华杯赛小高组专题上

1、华杯赛小高组第一讲 智巧问题例1 有一个猎人带了一条狼狗，一只兔子和一筐青菜，要乘船到河对面去，河里有一只小船，因为船小，猎人一次只能带一样东西，但是他不在时，狼会咬兔子，兔子会吃青菜，请你想一想猎人应该怎样安排过河？课堂练习：甲、乙、丙三个旅客要渡过一条河，但河上没有桥，这三个人又都不会游泳。这时三人发现河上有两个孩划着一条小船，船太小，最多只能坐一个旅客，一个旅客和一个小孩同时过河都不行。请你给三位旅客设计一个过河方案。例2 池塘里睡莲的面积每天长大一倍，经过20天就可以长满半个池塘，问需经过多少天这些睡莲能长满整个池塘？课堂练习1、 一种荷叶每天长大一倍，第12天把池塘盖满，求盖满池塘的

2、一半是多少天？2、 一条小虫长到成虫每天长大一倍，20天长到20厘米。问：长到5厘米长时用了几天？例3 一只蜗牛从12米的井底沿井壁向上爬，白天向上爬3米，晚上向下滑2米，这只蜗牛几天能爬到井口？课堂练习：1、一只蜗牛从墙角沿墙壁向10米高的墙头爬去，白天向上爬4米，到夜里向下滑3米，问这只蜗牛什么时候能爬到墙头？2、一只蚯蚓从深9米的井底向井口爬去，白天向上爬3米，晚上向下滑1米，求这只蚯蚓几天能爬到进口？例4 顾客向售货员买15元的物品，付了一张面值50元的钞票，售货员没有零钱找，便向邻柜台兑换零钱。当交易完毕顾客走后，邻柜发现这张50元是假币，该售货员于是又还给邻柜50元钱，那么该售货员

3、受到了多少元的损失？课堂练习：一位出租车司机做了一笔80元的生意，乘客付了一张100元的钞票，接过找回的20元钱走了，这时司机发现乘客付给他的100元是假钞，你知道司机损失了多少钱吗？例5 一杯牛奶，小刚喝了一半后，用水加满，再喝一半后，又用水加满，最后全部喝掉。小刚喝了几杯牛奶？几杯水？课堂练习：开心超市举行促销活动：4个空可乐瓶可换一瓶可乐。小巧的妈妈买回来24瓶可乐，小巧一家最多可以喝到多少瓶可乐？例6 大杯子能装50克水，小杯子能装30克水。你能用这两只杯子量出70克水吗？课堂练习：1、一休去河边打水，他有两个桶，大桶能装9升水，小桶能装4升水，要想恰好从河中打上6升的水带回去，他应该

4、怎么办？2、 有一个磅秤，只能称40千克以上的重量。小明、小红和小华三个小朋友的体重都在20至39 千克之间，他们都想知道自己的体重。想一想，怎样才能称出每个人的体重？第二讲图形与面积1. 下图是由16个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是400平方厘米,那么它的周长是_厘米.2. 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕,下面的图形中,每一小方格的面积是1.那么7,2,1三个数字所占的面积之和是_.3. 下图中每一小方格的面积都是1平方厘米,那么用粗线围成的图形面积是_平方厘米.4. 下图的两个正方形,边长分别为8厘米和4厘米,那么阴影部分的面积是_平方厘米.5、已知正方

5、形甲的边长是4厘米，正方形乙的面积是64平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？6. 在中,已知的面积是18平方厘米,则四边形的面积等于_平方厘米.7. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且平行四边形的面积为54平方厘米，求SBEF。8. 右图是一块长方形公园绿地，绿地长24米，宽16米，中间有一条宽为2米的道路，求草地（阴影部分）的面积。9.右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）10.右图是边长为4厘米的正方形,=5厘米、是_厘米.11. 如图正方形的边长是4厘米,是3厘米,长方形的长是5厘米,那么它的宽是_厘米.12. 在右图中，

6、三角形EDF的面积比三角形ABE的面积大6平方厘米，已知长方形ABDC的长和宽分别为6厘米、4厘米，DF的长是多少厘米？13. 如图，三角形ABC的面积是24平方厘米，且DC=2AD，E、F分别是AF、BC的中点，那么阴影部分的面积是多少？14. 如下图,正方形的边长为12, 是边上的任意一点,、分别是边、上的三等分点,、是边上的四等分点,图中阴影部分的面积是_.15. 在等腰梯形ABCD中，AD=12厘米，高DF=10厘米。三角形CDE的面积是24平方厘米。求梯形面积。16.ABCD是正方形，BE=EC，AB=12厘米，阴影面积是多少？17.如图，正方形ABCD的边长是12厘米，CE=4厘米

7、。求阴影部分的面积。18.计算图形的面积。（至少用3种方法）（单位：米）19. 右图中的正方形的边长为10, 则阴影部分的面积为 。20.第三讲 逻辑推理 各种通过枚举或列表分析法求解的逻辑推理问题枚举即为逐个探讨各种假设的正确性，进而得出确切的信息；列表即将同一对象的两种不同表达方式分别用行与列标出，通过横向与纵向的不断比较得出结论1、在三只盒子里，一只装有两个黑球，一只装有两个白球，还有一只装有黑球和白球各一个现在三只盒子上的标签全贴错了你能否仅从一只盒子里拿出一个球来，就确定这三只盒子里各装的是什么球?2甲、乙、丙、丁4位同学的运动衫上印有不同的号码赵说：“甲是2号，乙是3号”钱说：“丙

8、是4号，乙是2号”孙说：“丁是2号，丙是3号”李说：“丁是l号，乙是3号”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半那么丙的号码是几号? 3某校数学竞赛，A，B，C，D，E，F，G，H这8位同学获得前8名老师让他们猜一下谁是第一名A说：“或者F是第一名，或者H是第一名”B说：“我是第一名”C说：“G是第一名”D说：“B不是第一名”E说：“A说得不对”F说：“我不是第一名，H也不是第一名”G说：“C不是第一名”H说：“我同意A的意见”老师指出：8个人中有3人猜对了那么第一名是谁? 4某参观团根据下列条件从A，B，C，D，E这5个地方中选定参观地点：若去A地，则也必须去B地；B，C两地中至多去一地；D

9、，E两地中至少去一地；C，D两地都去或者都不去；若去E地，一定要去A，D两地那么参观团所去的地点是哪些? 5人的血型通常分为A型、B型、0型、AB型子女的血型与其父母间的关系如表10一l所示现有3个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为O，A，B每个孩子的父母都戴着同颜色的帽子，颜色也分红、黄、蓝3种，依次表示所具有的血型为AB，A，0问：穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子? 6如图，有一座4层楼房，每个窗户的4块玻璃分别涂上黑色和白色，每个窗户代表一个数字每层楼有3个窗户，由左向右表示一个三位数4个楼层表示的三位数为：791，275，362，612问：第二层楼表示哪个三位

10、数? 7房间里有12个人，其中有些人总说假话，其余的人说真话其中一个人说：“这里没有一个老实人”第二个人说：“这里至多有一个老实人”第三个人说：“这里至多有两个老实人”如此往下，至第十二个人说：“这里至多有11个老实人”问房间里究竟有多少个老实人? 8甲、乙、丙、丁约定上午10时在公园门口集合见面后，甲说：“我提前了6分钟，乙是正点到的”乙说：“我提前了4分钟，丙比我晚到2分钟”丙说：“我提前了3分钟，丁提前了2分钟”丁说：“我还以为我迟到了1分钟呢，其实我到后1分钟才听到收音机报北京时间10时整” 请根据以上谈话分析，这4个人中，谁的表最快，快多少分钟? 9桌子上放了8张扑克牌，都背面向上，

11、牌放置的位置如图lO-3所示现在知道：每张牌都是A，K，Q，J中的某一张；这8张牌中至少有一张是Q；其中只有一张A；所有的Q都夹在两张K之间；至少有一张K夹在两张J之间；至少有两张K相邻；J与Q互不相邻，A与K也互不相邻试确定这8张牌各是什么?10甲、乙、丙、丁4个同学同在一间教室里，他们当中一个人在做数学题，一个人在念英语，一个人在看小说，一个人在写信已知： 甲不在念英语，也不在看小说； 如果甲不在做数学题，那么丁不在念英语； 有人说乙在做数学题，或在念英语，但事实并非如此； 丁如果不在做数学题，那么一定在看小说，这种说法是不对的； 丙既不是在看小说，也不在念英语 那么在写信的是谁? 11在

12、国际饭店的宴会桌旁，甲、乙、丙、丁4位朋友进行有趣的交谈，他们分别用了汉语、英语、法语、日语4种语言并且还知道： 甲、乙、丙各会两种语言，丁只会一种语言； 有一种语言4人中有3人都会； 甲会日语，丁不会日语，乙不会英语； 甲与丙、丙与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈； 没有人既会日语，又会法语 请根据上面的情况，判断他们各会什么语言? 12.甲、乙、丙3个学生分别戴着3种不同颜色的帽子，穿着3种不同颜色的衣服去参加一次争办奥运的活动已知： 帽子和衣服的颜色都只有红、黄、蓝3种： 甲没戴红帽子，乙没戴黄帽子； 戴红帽子的学生没有穿蓝衣服： 戴黄帽子的学生穿着红衣服： 乙没有穿黄色衣服试问：甲、

13、乙、丙3人各戴什么颜色的帽子，穿什么颜色的衣服? 13甲、乙、丙、丁、戊5人各从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，这5本书的厚度以及他们5人的阅读速度都差不多，因此总是5人同时交换书经过数次交换后，他们5人每人都读完了这5本书现已知： 甲最后读的书是乙读的第二本； 丙最后读的书是乙读的第四本； 丙读的第二本书甲在最初就读了； 丁最后读的书是丙读的第三本； 乙读的第四本是戊读的第三本； 丁第三次读的书是丙最初读的那本 设甲、乙、丙、丁、戊5个人最后读的书分别为A，B，C，D，E，根据以上情况确定他们5人读的第四本书各是什么书? 14如图10-4，这是一个挖地雷的游戏，在64个方格中一共

14、有10个地雷，每个方格中至多有一个地雷对于写有数字的方格，其格中无地雷但与其相邻(有公共边或公共顶点)的格中有可能有地雷，地雷的个数与该数字相等请你指出哪些方格中有地雷 155位学生A，B，C，D，E参加一场比赛某人预测比赛结果的顺序是ABCDE，结果没有猜对任何一个名次，也没有猜中任何一对相邻的名次(意即某两个人实际上名次相邻，而在此人的猜测中名次也相邻，且先后顺序相同)；另一个人预测比赛结果为DAECB，结果猜对了两个名次，同时还猜中了两对相邻的名次求这次比赛的结果第四讲 排列组合加法原理和分类计数法加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中

15、有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+mn种不同方法。分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类。乘法原理和分步计数法 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3××mn种不同的方法。合理分步的要求：任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完

16、成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。例1、 在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有_种。例2、用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字能够组成_个没有重复数字的三位数。排列及组合基本公式1. 排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 Pmn表示. Pmn

17、=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= (规定0!=1). 2. 组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cmn表示.Cmn = Pmn /m!= 规定：Cnn =1, C0n=1.一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用Cmn = Cn-mn 来简化计算。3. n的阶乘(n!)n个不同元素的全排列： Pnn=n!=n×(n-1)×(n-2)3×2×1分类：1.相邻问题

18、捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（ ）A、60种 B、48种 C、36种 D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻

19、）那么不同的排法种数是（ ） A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A、6种 B、9种 C、11种 D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A、1260种 B、2025种 C、252

20、0种 D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）A、种 B、种 C、种 D、种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.（1）某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西

21、部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？（2） 从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种（2）从1，2，3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，100这100个

22、数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？10.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例10.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？11.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.例11.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？12.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类

23、法:抽取两类混合元素不能分步抽.例12.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（ ）A、140种 B、80种 C、70种 D、35种13.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例13.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？14.圆排问题线排法:把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以

24、重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成线排，其它的元素全排列.例14、5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？15.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.例15.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？16.复杂排列组合问题构造模型法:例16.马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉

25、相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？18.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例18.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？19.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例19.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的线段相交于圆内的交点最多有多少个？AB（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从到的最短路径有多少种？第五讲 容斥原理 在计数时

26、，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 例1 ：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？课练：有100位学生回答A、B两题.A、B两题都没回答对的有10人，有75人答对A题，83人答对B题，问有多少人A、B两题都答对？例2：某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，

27、其中参加足球队的有28人，参加排球队的有26人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？ 课练：（1）某班有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的有15人.问既会游泳又会体操的有多人？（2）某班全体学生进行短跑、游泳和篮球三项测验，有4个学生这三项均未达到优秀，其余每人至少一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目及人数如下表：问这个班有多少名学生？例3： 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多个？课练：在11000这1000个自然数中，不能被2、3、5

28、中任何一个数整除的数有多少个？例4. 有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？练习：如图，三角形ABC的面积是24平方厘米，且DC=2AD，E、F分别是AF、BC的中点，那么阴影部分的面积是多少？2. 相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种第六讲 列方程解应用题1、已知3个连续自然数的和是51，求这三个连

29、续自然数。2、连续的5个奇数的和是45，这5个连续奇数分别是多少？3、篮球、足球和排球各1个，平均每个20元。篮球比排球贵12元，足球比排球贵6元，每个排球多少元？4、工程队挖一条涵洞，未挖的长度是已挖长度的3倍，如果再挖300米，未挖的长度就是已挖的2倍，这条涵洞长多少米？5、一艘轮船所带的燃料最多可用9小时，轮船从一码头顺流而下每小时可行150千米，返回时逆流而上每小时行驶120千米，这艘轮船最多开出多少千米就必须返回？6、杭州到盐城两地相距496千米，货车从杭州开往盐城，每小时行32千米，货车开出半小时后，客车从盐城开往杭州，每小时行64千米，客车开出几小时后才能与货车相遇？7、鸡兔同笼

30、，数头10只，数脚共24只，鸡兔各多少只？8、某农民养鸡若干只，已知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔的脚多16只。问鸡和兔各有多少只？9、小虎在敌人窗前听到屋子里分子弹，有一个人说：每人背45发，则多680发；若每人背50发，还多200发，有多少敌人？多少发子弹？10、一个商人估计，假如1公斤苹果卖1.2元，就得赔2元，假如1公斤苹果卖1.5元，就可赚4元，他想快点出手，以不赔不赚的价格出卖，每公斤苹果应卖多少元？11、运输公司给某单位运送200只羊，按合同规定，每只羊的运费是5元，如果运输途中死亡一只羊，不但扣一只羊的运费，还要赔偿这个单位损失40元。运输公司结账时，得到运费820元，运输途中死亡

31、几只羊？12、赵师傅从车站往吉林大学运送20台教学仪器，按规定每台运费是15元，如果损坏一台，扣除一台运费，还要赔80元钱。由于运输途中出现交通事故，赵师傅不但没有得到运费，还赔给吉林大学175元。事故中损坏了几台教学仪器？13、李会计到银行取10000元钱。他只想要20元、50元和100元面值的人民币，并且要求20元、50元的张数同样多，总张数是178张，银行应如何付款？14、有10分和20分的邮票共18张，总面值为2.80元。问10分和20分的邮票各有多少张？15、 有一元，二元，五元的人民币共50张，总面值为116元，已知一元的比二元的多2张，问三种面值的人民币各多少张？16、有3元，5

32、元和7元的电影票400张，一共价值1920元，其中7元和5元的张数相等，三种价格的电影票各多少张？17、甲、乙两地的公路长164千米，小明和哥哥骑自行车同时从这两地出发，相向而行，小明每小时行11千米，哥哥每小时行14千米。行车途中，小明修车耽误1小时，然后继续行驶直到相遇，从出发到相遇经过几小时？18、小强和小亮商量，星期四早晨8点整出家门，相向走来，小强每分钟行48米，小亮每分钟行54米。两人在距离中点30米相遇。他们两家之间的公路长多少米？19、李顺、李利结伴出去春游，每分钟走50米，出发12分钟时，李顺回家取照相机，然后骑自行车以每分钟200米的速度赶李利。骑车多少分钟追上？20、金明

33、从家步行到学校，他如果以每分钟走50米的速度，就会迟到3分钟，于是他以每分钟走60米的速度前行，结果到学校时离上课还有2分钟，金明家距离学校多少米？21、甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行，在距A地800米的地方相遇。相遇后两人继续向前走，走到对方的出发地点后，立即沿原路返回，在距B地300米的地方相遇。A、B两地之间的公路长多少米？22、一艘船从甲码头顺流而下再逆流返回，打算在6小时内回到甲码头，这艘船在静水中的速度是每小时12千米，水流速度是每小时2千米，这艘船最多走出多少千米就必须返回？23、数学竞赛有10道题，这次比赛评分规定对1题得10分。错1题倒扣2分。李玲回答了全部10道题

34、，结果只得76分。她答错了几道题？24、学校组织春游，一共用10辆客车，已知大客车每辆坐100人，小客车每辆坐60人。大客车比小客车一共多坐了520人。问大、小客车各几辆？25、五年级一班学生去公园划船，如果每条船坐4人，则少一条船，如果每条船坐6人，则多出4条船，公园里有多少条船？五年级一班有多少学生？26、运来一批西瓜，准备分两类卖，大的每千克0.4元，小的每千克0.3元，这样卖这批西瓜共值290元，如果每千克西瓜降价0.05元，这批西瓜只能卖250元，问：有多少千克大西瓜27、两个水池共蓄水40吨，甲池注进4吨，乙池放出8吨，甲池与乙池水的吨数相等，两个水池原来各蓄水多少吨？第七讲 不定

35、方程 求两个未知数方程与多个未知数方程组的自然数解的方法： 解不定方程的4个步骤：判断是否有解；化简方程；求特解；求通解 本讲讲解顺序：包括1、2、3题包括4、5题包括6、7题复杂不定方程：、依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程方程 的自然数解有哪些？解方程组： 8 4 1在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个? 2设A和B都是自然数，并且满足,那么A+B等于多少? 3甲级铅笔7角钱一支，乙级铅笔3角钱一支张明用5元钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支? 4有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?

36、5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计问：剩余部分的管子最少是多少厘米? 6某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且每三名职工带一个孩子参加男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树那么其中有多少名男职工? 7一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而

37、实现的? 8.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封? 9.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个? 103种商品的价格如表，其中的单位是元现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式? 11有43位同学，他们身上带的钱从8角到5元，钱数都各不相同每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片画片只有两种：3角一张和5角一张每11人都尽量多买5角一张的画

38、片问他们所买的3角画片的总数是多少张? 12哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”试将168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1 13(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少? (2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少? 14有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种? 15小明买红、蓝两支笔，共用了17元两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35

39、元恰好用完那么红笔的单价是多少元? 巩固练习：1庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，每29个小和尚每天共吃11个馒头.平均每个和尚每天恰好吃1个馒头，问：庙里至少有多少个和尚2 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声细心的小娟对它们叫声统计了15天，它们并不是，每天早晚都见面，在这15天内它们共叫61声问：波斯猫至少叫了多少声?3 张邱建算经百鸡问题：今有百钱，鸡翁直钱五，鸡母直钱三，鸡雏三直一,百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何?第八讲 最大公约数和最小公倍数一

40、、基本概念和知识1.公约数和最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12； 18的约数有：1，2，3，6，9，18。 12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数， 记作（12，18）=6。2.公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这 几个数的最小公倍数。例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84， 18的倍数有：18，36，54，72，90， 12和18的公倍数有：36，72，.其中36是12和18的最小公倍数， 记

41、作12，18=36。3.互质数 如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。性质1：如果a、b两数的最大公约数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。 例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。a与b的最小公倍数a,b是a与b的所有倍数的最大公约数，并且a×b=a,b×（a,b）。 例如：（18，12）= ，18，12= （18，12）×18，12=求法：1、短除法 2、辗转相减法二、例题例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个

42、数最大是多少？例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？例3 求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？ 例4 求21672和11352的最小公倍数。 例5 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？ 例6 38名工人，加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？ 例7 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共

43、用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？ 例8 一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？ 例9 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？ 例10 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？巩 固 练 习1.拖拉机前轮周长64厘米，后轮周长96厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地？2.现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的