三角函数与平面向量考点分析

1、三角函数与平面向量考点分析 三角函数和平面向量历来是高考的的重点内容，这两部分内容之间互相渗透，而且也和其他数学分支进行融合。在高考试题中，这两部分内容的基础性、工具性以及渗透性都表现的淋漓尽致。我省5年自主命题以来，对三角向量的考查着重在知识的理解及知识之间的交汇点上，考查常规的三角运算与变形及三角函数的图象与性质，一般为中档题和容易题，分值约为22分。即两个客观题和一个主观题，以下结合考纲，对高考中的三角向量题进行分析。、考纲要求：考纲对三角与向量的主要要求为：掌握和、差、倍、半角的三角公式，能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明，理解三角函数的图象性质，掌握正弦定

2、理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，理解、掌握向量的有关概念及相关运算等。二、考题分析：04年至08年这5年高考中，考察涉及到三角函数或平面向量的题及分布位置如下：04年第12题三角函数应用，13题求值，17题为三角变换，19题为向量与三角05年第7题求角的范围，9题比较大小，15（文科）求周期和最值，18题为解三角函数06年第3题求值，11（文）三角形内求值，16题为向量与三角（变换、图象性质）07年第1题（文）求值，2（理）图象变换，9（理）向量与概率，（文）向量，16题为（理）向量与三角 （文）三角函数不等式08年第1题向量，5图象变换与对称性，12解三角形，16题为（理）函数与三

3、角函数（图象性质） （文）三角函数向量作为一种解题工具，往往与其它知识综合起来考察，独立的向量大题目前还只有04年考过。通过直角三角形考查向量的数量积及最值问题，但和三角函数的联系不大，侧重平面几何与向量的综合至今对高中平面向量的教学都还有很大的影响力，是一道考能力的经典好题。三三角函数的复习建议1要区别正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角的概念头脑中要有一根弦：角的范围已经扩展了，系列角如何表示，相关角如何表示。2在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符

4、号的选取3单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，利用三角函数线进行求角和解三角不等式，有时候会更简单。4要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，或者换元后成为一个初等函数式（换元后注意定义域的确定），进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性5函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调区间的两个函数值才能由它的单调性来比较大小，要注意单调区间是一个连续区间。6三角函数很好地体现了对称性和周期性的关系，要把这种关系拓展到一般函数。对称性用处：对称轴和最值对应,对称点和平衡点对应.（1）了解周期函数和

5、最小正周期的意义会求的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；（2）会从图象归纳对称轴和对称中心；的对称轴是，对称中心是；的对称轴是，对称中心是的对称中心是注意加了绝对值后的情况变化.7熟练三角函数图象的作图方法，注意定义域有限制的作图训练。通过作图去体验和巩固图象间的变换关系。理解正、余弦函数在0，2，正切函数在（-，）的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与x轴的交点，会用五点法画函数的图象，并理解它的性质：（）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（）函数图象与x轴的交点是其对称中

6、心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期。注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。8熟悉公式的记忆和运用（1）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限；（2）两角和差的正弦、余弦、正切公式的正面运用和逆用；（3）倍角公式以及变形，体会降幂和和差化积的意图；（4）合一变形:asinx+bsinx=。但要控制难度，限制在是特殊角的范围内。提醒:一些常见的变形技巧:(1)变角(不要盲目用一些公式展开,关键是看已知角和所求角有没有特殊关系。比如相差180度,90度等) ；(2)变名（切割化弦，齐次化切）；（3）变式（结构式

7、的转化）;(4)变幂。特别地：1、见“1±cos,1±sin”,要消12、见到高次要想到降幂3、见sin·cos和sin±sin，要想到互化；4、见齐次式，要想到可化正切；5、见tan±tan、tan·tan要想到两角和与差的正切公式6、见到分式，想通分，使分母最简9关注三角函数在三角形中的应用，结合平面几何的性质寻找边角关系，要特别重视正弦定理和余弦定理在解三角形中的计算，掌握三角形面积公式的多种计算方法。正、余弦定理正弦定理（是外接圆直径）注：；。余弦定理：等三个；注：等三个。几个公式:三角形面积公式：；内切圆半径r=；外接圆直径

8、2R=在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：ABC中，已知时三角形解的个数的判定： A为锐角时：a<h时，无解；其中h=bsinA,a=h时，一解（直角）；h<a<b时，两解（一锐角，一钝角）；a b时，一解（一锐角）。A为直角或钝角时：a b时，无解；a>b时，一解（锐角）。三角函数这部分内容在高考中的难度要求是不高的，所以在复习的时候要控制难度，但由于公式多，性质复杂，变形有一定的技巧，所以要花较多的时间加强训练，学习时注意化归思想和数形结合思想的渗透，注意易错点。四、平面向量的复习建议1透彻理解向量的概念。向量概念的两大要素“方向和长度”使向量既有“形”又有“数”

9、的特征，既联系几何又联系代数，是高中数学重要的知识网络交汇点，是数形结合的重要载体。要抱着这样的观点去学习向量知识。2先从向量的几何特征进行学习，包括向量相等，向量共线的概念，平面向量的基本定理，以及向量的加减、实数与向量的积、向量的数量积等运算的几何表示，目的是给向量建立一个系统的几何体系。3向量的坐标运算使得几何问题可以通过代数运算加以解决，在对向量的几何特征掌握透彻的前提下，理解记忆相关公式。如：向量共线、垂直的充要条件，向量的数量积运算，线段定比分点公式、平移公式等。4向量的数量积运算是平面向量的重要内容，它与实数之间积的运算既有区别又联系，要辨别清楚。向量的数量积运算是采取几何运算公

10、式还是坐标运算公式，要甄别清楚；两个公式同时运用，又可构造出一个等式。要会灵活应用向量的数量积公式求向量的模和两点间的距离。5要把平面几何的性质、定理迁移到平面向量来，使得平面向量的几何推导成为可能，但题目的难度要有所控制。如：在平行四边形中，若，则，即菱形模型。若，则，即矩形模型。在中，是的外心；一定过的中点；通过的重心；+=，G是的重心；=，H是的垂心；通过的内心；(+)通过的垂心则是的内心；6适当训练以平面向量为背景的解析几何问题。解析几何题中往往以向量的形式来揭示几何条件，有的要懂得看出几何特征，有的是利用坐标运算直接转化为数的关系。在解析几何中也经常利用向量解决有关角度和垂直，以及点

11、分线段的问题，会使得问题简单化。多训练一些这样的题目，就不会感到畏惧了。三角函数和平面向量做为高中数学的两个重要分支，内容繁杂，需要用心学习，把基础知识和基本技能练扎实，并且适当地提高能力，要把握好学习这两部分内容的度。五 、题型归类三角函数与平面向理的复习备考后阶段应主要关注以下几类题型训练： 三角公式的基本应用问题，做到熟练、准确、灵巧的运用好相关公式进行变形； 对图像和性质的研究问题，做到比较深透的领悟并把握好图像的结构及其性质，并能做一些有效的拓展，如图像变换、对称等； 三角形中的边角关系问题，要切实把握好三角形的基本结构和常用的数量关系；会利用正余弦定理进行边角互化，判断三角形形状；

12、三角形中会构造函数不等式求范围或最值。 向量、三角与平面几何的联系题，这类问题能充分反映出在知识交汇处命题的原则。六例题分析（1）三角函数的运算变形，本质是一种代数变形，如配方、降次、换元、因式分解等变形方法，应引起学生的重视。例1（04湖北）己知. ，求的值。若考生局限于三角函数中平方降次的思维定势中，不会在代数结构中进行因式分解变形，就会陷入泥潭，无从下手。(2 )三角函数的图象和性质需熟练掌握例2（07广东）A.周期为的奇函数；B. 周期为的偶函数 C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数例3（湖南卷）设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期

13、是 A2 B. C. D. 解析：设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值， 最小正周期为，选B.（3）05年与07年的三角形都利用了三角形的结构，将正、余弦定理、面积定理贯穿在三角变形之中。例4（2006北京理）在ABC中，A，B，C所对的边长分别为a,b,c.若sinA:sinB:sinC=578,则abc= , B的大小是 .这个题是解三角形的题。考生在复习时也要很注意正余弦定理的应用，特别是利用正余弦定理边角互相转换的证明题。例5已知函数 （）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标； （）如果ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的

14、角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.解： （）由=0即即对称中心的横坐标为（）由已知b2=ac 即的值域为.综上所述， ， 值域为 . 说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。例6(2008湖南理)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. （I）求该船

15、的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解: （I）如图，AB=40，AC=10，由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）.（II） 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1= AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.点评：三角函数在实际问题中有很多的应用，随着课改的深入

16、，联系实际，注重数学在实际问题的应（4）与向量的结合例7（2006北京文）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是 .例7(06湖北理16题：)设函数,其中向量,， ()求函数的最大值和最小正周期；()将函数的图角按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。本题切入点低，容易入手，以向量的基本运算为外形，考查三角公式变形，三角函数的性质及图像特征，主要考查推理和运算能力。考生主要错误表现在运算不熟，图像与性质不熟不会利用直观图形去解决相关问题，还有就是向量的平移方向上。例8(08湖北理16题)：已知函数,，.()将

17、函数化简成的形式；()求函数的值域。两题进行比较，命题风格及为相似，如出一辙，其出发点均不在三角，一是以向量切入，另一个则是以代数函数直接切入，继而通过三角公式进行变形化简，最终落脚点却都在三角函数的图像和性质上，构思合理，目标鲜明。这类题看似平淡，却也透出不少新意，首先是不会对根式进行化简（的化简是课本中“同角三角函数的基本关系”后面的一道练习题），或角的范围考虑不周导致化简出错，其次是在最后环节求值域时，由，得不能利用图像比较出而最终导致一些同学在求值域的上界出错，诸如此类问题正是学生在学习中易犯的毛病，应该引起我们教学的重视。例9（2007陕西理17）设函数，其中向量，且的图象经过点（）

18、求实数的值；（）求函数的最小值及此时值的集合 这是一道函数、三角函数和平面向量结合的题。难度不大，但是考察的很全面。例 10已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （xR）,（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x1)+ +（2sinx·cosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+=sin(2x+)+所以y取最大值时，只需2x+=+2k,（kZ），

19、即 x=+k,（kZ）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为x|x=+k,kZ（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像； （iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。三角函数和平面向量做为高中数学的两个重要分支，内容繁杂，需要用心学习，把

20、基础知识和基本技能练扎实，并且适当地提高能力，要把握好学习这两部分内容的度。真正做到颗粒归仓。常见结论（1）的对称轴是，对称中心是；的对称轴是，对称中心是的对称中心是注意加了绝对值后的情况变化.（2）在中，是的外心；一定过的中点；通过的重心；+=，G是的重心；=，H是的垂心；通过的内心；(+)通过的垂心则是的内心；三角函数训练（一）一选择题YCY1函数f(x)= 的最小正周期是 （A）2 （B）（C）（D）不存在2若函数对任意实数x都有，那么的值等于 （A）-2（B）2（C）±2（D）不能确定3设函数为 （A）周期函数，最小正周期为（B）周期函数，最小正周期为（C）周期函数，数小正周

21、期为（D）非周期函数4已知函数图象如图甲，则在区间0，上大致图象是（ ）5在ABC中，若，则ABC是 ( )（A）等腰三角形 （B）直角三角形（C）等边三角形 （D）等腰直角三角形6设，点是线段上的一个动点，若， 则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D）7已知ABC中，a、b、c三边长分别为3，4，5，则的值 （A）7 （B）-7 （C）-25 （D）258在直角坐标系中，O是原点，=(-2cos，-2sin) (R)，动点P在直线x=3上运动，若从动点P向Q点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 （ ）（A） 4 （B） 5 （C） （D）9若，则 （ ） 10下列条件中，是锐角三

22、角形的是 （ ） 二填空题11、函数 R) 的最小值是 .12、已知在第四象限，则角a是第 象限角13、已知函数，若， 则 14、函数图象的相邻的两个对称中心的距离为 15、给定下列命题： 半径为2，圆心角的弧度数为的扇形的面积为；若、为锐角，则；若、是的两个内角，且，则；若、分别是的三个内角、所对边的长， 且，则一定是钝角三角形其中真命题的序号是 16 已知函数 (1) 求函数的定义域和值域； (2) 求函数的单调递增区间 17在ABC中， A、B、C成等差数列，b1，求a+c的范围18已知 且满足.（1）求证；（2）求的最大值，并求当取得最大值时，的值. 19已知函数的最小正周期为，且当的

23、最小值为0。（I） 求函数的表达式；（II） 在三角形ABC中，f(C)=1,求sinA 三角函数训练（二）（一） 一选择题ACCCC CDAD1.点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达Q点，则Q点的坐标为（ ）（A） （B） （C） （D）2. 设，如果且，那么的取值范围是 A. B. C. D.3.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是( )w A. 1 B. 2 C. D. 4.=（ ）（一）DCADA BACAB ACCCC CDADA. B. C. 2 D. 5.函数是（ ）A周期为的奇函数 B周期为的偶函数C周期为的奇函数 D周期为的偶函数6

24、.在ABC中,A=，b=1，面积为，则=（ ） A B C2 D47.在ABC中，tanA，cosB若最长边为1，则最短边的长为（ ）A B C D8把函数（其中是锐角）的图象向右平移个单位，或向左平移个单位都可以使对应的新函数成为奇函数，则（ ）A2B3C4D19 上递增，那么 ABCD10已知函数，其导函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 A BC D二填空题11、已知的值为 。12、已知三角形ABC的三个内角为A、B、C，则的最大值为 .13、函数的单调递增区间是_14、已知，若，则 。15、若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数给出下列四个函数： ，,其中“同形”函数有 (填序号) 16 已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数在一个周期内的图象17在中，角所对的边， ，且的最大边长为，最小角的正弦为，（1）判断的形状；（2）求的面积。18ABC中，角A、B、C的对边