2020年九年级初中必会几何模型-三垂直模型

1、三垂直模型【模型概述】 出现3个直角，且3个直角的顶点共线时,角的边相交会形成 相似（含全等） 三角形。【基本模型】图1图1和图2中，三个直角顶点B, C, D共线;当 ABC和4CDE三组对应边均不相等时，有 ABCs/XCDE；当4ABC和4CDE任意一组对应边相等时（如 AC=CE）,有ABCACDE;同角的余角相等证明思路: 解题时往往只含有两个甚至一个垂直关系，需通过作垂线构造出三垂直模 型，从而构造出型等或相似三角形.利用型等和相似的性质求解角度和线段长 等问题。典型例题1-1 已知：/ACB=90°, AC=BC, ADXCM, BEXCM,垂足分别为 D, E。如图1

2、,线段CD和BE的数量关系是请写出线段AD, BE, DE之间的数量关系并证明。如图2,结论还成立吗？如不成立，写出并证明 AD, BE, DE之间的数量关系。图1【小结】典型例题1-2如图，已知矩形ABCD的顶点A, D分别落在x轴，y轴上，OD=2OA=6,求抛物线的解析式;B (4,0),交y轴于点Co点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点 D使必*亡=?若存在,求BE的长。请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。【小结】变式训练1-1如图，已知直线11 / 12/ 13 / 14，相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sin a =()变式

3、训练1-2如图1, OA=2, OB=4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰 RtAABC, 求C点的坐标；如图2, P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰RtA APD,过D作DE，x轴于E点，求OP- DE的(3)如图3,已知点F坐标为(-2,-2),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt FGH,始终保持/ GFH=90 ,FG与y轴负半轴交于点 G(0,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,0),当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：mn为定值；m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结如图，直线 > =

4、-标：4交x轴于点A,交y轴于点B,另有过点B的直线与x轴交于点C,使得/ ABC=45°,求点C坐标。扩展模型：共线三等角模型：当三垂直模型中 3个直角变为相等的锐角或钝角时，仍会产 生全等或相似三角形。解读：图1和图2中，大小均为的三个锐角（或钝角）顶点在同一直线你上。当三组对应边均不相等时，图 1中有 ABCs/XECD,图2中有AABCs/X CDE （注意对应关系）当4ABC和4CDE的任意一组对应边相等时，有两三角形全等。证明思路：三角形的外角和定理图1中，若C为AE的中点，连接BD,则有 ABCszecdszcbd （可记 为中点三相似”）三垂直模型是共线三等角模型的特

5、殊情况。典型例题2-2如图，在 ABC中,AB=AC=10，点D是边BC上一动点(不与B,C重合),/ ADE=/B=aDE交AC于点EH COSa g .下列给出的结论中，正确的有()ADEs/XACD；当BD=6时，4ABC与4DCE全等；DCE为直角三角形时，BD为8或12.5; 0<CE?6.4.【小结】变式训练2-1如图，CD是经过/ BCA顶点C的一条直线，CA=CB.E, F分别是直线CD上 两点，且 / BEC=/CFA=/a.若直线CD经过/ BCA的内部，且E, F在射线CD上，请解决下面两个问 题：如图 1,若/ BCA=90°,/a=90°,W

6、J BE CF；EF|BE-AF|（填“>”，女”“二”；）如图（2），若0°</BCA<180° ,请添加一个关于/ 口与/ BCA关系的条件 ， 使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立。如图，若直线CD经过/ BCA的外部2 a 士 BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数 量关系的合理猜想（不要求证明）.变式训练2-2如图，在 ABC中,AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B,C重合）,/ADE=一 .一 ,3 / B=/ aDE父AB于点E,且tan/ a q ,有以下的结论：ADEs/XACD;当CD=9时,4ACD与4DBE全等；

7、匕BDE为直角三角形时,BD为12或2 ;®0<BE?M，其中正确的结论是一（填入正确结论的序号）中考真题如图，AEXAB,且AE=AB, BCXCD,且BC=CD,请按照图中所标注的数据 计算图中实线所围成的图形的面积 S=.如图，直线11 / 12如3,一等腰直角三角形 ABC的三个顶点A,B,C分别在11,12,13上,/ACB=90°,AC交12于点D,已知11与12的距离为1,12与13的距离为3,这样AB_AD:CD=1:3，则的值为（）如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放 置，则矩形ABCD的周长为.如图，在x轴的上方，直

8、角/ BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若/ BOA的两 边分别与函数尸二-：、的图象交于B、A两点，则/ OAB的大小的变化趋势为（）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD的边AB: BC=3: 2,点A (3,0) , B (0,6),分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象经过点D,且与边BC交于点E,则点E的坐标为.y如图,在平面直角坐标系中，OA=AB,/OAB=90°,反比例函数一工(x>0)的图象经过A,B两点。若点A的坐标为(n,1),则k的值为一.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为(-1,1)，点B在x轴正=g半轴上，点D在第三象限的双曲线工

9、上，过点C作CE/ x轴交双曲线于点E,连接BEJM BCE的面积为()如图，一次函数y=kx+b(kw0的图象与x轴，y轴分别交于A(-9,0) , B(0,6)两点，过点C(2,0)作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分.(1)求一次函数y=kx+b(kw0的表达式；(2)若4ACE的面积为11,求点E的坐标；(3)当/ CBE=/ABO时，点E的坐标为.如图,在梯形ABCD中,AD/BC , BC=4,点M是AD的中点， MBC是等边三 (1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且/ MPQ=600保持不变。设PC=x, MQ=y,求y与x的函

10、数关系式；在(2)中当y取最小值时，判断 PQC的形状，并说明理由。(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形。如图(1), 已知：在 ABC中,/ BAC=90° , AB=AC,直线l经过点A, BDL直线l, CE± 直线l,垂足分别为点D. E.证明：DE=BD+CE.(2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图(2)，将中的条 件改为：在 ABC中，AB=AC, D. A. E三点都在直线 m上，并且有/ BDA=/ AEC=/BAC=a,其中a为任意锐角或钝角。请问结论 DE = BD+CE是否成立？J口 成立，请你给出证

11、明；若不成立，请说明理由。数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图 (3),过4ABC的边AB、AC向外作正方形 ABDE和正方形 ACFG, AH是BC边 上的高，延长HA交EG于点I,求证：I是EG的中点。：；I图1邺郦请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题:探究1:如图1,在等腰直角三角形 ABC中,/ACB=90°,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD.求证：4BCD的面积为于 .(提示：过点D作BC边上的高DE,可证 ABCA BDE)(2)探究2:如图2,在一般的RtAABC中,/ ACB=90&#

12、176; ,BC=a,将边AB绕点B顺时针 旋转90°得到线段BD,连接CD.请用含a的式子表示 BCD的面积，并说明理 由。(3)探究3:如图3,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转 90°得到线段BD,连接CD.试探究用含a的式子表示 BCD的面积，要有探究 过程。如图1,在？ABCD中，DHL AB于点H, CD的垂直平分线父 CD于点E,父AB 于点 F, AB=6, DH=4, BF: FA=1: 5.(1)如图2,作FGLAD于点G,交DH于点M,将 DGM沿DC方向平移，得到 CGM；连接MB.求四边形BHMM '的面积；直线EF上有一动点N,求4DNM周长的最小值.(2)如图3,延长CB交EF于点Q,过点Q作QK/AB,过CD边上的动点P 作PK/EF,并与QK交于点K,将4PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点3 图P 。一 1发已知顶点为A抛物线尸=口卜一f 2经过点最2),点c