高中数学斯蒂芬矩阵教案苏教版选修

1、矩阵 与 变 换矩阵是代数学的基本内容之一，变换是几何中的基本内容之一。对于中学数学教材改革来说，怎样把应用广泛的矩阵内容融入代数教材，以及如何进一步用变换的观念来处理几何教材，都是值得考虑和研究的课题。本讲我们简单介绍一些关于矩阵与变换的知识，同时把两者结合起来，用矩阵表示变换，使矩阵得到一些应用，便于对变换作进一步的研究。不妥之处，敬请指正。§线性方程组与矩阵矩阵是数学中的一个重要的概念，它是线性代数的主要研究对象之一，并且是解决许多工程问题的有力工具。下面结合熟知的线性方程组介绍什么是矩阵。包含有n个未知数的p个线性方程所成的方程组，可以表示如下：大量的或多或少有些实用的问题，

2、都归结为两个未知数两个方程的问题，其中有一些已经在四千多年前的楔形文字的典籍中出现。上面的一般的线性方程组，特别是方程个数等于未知量个数的方程组，在各门应用数学中出现，并且在数值分析中起着重要的作用。它们在理论上也是重要的。大约在1840年，雅可比指出了：方程个数少于未知数个数的齐次线性方程组总有非平凡的解；在1750年，克拉默借助于行列式证明了，对于方程个数等于未知数个数的线性方程组，下列叙述等价：秩等于未知数的个数，不论右边为何数方程组总有解，齐次方程组只有零解。秩的概念是克罗内克在1864年引进的。现在，我们把上述方程组的每件外衣剥去，只考虑它的系数，得系数矩阵这种具有p行n列的数的长方

3、形阵列，称为型矩阵。我们可以把上述线性方程组表示为。§2 消元解法与初等变换我们知道，在用消去法解线性方程组的过程中，常用下面两种变换以使方程组逐步简化：用适当的数去乘某个方程的两边，然后把它加到另一个方程上；用一个不等于0的数去乘某个方程的两边。这分别相当于对矩阵的行施行如下的变换：消法变换将矩阵某行的各元素的某个倍数加到另一行的相应元素上，倍法变换以不等于0的数去乘矩阵的某一行。此外，还可以施行位置变换将矩阵某两行的位置对调。矩阵的这三种变换统称为矩阵的初等变换。不难看出，用消元法解线性方程组的过程，可以对相应的矩阵施行初等变换来实现。§3 矩阵概念的提出为了使大家对矩

4、阵的概念和将要讨论的一些问题的背景有些了解，我们来介绍一些提出矩阵概念的问题。矩阵不仅可以用来表示方程组，还可以表示其他相关内容。例1在解析几何中，平面直角坐标系的旋转公式是其中为x轴与x轴的夹角。新旧坐标之间的变换就可以用一个22矩阵来表示，这个矩阵表示平面上的一个坐标变换（坐标轴的旋转）。例2含三个变量x,y,z的一个二次齐次函数（又称二次型）.二次型可以用矩阵来表示，这里对应的二次型的矩阵是一个33矩阵。注意矩阵的元素。有时，考虑二次曲线的一般方程，其左端也可以用33矩阵表示。例3某物资由p个产地运往n个销地。假设由第i个产地运往第j个销地的数量是，那么这样一个调运方案就可以用下面的pn

5、矩阵来表示： .例4熟知的向量是矩阵的特殊形式。正如恩格斯指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上它起源于外部世界的事实。但是，为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系，必须使它们完全脱离自己的内容，把内容作无关紧要的东西放在一边，”。§4 矩阵的运算矩阵运算可以看成是矩阵之间的一些最基本的关系，包含矩阵的加法、减法、乘法、矩阵的数乘、矩阵的转置以及矩阵的逆等。一、 矩阵的加减法矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。当然，相加的矩阵必须具有相同的行数与列数。不难验证矩阵加法具有下面的性质：结合律，交换律，零矩阵

6、，负矩阵。因此，可以利用负矩阵定义减法（减法的三种定义：一仿加法，二用解矩阵方程，三用负矩阵）。在例3中，物资调运可以用一个矩阵来表示，如果还要调运另一种物资，那么，还用一个矩阵来表示，总的运输量也可以表示为一个矩阵，显然这个矩阵就等于上面两个矩阵的和。再如，张王李刘四位同学的语文、数学、外语、物理、化学某次测验的成绩可用5个41矩阵来表示： 那么，这四个学生这5门课程各自的总分可以用矩阵加法表示： 。二、 数与矩阵的乘法以一个数乘以矩阵的每一个元素所得的矩阵叫做数与矩阵的相乘的积。这样的定义可以从矩阵的加法中看出，考虑两个相同的矩阵相加、考虑三个相同的矩阵相加等等，类似于数的乘法的引入。不难

7、验证，数与矩阵相乘满足如下性质：其中是数，是矩阵。矩阵数乘的实际例子。甲乙丙丁四所学校到机场、码头、火车站的距离（单位：千米）可以用下列矩阵表示：，那么以米作为距离单位，就得 。 三、矩阵的乘法在给出矩阵乘法定义前，先给出引出矩阵乘法的问题。设变量与变量之间有如下关系：变量与变量之间有如下关系：为求变量与变量之间的关系，代入可得可以改写成： 其中.由此可以给出矩阵乘法的定义。即用第一个矩阵的第i行的相应元素与第二个矩阵第j列的相对应的元素的乘积的和作为矩阵的第i行第j列的元素。只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才可以相乘。利用矩阵的乘法，就很容易表示线性方程组。不难证明，

8、矩阵乘法满足下面的性质：（1）结合律，（2）关于乘法与加法的分配律 ，（3）数乘结合，（4）单位阵，这里为单位阵。但要注意，（1）对于矩阵的乘法一般不满足交换律，（2）两个不为0的矩阵相乘，乘积可能为0。再用一个实例来说明。有甲乙两个车间都生产a,b,c,d四种产品，每月生产量（单位：千件）由矩阵给出，每生产1千件同一种产品，一、二、三月份的耗电量各不相同，a,b,c,d四种产品的这三个月的耗电量（单位：千度）由下面的矩阵给出：.A与B的乘积给出了甲乙两个车间一、二、三月份的耗电量所表示的矩阵。四、矩阵的转置把一个矩阵的行列互换，所得到的矩阵称为原矩阵的转置。显然，转置矩阵满足以下规律： 五、

9、矩阵的逆设A是n阶方阵，E是n阶单位方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A是一个非奇异矩阵，且B为A的逆矩阵。显然，若B为A的逆矩阵，则A也为B的逆矩阵，即A与B互为逆矩阵。注意，并不是所有矩阵都有逆矩阵，只有方阵才可能有逆矩阵；但若有逆矩阵，则逆矩阵必唯一。我们还有下面的性质：那么，如何求矩阵的逆矩阵呢？（1）根据逆矩阵及矩阵相等的定义；（2）利用代数余子式、伴随矩阵的概念，根据行列式展开式，；（3）利用矩阵的初等变换，。求出了逆矩阵，就方便地求解线性方程组：。§5 矩阵的等价前面，介绍过线性方程组与初等变换，那时的矩阵的初等变换（即位置变换、倍法变换与消法变换）是行初

10、等变换，实际上，矩阵的初等变换可以扩展到列初等变换。矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换。对单位矩阵施行一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵，初等矩阵只有三种形式，初等矩阵是可逆矩阵，且逆矩阵仍为初等矩阵。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A与B等价。矩阵的等价是一个等价关系。显然，任何矩阵都等价与一个对角形矩阵。由此，矩阵可逆的充分必要条件是矩阵与单位矩阵等价。不难得知，对一个矩阵施行一次初等行（列）变换相当于用一个相应的初等矩阵去左（右）乘这个矩阵。这样就得到上面借助于初等变换求矩阵的逆的方法。§6 n维向量一个矩阵有若干行和若干列组成，我们经常要讨论矩阵的

11、行（列）之间的关系。矩阵的一行（列）是由若干个数组成的有序数组，这样的有序数组通常称为向量。向量也是一个很重要的概念，它有非常广泛地意义，例如，力、位移、速度、加速度等等都是既有大小又有方向的量它们都是向量。平面上一个向量要用两个数来刻划，空间一个向量要用三个数来刻划，普通几何中向量的概念正是这些量的抽象。但有很多事物，如多项式、方程等，需要更多的数才能刻划，这就需要n维向量的概念。将向量看成特殊的矩阵会带来很大的方便。我们可以用矩阵来解释向量，但向量本身又有其特殊性。我们有：向量的线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的等价。§7 矩阵的秩矩阵的秩是反映矩阵的某种本质属性的一

12、个概念，矩阵的秩与向量的秩的概念有关。向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩。可以证明：向量组的任何极大线性无关组所含向量的个数相等；等价的向量组具有相同的秩。一个矩阵的秩就是它的行（列）向量组的秩，即矩阵的秩等于行秩=列秩。实际上，矩阵的秩等于与它等价的对角形矩阵中1的个数。§8 线性方程组解的结构齐次线性方程组的基础解系给出了齐次线性方程组解的结构；非齐次线性方程组未必有解，有解的充分必要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，且解的结构可以借助于导出的齐次线性方程组的基础解系及特解来描述。§9 变换变换这个词的意义比较广泛，前面我们给出了矩阵的初等变换，我们现

13、在涉及的变换是指几何的变换，而且是说平面几何中关于点的变换，不是指其它变换。如，把平面上的每个点都向右移动2厘米；把平面上每个点都绕一个固定点逆时针旋转30度；把平面上每个点关于一条固定直线对称等都是变换。一般地，把平面内的每个点变成同一个平面内的和它相应的唯一的一点，不同的点所变成的点不相同，并且平面内的每一点都是由某一个相应的点变成的，这就是平面内的点的一个变换。变换就是一个映射，而且是一个一一映射。换句话说，变换就是从平面内的点的集合到同一个平面内的点的集合的一个一一映射。把两个变换复合起来就得到了一个新的变换。变换的复合一般不具有交换性。恒等变换是一个不动的变换，它把平面上的每个点都变

14、成它自己。把变换的复合看成变换的乘积，可得到变换的逆变换的概念。变换的逆变换就是这样一种变换，无论它从左或从右复合，结果都得到恒等变换。每一个变换都有逆变换。§10 反射变换一个关于直线l的反射有逆变换，它的逆变换就是关于直线l的反射本身。反射具有保距的性质。即，经过反射，两个原象之间的距离等于相应的两个象之间的距离。一条线段上的所有点经反射后得到的是一条线段上的所有点；一条射线经过反射得到一条射线；一条直线经过反射得到一条直线。反射的保距性质蕴涵了反射的保角性质。一个反射将两条垂直线变成两条垂直线，将两条平行线变成两条平行线；将多边形变成全等的多边形。例一面直贴墙壁的镜子，要使身高

15、从160cm到190cm的人都可以自己看到全身，那么镜长至少是多少？假定一个人的眼睛位于头顶下方10cm处。关于直线l的反射使A为固定（不动）点的充分必要条件是A在直线l上；关于直线l的反射使直线m上的每个点都为固定点的充要条件是m=l；关于直线l的反射使直线m为固定直线的充要条件是m=l或m与l垂直。§11 平移变换把平面上的每个点都按一定的方向移动一定的距离，这样的一个变换是一个平移。如果移动的距离为0就为恒等变换，因此，恒等变换是平移变换的一个特例。把A点移动到B点有且仅有一个平移，即A，B两点确定一个平移。经过平移之后，两个原象之间的距离等于相应的两个象之间的距离，即平移也具

16、有保距性。由此，把一个图形上的所有点进行平移得到的是与原图全等的图形。分别对平行线l和m的两个反射的复合是一个平移，这个平移的方向是从l到m而垂直于直线l（或m）的方向，这个平移的距离等于平行线l与m间距离的2倍。反之也对。也就是说，反射与平移之间有下面的关系：两个关于两条平行线的反射是一个平移，而一个平移可以写成两个关于两条平行线的反射的积。在这个意义上，反射是比平移更简单的一种变换。§12 旋转变换把平面内每个点都绕一个定点按一定的转向转动一定的角度，这样的一个变换是一个变换，这个定点称为旋转的中心。如果两个旋转的角度相差为360度的整数倍，则实际上这两个旋转是同一个旋转。旋转角

17、度为0是即为恒等变换，因此，恒等变换也是旋转变换的一个特例。容易看到，经过一个不是恒等变换的旋转，平面内只有一个点不动，这个点就是旋转的中心。旋转变换也是一个保距变换。由此，把一个图形上的所有点经过旋转所得到的点组成的图形与原来的图形全等。反射与旋转之间有下面的关系：两个关于两条相交直线的反射的积是一个旋转，而一个旋转可以写成两个关于两条相交直线的反射的积。两个反射的积是一个平移，或者是一个旋转，只有当两个反射的积是一个恒等变换时，这个积才即使平移又是旋转。绕同一个中心的两个旋转的复合仍是绕这个中心的旋转，且这种复合满足交换律；绕不同中心的旋转的复合一般不满足交换律。进一步研究两个不同中心的旋

18、转，可以发现下面有意义的事实：一个角的旋转与一个角的旋转的复合，不管中心是否相同，总是一个角的旋转；但在时，就是一个平移。事实上，我们可以把两个旋转的积分解成4个反射的积，这4个反射的积又可以合并成2个反射的积，而两个反射的积或者是一个旋转或者是一个平移，从而知道两个旋转的积或者是一个旋转或者是一个旋转或者是一个平移，并且看到两个旋转的积是一个旋转时，旋转角等于原来两个旋转角的和。半转，顾名思义，就是转半周的意思，即把平面上的每个点都绕一个定点按一定的转向转动180度，这样的旋转就是一个半转。半转就是所熟悉的关于旋转中心对称。半转不但具有一般旋转所共有的性质，还具有一般旋转所没有的特殊性质。一

19、个半转有逆变换，就是原来的半转本身。经过一个半转，能使这个半转的中心是不动点，以半转中心为圆心的圆是不动圆，过半转中心的直线为不动直线。半转具有保距性。半转与反射之间有下列关系：两个关于两条互相垂直的直线的反射的积就是关于两直线交点的一个半转；一个半转可以写成两个关于两条经过半转中心而互相垂直的直线的反射的积，这里反射的次序可以任意。两个半转的积是一个平移，这个平移的方向就是从一个中心到另一中心的方向，平移的距离就是两个中心距离的2倍。三个半转的积是一个半转。§13 保距变换反射、平移、旋转都是保距变换。具有保距性质的变换统称为保距变换。一个图形经过保距变换得到的图形与原来的图形全等

20、。保距变换的逆变换也是保距变换。两个保距变换的积仍是保距变换。问题：有两个全等的三角形和处在平面上的任何位置，能否找到一个保距变换使得？回答是肯定的，有且只有一个这样的保距变换。事实上，（1）作AD的垂直平分线（A与D重合时跳过，下同），得反射，；（2）作的垂直平分线,易知,D在上,得反射，;(3)的垂直平分线就是DE.令 即为所求.由上可以看出,这个保距变换至多是三个反射的积.任何一个保距变换一定把某个全等的三角形变成与之全等的三角形,因此,任何保距变换可有下面几种(1)本身是反射(2)可化为两个反射的积(3)可以化为三个反射的积。也就是说，一个不是恒等变换的保距变换是一个反射，平移，旋转，

21、平移与其后反射的积，或者旋转与其后反射的积。反射变换在保距变换中起者十分重要的作用。§14 相似变换与位似变换保距变换是把图形变成全等图形的变换。而相似变换是范围更广的变换。平面内的一个变换，如果任意两个原象之间的距离与相应的象之间的距离的比是一个大于0的常数，那么这个变换就是一个相似变换。这个常数等于1时即为保距变换。因此，保距变换是相似变换的一个特例。相似变换的逆变换仍为相似变换，对应的常数为原来常数的倒数。相似变换把一个三角形变成与它相似的三角形；相似变换把共线的三点变成共线的三点；相似变换把一条直线变成一条直线，把一条射线变成一条射线，把一个角变成相等的角，把平行线变成平行线

22、，把垂线变成垂线等等。相似变换与保距变换有许多相似的性质，但相似变换不一定把线段变成相等的线段。一个相似变换把一个多边形变成与它相似的多边形。两个多边形相似，对应角相等对应边成比例。相似变换把一个一般图形变成与它相似的图形。两个相似变换的乘积是一个相似变换，其相似比为原来两个相似比的乘积。位似变换是相似变换的一个特例。设有一个变换，把一个定点C变成这点本身，而把平面内的其它点P变成射线CP上的一点，使得，那么这样的变换叫做以C为中心比为r的位似变换。位似又分为放大与缩小两种。位似变换将任意两点的距离等比例放大或缩小，因此位似变换是相似变换的一种特例。两个图形，如果能够通过一个位似变换把其中一个

23、图形上的所有点变到另一个图形上的所有点，那么这两个图形叫做位似图形。两个位似图形一定是相似图形，但反过来，两个相似图形却未必为位似图形。两个相似图形如果对应顶点的连线通过同一个顶点，那么它们就是位似图形，否则就不是。因此，两个相似图形未必有位似变换把其中一个图形变成另一个图形。但是，一定存在唯一的相似变换把其中一个图形变成另一个图形。相似变换是一个位似变换与一个保距变换的积，这个结果刻画了相似变换与位似变换和保距变换之间的一个重要关系。保距变换与相似变换都能把一条直线上的所有点变成一条直线上的所有点，因此，有更一般的保线变换，这里不再讨论（如挤压变换就是保线变换但不是相似和保距变换）。§14 用矩阵表示变换前面我们讨论了矩阵，也讨论了变换，这里讨论它们之间的联系，即用矩阵来表示各种变换，也可以用矩阵来研究变换。例1挤压变换，即。例2平面上线性变换的一般形式，即。这里。为了与逆矩阵联系，又可以如下表示：。因此，变换与矩阵对应，逆变换与相应的逆矩阵对应，逆变换可以用逆矩阵来表示。用矩阵表示变换的另一个好处是，变换的复合可以用相应的矩阵的乘积来表示，矩阵相乘的次序与变换复合的次序相同。怎样用矩阵来表示反射、平移、旋转等保距变换呢？例3对x轴的反射，y轴反射，对直线的反射，对