第二章自测题答案

1、湖北民族7院理学院数值计算方法教学辅导材料陈以平编写#湖北民族7院理学院数值计算方法教学辅导材料陈以平编写第二章自测题答案1. 设/(Q可微，则求解方程x=f(x)的牛顿迭代格式是心-心)1 一广(心)2. 用二分法求非线性方程/=0在区间,历内的根，则二分“次后的误差限为答案:“+13. 设函数几丫)在区间。上上连续，若满足,则方程用)=0在区间力一定有实根.答案：./©)Ab)vO解答：因为几0在区间o,b上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必 存在c,使得几。)=0故f(x)=0 定有根.4. 用二分法求方程/(x) = x3 + x-l = 0在区间0, 1内的

2、根，进行一步后根的所在区间 为,进行两步后根的所在区间为 .答案：0.5,1,0.5,0.75；5. 用迭代法求方程加)=0的实根，把方程金)=0改写成A-(p(.r),则.©)=0的根是()(A)尸x与尸<p(x)的交点(B)尸x与)=(p交点的横坐标(C) )=.¥与X掃的交点的横坐标(D)尸呎丫)与A轴交点的横坐标答案：(B)解答：把y(X)=0表成4(p(x),满足x=(p(x)的X是方程的解，它正是v=x与)=<p(x)的交点 的横坐标.6. 牛顿法是用曲线张)上的与x轴的交点的横坐标逐步逼近几丫)=0的解,而弦截法是用曲线冗。上的与X轴的交点的横坐标

3、逐步逼近Av)=0的解.答案：点的切线；两点的连线7. 因方W)=x-4+2l=C在区间1,2上满足,所以/匕)=0在区间1,2内有根.若将方程改写为x=4-2则迭代函数讽0=4-2*，乂因为，故迭代公式(收敛，不收敛，二选一).答案:/0)<0,/(2)>0 : |/(x)|=|-2xln2|>21n2«1.3863>l；不收敛8. 为求方程卩-/-1 = 0在心=1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并 建立相应的迭代公式，试分析每种迭代公式的收敛性.1）兀=1+%2,迭彳弋公式忑4=1 + %；2）,? = l+x2,迭代公式忑乜=/ +3）X

4、2 = ,迭代公式尽* = 打兀TX-1解:vl.43-1.42-1 =-0.216 <0, 1.53-1.52-1 = 0.125 >0 1.4丄5为有根区间。1)A = 1 + 1/X3,勿 x) =l + l/x|0卜-p-召0.7X3湖北民族7院理学院数值计算方法教学辅导材料陈以平编写#湖北民族7院理学院数值计算方法教学辅导材料陈以平编写迭代公式耳+i =1 + 1/彳收敛。 2 22)P =l + x2, 久 Q = yjl + x2, (p (x)| = i(l+.v2) 5x2x < 2：二 / (I+ 1.0) 了 « 0.63 <10(兀)-

5、扣-1）峙34>12迭代公式+ =收敛。3).=,久 i)=.X-ly/x-1迭代公式如发散。lxk -19.方程a-3 + 2x2+10.v-20 = 0在x = l附近有根，试建立收敛的简单迭代格式. 解:令/(x) = ? + 2x2+10x-20,则 /(1) =-7 <0,/(1.5) = 2.8750 >0 ,乂当xel,1.5时,/V)>0,故方程在1,1.5上存在唯一根.将原方程改为20A°匕 + 2X + 10则迭代函数20做丫)-AT + 2X + 10因为1 八 I40X+40/40x1.5 + 40(0 = T < T VI, X

6、 w 1J.511 (F + 2x + 10)2(1.5- + 2X1.5 + 10)-故迭代格式和2 + 2心0收敛.10. 构造求方程”+10x-2 = 0的根的迭代格式陥厂俠心）, =0丄,2厂，并讨论收敛性.解：将方程fM = 0变形为x = (2-ev),得迭代格式x/r+1=(2-er")因对/W = er +10X-2,成立/(0)= -1 <0,/(1)= 8 + e>0XG 0J11又当吋，.v) = (2-er), |(x)|=且厂(x) = er+10>0对Vxw(-s, + s)成立,故/(x) = 0在0, 1内有唯一实根. ".

7、e t <<110 10故迭代格式 S厂2（2-“"）收敛.11. 给定方程/(x) = (x-l)er-l = O1) 分析该方程存在儿个根：2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字:3) 说明所用的迭代格式是收敛的.解：1)将方程(x-l)ev-l = O(1)改写为x -1= ev(2)作函数 fi(x) = x-lt /2(x)=e-"的图形(略)，知(2)有唯一根 X* e (1,2).2)将方程(2)改写为x = l + e-xx =i+e心构造迭代格式(k = 0X2,-)l/o =1.5计算结果列表如下:k1234567891.223131.

8、294311.274091 279691.278121.278561.278441.278471 278463)因(p(x) = 1+ e v, 0(x) = -e'A当 xel,2时，w(x)g0(2),/(1)u1,2,且|(px) < e_1 < 1 所以迭代格式耳+1"(忑)伙= 0X2, )对任意x0 eU均收敛.12.解:试构造迭代收敛的公式求解下列方程：cos x+ sin xx=4 迭代公式和=竺土也4ra ,、 cosx+sinx |因勿 x)=4，9°)卜(1)(1)(2) x=4-2r.-sinx+ cosx4令戶，故公式收敛.5湖

9、北民族7院理学院数值计算方法教学辅导材料陈以平编写(2)设f(x)=x-4 + 2则/<OJ>0,故有根区间为1, 2. 因 久。=4 - 2*, |0(x)| = |-2 vln2|> 21112 «1.36829 > 1 故不能用和=4-2“来迭代求解.若将原方程改写为 x= ln(4-x)/In 2,此时(p(x) = ln(4 -a)/In 2,-1 14-x 11121 1 1<< 14-2 111221112故可用迭代公式忑* =來求解111213. 已知x =(p(x)在区间a,b内只有一根，而当avxvb时，|0(小|*>1,

10、试问如何将 X二仅X)化为适丁迭代的形式？试将2®化为适丁迭代的形式，并求a = 4.5 (弧 度)附近的根.解：由反函数微分法则有 (0一】(兀),= 卩故当 |(x)|>* >1 时，有 |(0 】(/)'卜若将X =(p(x)改写为x=(Px)则迭代格式母+1 = 01(忑)伙= 0,1,)是收敛的.为求方程“/gx在x=4.5 (弧度)附近的根，改写方程为：x = 7T + arclgx 得迭代格式：+ arctxk用搜索法知在4.45,4.50内有根，取勺=4.45迭代，x= 4.49341.14. 证明计算心(°0)的牛顿法迭代公式为：和=*

11、(斗+邑)/ = 0,，并用它求VIZ Xn的近似值(迭代1步求出州即可)解(1)因计算需等于求x2-n = 0的正根，令f(x) = x2-at则fx) = lx 代入牛顿法迭代公式得二扣+丄)2 百7湖北民族7院理学院数值计算方法教学辅导材料陈以平编写(2)设 f(x) = x2-29 因 /a)= l2-2 = -l<0, /(1.5) = 1.52-2>0 所以 x* = >/2 g1J.5在1丄5上 f'(x) = 2x>0t r(x) = 2>0由 /(15)/”(15)>0,取心=1.51217用(1)导出的迭代公式计算得i=tCv0+

12、 ) = « 1416715. 应用牛顿法于方程x" - d = 0(a>0),试导出求x=a的迭代公式解:令f(x,则"亦为方程f(x) = xn-a = Q的根，且f 5 = nx"'故求x=i的牛顿迭代格式为X"二耳-二f =(1-丄)耳+_篡.nxkn nxk因为/(0) = -r/<0 ,由/的连续性知，在0点的邻域内存在一点xL>0,使 /(丫厶)<0,又取心=(1 + °),则 /()>0 .在氐心上，/ (x) =0 , /"(X)= /(«-i)r-3不变号，

13、取初始值心满足/(心)厂(心)>0,则牛顿迭代序列收 敛于f(x) = xn-a的根，即“诉16.解:牛顿迭代格式为:建立利用方程x3-c=0求近(c > 0)的Newt on迭代格式，并讨论算法的收敛性.因为/(0)=-c<0 ,由f(x)的连续性知，在0点的邻域内存在一点址>0,f(xL)<0 ,又取心=1 + 00,则 f(xK)>0 .在氏,心上，/r(x) = 3x2 >0 , /'(.v) = 6x>0,不变号,取初始值必满足/(x0)y(x0) > 0,则上述牛顿迭代序列收敛于f(x)=x3-c = 0的根.8湖北民族

14、7院理学院数值计算方法教学辅导材料陈以平编写17-建立利用方程一十。求必 >。)的New迭代格式，并讨论算法的收敛性.解：牛顿迭代格式为：无乜=无-心)广(心)#湖北民族7院理学院数值计算方法教学辅导材料陈以平编写#湖北民族7院理学院数值计算方法教学辅导材料陈以平编写令/*(x) = x-tr，因为当 x>0 时，广(x) = l + 40,所以厂(c) = l+p = O TXC故上述Newton迭代产生的迭代序列局部收敛于坯.18. 利用Newton法导出求下列各式值的迭代格式：(1) ；，不使用除法运算；b(2) 亦，不使用开方运算；(3) 1/丽不使用开方和除法运算.解：令

15、/W =丄-b,方程f(x) = 0的根就是1/b.X又f (a) = -x-2,因此求/(X)= 0的根的Newton格式为心+i = -r=xk + 忑一加；=2无一加； 因f(x) = x2 -b = 0的根就是丽，而f '(x) = 2xy b b所以求/W = 0根的Newton迭代格式为兀冲=心-=-(+)2无2血(3) 方程/(x) = 4- = 0 的根就是21/少，而 f '(x) = -2x-3因此求/(X) = 0的根的Newton格式为:19. 写出求解方程/(X)= -1 = 0的Newton迭代格式,并判断以下情形的收敛性. X(1) 心>2

16、或心 <0；(2) Xq = 2sJcr0 = 0 ；(3) 0 < x0 < 2 .±-1解：牛顿迭代格式为：无+1 =无-f)= xk = 2xk -卅伙=0,2,)广(忑)_2_xk由上述格式得 1 - 忑乜=1 - lxk + xf = (1- xj3 = = (1- .¥0)2* (k = 0J,2,)即Xk = U _ xq )' 1（1）当 x0 2 £?Jcv0 0 时，limQ-x。）丁故迭代序列g 不收敛：A-»oo（2）当心=2或r。= 0时，|l-x0 |=1, ihnxk =0 ,迭代序列xj收敛,但不收敛于人一8方程的解；（3）当 0旺2 时，|1- x0 |1,从而山11（1一旺）'=0 , lim x. = 1,迭代序列无火一8VT8收敛，且收敛于方程的解.20. 写出用弦截法求方程PH 1=0在x=1.5附近的根的迭代公式. 解 设心）=.卩_”_1,因为/= _1VO, /（2）=30,所以1，2为兀0=0的有根区间.