1ex+C2e2x. 容易看出为非齐次方程的一个特解, 故原方程的通解为 . 由y|x=0=1, y¢|x=0=2得 , 解之得C1=-5, . 因此满足初始条件的特解为 . (3)y¢¢-10y¢+9y=e2x, , ; 解 微分方程的特征方程为 r2-10r+9=0, 其根为r1=1, r2=9, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1ex+C2e9x. 因为f(x)=e2x, l=2不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y*=Ae2x, 代入原方程得 (4A

11、-20A+9A)e2x=e2x, 解得, 从而. 因此, 原方程的通解为 . 由, 得. 因此满足初始条件的特解为 . (4)y¢¢-y=4xex, y|x=0=0, y¢|x=0=1; 解 微分方程的特征方程为 r2-1=0, 其根为r1=-1, r2=1, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1e-x+C2ex. 因为f(x)=4xex, l=1是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y*=xex(Ax+B), 代入原方程得 (4Ax+2A+2B)ex=4xex, 比较系数得A=1, B=-1, 从而y*=xex(x-1). 因此, 原方程的通解为 y*=C1e-

12、x+C2ex+xex(x-1). 由y|x=0=0, y¢|x=0=1得 , 解之得C1=1, C2=-1. 因此满足初始条件的特解为 y=e-x-ex+xex(x-1). (5)y¢¢-4y¢=5, y|x=0=1, y¢|x=0=0. 解 微分方程的特征方程为 r2-4r=0, 其根为r1=0, r2=4, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1+C2e4x. 因为f(x)=5=5e0×x, l=0是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y*=Ax, 代入原方程得 -4A=5, , 从而. 因此, 原方程的通解为 . 由y|x=0=1

13、, y¢|x=0=0得, . 因此满足初始条件的特解为 . 3. 大炮以仰角a、初速度v0发射炮弹, 若不计空气阻力, 求弹道曲线. 解 取炮口为原点, 炮弹前进的水平方向为x轴, 铅直向上为y轴, 弹道运动的微分方程为 , 且满足初始条件 . 易得满足方程和初始条件的解(弹道曲线)为 . 4. 在R、L、C含源串联电路中, 电动势为E的电源对电容器C充电. 已知E=20V, C=0.2mF(微法), L=0.1H(亨), R=1000W, 试求合上开关K后电流i(t)及电压uc(t). 解 (1)列方程. 由回路定律可知 , 即 , 且当t=0时, u c=0, uc¢=

14、0. 已知R=1000W, L=0.1H, C=0.2mF, 故 , , . 因此微分方程为. (2)解方程. 微分方程的特征方程为r2+104r+5×107=0, 其根为r 1, 2=-5´103±5´103i. 因此对应的齐次方程的通解为 . 由观察法易知y*=20为非齐次方程的一个特解. 因此非齐次方程的通解为 . 由t=0时, u c=0, uc¢=0, 得C1=-20, C2=-20. 因此 (V), (A). 5. 一链条悬挂在一钉子上, 起动时一端离开钉子8m另一端离开钉子12m, 分别在以下两种情况下求链条滑下来所需的时间: (

15、1)若不计钉子对链条所产生的摩擦力; 解 设在时刻t时, 链条上较长的一段垂下xm, 且设链条的密度为r, 则向下拉链条下滑的作用力 F=xrg-(20-x)rg=2rg(x-10). 由牛顿第二定律, 有 20rx¢¢=2rg(x-10), 即. 微分方程的特征方程为 , 其根为, 故对应的齐次方程的通解为 . 由观察法易知x*=10为非齐次方程的一个特解, 故通解为 . 由x(0)=12及x¢(0)=0得C1=C2=1. 因此特解为 . 当x=20, 即链条完全滑下来时有, 解之得所需时间 s. (2)若摩擦力为1m长的链条的重量. 解 此时向下拉链条的作用力变为 F=xrg-(20-x)rg-1rg=2rgx-21rg 由牛顿第二定律, 有 20rx¢¢=2rgx-21rg, 即. 微分方程的通解为 . 由x(0)=12及x¢(0)=0得. 因此特解为 . 当x=20, 即链条完全滑下来时有, 解之得所需时间 s. 6. 设函数j(x