高等量子力学第一章3

1、作用于左矢的算符怎样定作用于左矢的算符怎样定义，有何性质，如何运算义，有何性质，如何运算？2 23 3 作用于左矢的算符作用于左矢的算符 AA记为AA记为()AAA伴算符A 1伴算符伴算符：在右矢空间的算符在右矢空间的算符 ，使使： AA 为为 的伴算符的伴算符（厄米共轭算符厄米共轭算符）。）。 ()ABCC B A( ,)(,)BC 2 2单一空间中伴算符的定义单一空间中伴算符的定义： 对单一空间算符对单一空间算符 ，若存在，若存在 满足：满足：CB( ,)(,)BB A向左向右A向左向右CBCB 称称 为为 的的厄米共轭算符厄米共轭算符，记为记为 。上式为。上式为3 3算符对左矢、右矢的作

2、用算符对左矢、右矢的作用： 0A0A 对任意对任意 有有 ，则，则 算符。算符。 结果是相同的结果是相同的。有那些常用的算符，有那些常用的算符，特别算符？特别算符？2 24 4厄米算符和幺正算符厄米算符和幺正算符 1 1 厄米算符厄米算符（自伴算符，自轭算符）：（自伴算符，自轭算符）：HHHHH 定理定理： 为厄米算符的充要条件：为厄米算符的充要条件： 定义域中所有定义域中所有 满足：满足： 实数实数 HHH *HH证：证：必要性必要性：若：若 ，则对任意，则对任意 ：HH*HHHHH ()0HH0HHHHH 充分性：充分性：若对任意若对任意 ， 实数，实数，H 即：即： 实数实数 则：则：

3、2. 2. 等距算符等距算符：若若 则则 称为等距算符称为等距算符。 U UIU定理定理：以下三个命题是等价的：以下三个命题是等价的：U UI,UU 对任意对任意 ，满足，满足U 对任意对任意 成立成立。 3.3.幺正算符幺正算符：满足：满足 ， 即即 的算符的算符U UUUI1UUU 定理定理2 2：若：若 和和 是同一空间的两组基矢，是同一空间的两组基矢， 则存在一幺正算符则存在一幺正算符 ，使：，使： iviuiiuU viviU vijijijUv Uvv U U vv vi j定理定理1 1：在矢量空间中，若在矢量空间中，若 是一组基矢，是一组基矢， 则则 也是一组基矢。也是一组基矢

4、。 4. 4. 幺正变换幺正变换： 矢量的幺正变换矢量的幺正变换： A,UU1AUAUA算符的幺正变换算符的幺正变换：25 投影算符： 将右矢放在左，左矢放在右时又是什么呢？将右矢放在左，左矢放在右时又是什么呢？ 内积： 1 1投影算符投影算符：若在空间有一组基矢为：若在空间有一组基矢为 ，我们称：，我们称： 空 间 的 维 数空 间 的 维 数， 为为投影算符投影算符。iv1miiiPvvm iivv1122mmPvvvvvv1i ivP 特别：特别： ，则，则 将将 向向 上投影；上投影；1i 1,mvvP 空间维数，则空间维数，则 将将 向子空间向子空间 上投影：上投影： 空间维数，则空

5、间维数，则 将将 向原全空间投影向原全空间投影 i PiiiPvv由完全性定理1iiivv1iiivv 2 2基矢的完全性关系基矢的完全性关系： iv 若若 为一组基矢，则：为一组基矢，则：3 3投影算符的性质投影算符的性质： 幂等性幂等性：2PP211() ()mmiijjijPvvvv,1ijmiijji jvv vv 1miiivvPPPP1miiivv210miiv 证：证： 厄米性厄米性：0P 正定性正定性： 对任意对任意 成立。成立。 证：证：算符作用在态矢上怎样？算符作用在态矢上怎样？ 有何典型方程？有何典型方程？3.3.本征矢量和本征值本征矢量和本征值 3 31 1定义定义 2

6、 2性质性质： 厄米算符的本征值为实数厄米算符的本征值为实数。 厄米算符属于不同本征值的本征矢量相厄米算符属于不同本征值的本征矢量相 互正交互正交。 Aa 1 1定义定义：若有非零矢量：若有非零矢量 满足：满足： ， 则称则称 本征矢量，本征矢量， 本征值，本征方程。本征值，本征方程。 对同一本征值对同一本征值 :aA121122cca 若知若知 有两个本征矢有两个本征矢 ， ， 则则 也属于也属于 的本征矢的本征矢HibertAa厄米算符厄米算符 的属于同一本征值的属于同一本征值 的本征矢量全体的本征矢量全体 构成构成 空间中的一个空间中的一个子空间子空间a 本征子空间的维数为本征子空间的维

7、数为 的简并度的简并度。 cAa 若知若知 有一个本征矢有一个本征矢 ， 则则 也是属于也是属于 的本征矢；的本征矢；3 3定理定理：对于有逆的算符对于有逆的算符 ，若有，若有 ，则称，则称 , , 相似；有相同的本征值谱和简并度相似；有相同的本征值谱和简并度 R1BRARBA33132,aAaA 有本征值有本征值：11112,a 不简并，取一个为代表不简并，取一个为代表22122,a 重简并，取重简并，取 个彼个彼此正交的矢量为代表此正交的矢量为代表 ss3 32 2本征矢量的完全性本征矢量的完全性 2 2定理定理：厄米算符的本征矢量集为正交完全集厄米算符的本征矢量集为正交完全集。 证：设空

8、间为证：设空间为 维，如果能找到维，如果能找到 的的 个线性无个线性无 关的本征矢量，则它们就构成完全集。关的本征矢量，则它们就构成完全集。Annss 1 1厄米算符的本征矢量集厄米算符的本征矢量集：本征值不简并时取：本征值不简并时取1 1个本个本 征矢为代表，有征矢为代表，有 重简并时取重简并时取 个互相正个互相正 交的本征矢为代表构成的矢量集合。交的本征矢为代表构成的矢量集合。 Aa 对于本征方程对于本征方程： 利用完全性关系有：利用完全性关系有： iiiiii C 代入，以代入，以 作用在方程两边：作用在方程两边：jiijiij A i Caj i CaC1111221211222211

9、22()0()0()0nnnnnnnnnAa CA CA CA CAa CA CA CA CAa C iC求出一组求出一组 , ,由知，就求出了一个由知，就求出了一个 （4）ijj A iAj1,2,n 是已知数，是已知数， 取取 时，由得时，由得： 该关于该关于 的方程组，有非零解的条件为：的方程组，有非零解的条件为：iC1112121222120nnnnnnAaAAAAaAAAAa12,na aan它有它有 个根：个根：n若这些根都不相同，则若这些根都不相同，则 个本征矢彼此正交。个本征矢彼此正交。 若有重根，如若有重根，如 ，根据性线代数知，根据性线代数知，方程组（方程组（4 4）也有）也有 组线性无关的解组线性无关的解 ，故对应故对应 个线性无关的本征矢个线性无关的本征矢 。12kaaaa(1)( ),kiiCC1,kkkn可见，可见，无论简并与否，均可有无论简并与否，均可有 个线性无关的本征矢量个线性无关的本征矢量。因此，因此，厄米算