实分析与复分析拓扑学预备知识PPT课件

1、第二章 正Borel测度第1页/共34页拓扑学预备知识1.22.3X设设如如节节中中定定义义的的拓拓定定义义扑扑空空间间，(a),cEXE 闭闭集集称称是是如如果果是是开开集集X（显显然然 ， 是是即即开开又又闭闭的的，闭闭集集的的有有限限并并是是闭闭集集，(b),EXEE 的的是是包包含含 的的最最包包小小闭闭集集闭闭 =:.EFEF 闭闭闭闭集集的的任任意意交交是是闭闭集集）第2页/共34页(c)KXK 紧紧的的, ,称称是是如如果果 的的每每一一个个开开覆覆盖盖.都都存存在在有有限限子子覆覆盖盖,XX特特别别，如如果果 本本身身是是紧紧的的则则 称称为为紧紧空空间间. .(d).pXXp

2、 点点的的是是 的的任任意意包包含含域域的的开开集集邻邻 VKV 如如果果是是一一开开集集族族， 11.iinniiVVKV 都都存存在在的的有有限限子子集集族族使使得得第3页/共34页Hausdor(e),ffXp qXpq称称 是是的的，若若对对且且.pXUqVUV 点点的的邻邻域域, ,和和点点 的的邻邻域域 使使得得(f)XX局局部部紧紧的的, ,称称 是是如如果果 上上的的每每一一点点存存在在邻邻域域它它的的闭闭包包是是紧紧的的. .显显然然每每个个紧紧空空间间都都是是局局部部紧紧的的。nREE在在欧欧式式空空间间 中中， 是是紧紧集集是是有有界界闭闭集集。第4页/共34页2.4XE

3、F在在拓拓扑扑空空间间 中中，设设 是是紧紧集集定定理理是是闭闭集集，,FKF 如如果果则则 是是紧紧的的。 cVFWFF 设设是是 的的一一个个开开覆覆盖盖，, ,因因为为 是是闭闭集集，1,nKKWVV 所所以以存存在在 有有限限覆覆盖盖，.F则则 是是紧紧的的 VWKK 所所以以是是 的的一一个个开开覆覆盖盖，因因为为 是是紧紧集集，证明证明1,nFVV第5页/共34页推论推论,ABBA 若若且且 是是紧紧的的，则则 也也是是紧紧的的。Hausdor2.5ff,XKX K 设设 是是空空间间，定定理理是是紧紧集集, ,cpKU WpU KW 且且则则存存在在开开集集使使得得,Hausdo

4、rffqKX 设设因因为为 是是空空，所所以以存存在在 :,qqqqqVqKUpU UV 所所以以 .UW 且且,pqpqU Vp U q V 互互不不相相交交的的开开集集，使使得得，证明证明,KK是是 的的一一个个开开覆覆盖盖 因因为为是是紧紧集集，第6页/共34页1,nqqKKVV 所所以以存存在在 有有限限覆覆盖盖， 11,nnqqqqUUUWVV 令令 ,.U Wp U KWUW 是是开开集集且且且且推论推论Hausdorf(a)f空空间间紧紧子子集集是是闭闭集集。Hausdorff(b)F空空间间中中，如如果果 是是闭闭集集，KFK 是是紧紧集集，则则是是紧紧集集。25 .KK由由定

5、定理理，紧紧集集 的的余余集集是是开开集集，所所以以 是是闭闭集集。证明证明第7页/共34页 Hausdorff2.6K 设设是是空空间间紧紧子子集集定定理理的的集集簇簇， ,KK 则则中中存存在在有有限限个个集集，它它们们 1cVKKKK 令令. . 是是中中的的一一个个元元，因因为为，111,nKKVV 所所以以存存在在有有限限覆覆盖盖，1,xxxcxxKxKxKV 所所以以对对使使得得证明证明的的交交是是空空的的。 1:,xxxcVxKxVK 所所以以11,KK是是的的一一个个开开覆覆盖盖 因因为为是是紧紧集集，第8页/共34页11,nKVV 11.nKKK Hausdo2.rff7UX

6、设设 是是局局部部紧紧空空间间定定理理的的开开集集，,KU K 是是紧紧集集. .则则存存在在一一个个具具有有紧紧闭闭包包的的,xXxKxU 因因为为 是是局局部部紧紧，开开领领域域.VKVVU 开开集集, ,使使得得 ,xxxUUxK U 是是紧紧的的，则则：是是紧紧的的证明证明,KK是是的的 一一 个个 开开 覆覆 盖盖 因因 为为是是 紧紧 集集 ，第9页/共34页1,nxxKKUU 所所以以存存在在 有有限限覆覆盖盖， 1,.inxiGUKGG 令令则则 ,.UXVG如如果果则则取取.,ccCUKCpC 否否则则，令令对对,pppWKWpW由由定定理理2.52.5，存存在在开开集集使使

7、得得 :,ppCGWpC pW 所所以以是是紧紧集集的的集集簇簇， :,ppCGWpC pW 且且= =， 第10页/共34页122.6,npppC 由由定定理理存存在在有有限限个个， 1.inpiCGW 使使 得得1,iinppiVGWKG KWKV 取取因因为为则则1incpiUVCGW 因因为为1.inpiCGW .VU 第11页/共34页 2.8f设设 为为拓拓扑扑空空间间上上的的 广广义义定定义义实实函函数数，若若 :()xf x 对对任任意意的的实实数数，是是开开集集，f则则称称 为为下下半半连连续续的的；若若对对任任意意的的 :()xf xf 实实数数，是是开开集集，则则称称 为

8、为上上半半连连续续的的。推论推论(a) 实函数连续当且仅当上半连续且实函数连续当且仅当上半连续且下半连续。下半连续。第12页/共34页(b) 开集的特征函数是下半连续的，闭集开集的特征函数是下半连续的，闭集的特征函数是上半连续的；的特征函数是上半连续的；(c) 下半连续函数簇的上确界是下半连续下半连续函数簇的上确界是下半连续且上半连续函数簇的下确界是上半连续的。且上半连续函数簇的下确界是上半连续的。证明证明(a) 由直线上开集的构造，直线上开由直线上开集的构造，直线上开集至多是可列个构成区间的并。所以集至多是可列个构成区间的并。所以只需对开区间证明就行了。只需对开区间证明就行了。第13页/共3

9、4页, 对对任任意意实实数数 1(,):()fxf x :():().xf xxf x (b) 设设V是是开集开集V上的特征函数上的特征函数, 对对任任意意实实数数 0:(),VxxX 当当时时，是是开开集集， 1:(),Vxx 当当时时，是是开开集集，第14页/共34页 01:(),VxxV 当当时时，是是开开集集，V 所所以以是是下下半半连连续续的的。同理可证同理可证闭集的特征函数是上半连续的。闭集的特征函数是上半连续的。(c) 设设ftt是下半连续函数簇是下半连续函数簇,且且gtt是是上半连续函数簇，上半连续函数簇， sup,inf,ttttffgg , 对对任任意意实实数数第15页/共

10、34页 :():(),ttxf xxfx :():().ttxg xxgx 2.9Xf拓拓扑扑空空间间 上上定定的的复复函函数数 的的义义支支集集是是集集 :()0supp .xf xf 的的闭闭包包，记记为为 ()supp.cCXfXf 为为 上上连连续续复复函函数数：是是紧紧集集suppff当当为为紧紧集集时时，称称 有有紧紧支支集集。第16页/共34页().cCX显显然然是是向向量量空空间间 事事实实上上，(a) supp(f+g)含在含在suppfsuppg中，又紧集中，又紧集的有限并是紧集，紧集的闭子集是紧集；的有限并是紧集，紧集的闭子集是紧集；(b) 两个连续复函数的和，连续复函数

11、的两个连续复函数的和，连续复函数的任意数量积都是连续的；任意数量积都是连续的；在定理在定理1.8的证明中，用的证明中，用“连续函数连续函数”代替代替“可测函数可测函数”用用“拓扑空间拓扑空间”代替代替“可测可测空间空间”，第17页/共34页取取(s,t)=s+t可以证明可以证明两个连续复函数的和两个连续复函数的和是连续的，取是连续的，取(s,t)=st可以证明连续复函可以证明连续复函数的任意数量积是连续的。数的任意数量积是连续的。2.10:XYXfXY设设 和和 是是拓拓扑扑空空间间 ，定定理理是是,()KXf K连连续续的的是是 的的紧紧子子集集. .则则是是紧紧的的。 ().Vf Kf 设

12、设是是的的一一个个开开覆覆盖盖 因因为为 是是连连续续证明证明 1.fVK 的的，所所以以是是 的的一一个个开开覆覆盖盖第18页/共34页1( ).nf KVV ().f K所所以以是是紧紧的的 111,nKfVfV K因因为为 是是紧紧集集，所所以以存存在在有有限限子子覆覆盖盖，()()cfCXf X 如如果果则则推推论论是是紧紧的的 =supp:( )0 .Xfxf x 证明证明 ()(supp )0 ,suppf Xfff 因因为为是是紧紧的的，2.10(supp )fff是是连连续续的的，由由定定理理，是是紧紧的的，第19页/共34页 ()(supp )0f Xff 从从而而是是紧紧的

13、的. .()0().cfCXXf X 若若， 非非紧紧，则则注注0()supp.f XXfX 因因为为若若，则则，是是紧紧的的0(supp ).ff 但但未未必必第20页/共34页2.11KfKX 记记号号记记号号( (1 1) )：表表示示 是是 的的紧紧子子集集，(),0()1,cfCXxXf x 对对且且()1.xK f x 对对, ,(),cfVVfCX 记记号号( (2 2) )：表表示示 是是开开集集，01,supp.ffV 且且KfV 记记号号( (3 3) )：表表示示( (1 1) )和和( (2 2) )都都成成立立. .第21页/共34页Hausdorff2.11Ury

14、hnXso设设 是是局局部部紧紧引引理理空空间间，,VXKV K 是是 的的开开集集，是是紧紧集集. .则则存存在在一一个个(),.cfCXKfV 使使得得( (1 1) )分析分析 可以利用开集和紧集上的特征函数可以利用开集和紧集上的特征函数 开集开集和和紧集紧集构造连续函数构造连续函数f, 满足满足 开集开集 f 紧紧集集, 注意注意 开集开集 是下半连续的，是下半连续的，紧集紧集是上半是上半连续的连续的.先用夹入定理先用夹入定理2.7，构造开集列和，构造开集列和紧集列。紧集列。第22页/共34页证明证明1/2,2.7,KVV 对对于于用用定定理理存存在在开开集集, ,使使得得1/23/4

15、,2.7,KVV 对对于于用用定定理理存存在在开开集集, ,使使得得3/43/43/41/2.VKVVV 是是紧紧集集，且且1/21/4,2.7,VVV 对对于于用用定定理理存存在在开开集集, ,使使得得1/41/21/41/4.VVVVV 是是紧紧集集，且且1/21/21/2.VKVVV 是是紧紧集集，且且第23页/共34页3/43/41/2KVVV 于于是是，1/21/41/4.VVVV /22:12nnknVk 如如此此继继续续下下去去，得得到到开开集集列列, , /2(1)2,3,12.nnkVnk 是是紧紧集集(2),ssrrrsVVVV 对对. .第24页/共34页,( )0,rr

16、rrx Vf xx V 1,( ).,sssx Vg xs x V 定义定义rrVfr 显显然然, ,是是下下半半连连续续的的，sup,inf,rsffgg 令令fg是是下下半半连连续续的的， 是是上上半半连连续续的的. .cSssVVgs 是是上上半半连连续续的的，第25页/共34页1/21,suppffV 0 0且且,( )rrrr KVxK x V f xr 因因为为对对(0,1)( )sup( )sup ( ) 1.rrf xf xr fg 接接下下来来只只需需证证明明就就行行了了. .,(0,1).rrfgxX r 显显然然(1),(0,1),rr srsxV 如如果果,( )( )

17、1rsrsVVf xrg x 因因为为所所以以. .第26页/共34页( )( ),rsf xrsg x ,( )0( );rrsxVfxsgx 如如果果(2),(0,1),rr srsxV 如如果果,rrrssx VVVVx V 如如果果( )0( ).rsfxsg x ,(0,1),.rsr sfg 综综上上所所述述，对对均均有有.fg 第27页/共34页( )( ).fgxXf xg x 若若，则则存存在在使使得得,(0,1),( )( ).r sf xrsg x 使使得得( ),( ),rsf xrx Vsg xx V ,.srrsVV 但但矛矛盾盾= .f g从从而而，第28页/共3

18、4页XK的的开开子子集集， 是是紧紧的的，且且1,nKVV (1,2, ),iihV in 则则存存在在函函数数使使得得12,Haus2.13dorffnV VV设设, ,是是局局部部紧紧定定理理空空间间12(1)( )( )( )1().nh xh xh xxK 12,nh hhK称称集集簇簇为为上上从从属属于于覆覆盖盖 12,nV VV的的单单位位划划分分。第29页/共34页,2.7,iixVxW 对对由由定定理理，存存在在 的的邻邻域域1,nxKKVV :1,iiVinxV 所所以以使使得得，iiiWV W 满满足足, ,是是紧紧的的， :,iiiiiWxW WV WxK , ,是是紧紧的的, ,证明证明12,mxxxK 所所以以存存在在使使得得KK是是 的的一一个个开开覆覆盖盖，因因为为 是是紧紧集集，第30页/共34页12,mxxxKWWW :1,jxijixWViinHW 对对令令,iiiHHV 每每一一个个 都都是是紧紧集集且且Urysohni由由引引理理，对对每每一一个个都都存存在在,iiiigHgV 使使得得第31页/共34页1211112()() ()( ),nnnhgggg 112121,(),hg hg g 定定