2020届河北省衡水中学高三第一次教学质量检测数学(理)试题

1、2020届河北省衡水中学高三第一次教学质量检测数学(理)试题学校:姓名：班级：考号：1. 设集合 A = 1,2,4, B = xx2-4x+w = .若 4cB = l,则 B =( )A. l,-3B. l,0C. 1,3D. 1,52. Z是7的共轨复数，若Z+Z=2,(z-z)i = 2(i为虎数单位)，则Z=()A. 1 + iE. -I-ZC. -l + fD. 1一,3. 根据有关资料，I韦I棋状态空间复杂度的上限”约为3血，而可观测宇宙中普通物质的M原子总数"约为IO50.则下列各数中与丄最接近的是N(参考数据：lg30. 48)A. IO33B. IO53C. IO

2、73D. IO934. 已知奇函数/d)在R上是增函数，巩羽=劝(X)若a = (-Iog2 5.1),Z? = g(2os),c = g(3),则 a,b,c 的大小关系为()A a <b<cB. c <b<aC. b <a <cD. b<c <a5. 如图，函数/(x)的图象为折线ACBt则不等式/(x)log2(x+l)的解集是()A. x-l<x0C. x-l<xlEx-lxlDx-l<x<2一Inx,0 < x <1,6. 设直线h, b分别是函数f(x)=1I 图象上点Pi, Pv处的切线，h与bI

3、ns >1,垂直相交于点P，且11, 1：分别与y轴相交于点A, B,则APAB的面积的取值范闱是A. （OJ）E（0,2）C（0,+co）D（1,+CO）7. （2017新课标全国III理科）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的 同一个球的球面上，则该圆柱的体枳为3A.兀B. 一4兀兀C. -D. 248. （2017新课标全国/理科）记S为等差数列的前"项和若f4 + 5 = 24,S6 = 48,则%的公差为A 1B.2C4D89. 设不,7为非零向量，贝f存在负数兄，使得不=扁”是“万7v0''的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C

4、.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2x+3y-3010. 设X, y满足约束条件<2x-3y + 3n0则z=2+y的最小值是（）y + 30A. -15B. -9C. 1D. 9r>H.已知椭圆c1-+r = 1（? > 1）与双曲线G ： *- y2 = 1（ > 0）的焦点重合，勺、 冬分别为G、c?的离心率，则（）A In > H 且 qs>lB /W > H 且 qqvlC. tn < H 且幺心>1D tn < n ele2 < 112. 若x = -2是函数f（x） = （x2 + ax-l）exl的极值点，则

5、/的极小值为（）.A. -1E. _2»C. 5e'3D 113. 定义在区间0,3刃上的函数y=su2x的图彖与y=cosx的图象的交点个数是.14. 如图，三棱锥 A-BCD 中，AB = AC=BD = CD = AD= BC = 2 ,点 WN 分别是ADyBC的中点，则异面直线ANfM所成的角的余弦值是'Dfw15. 在平面直角坐标系My中，若曲线y = ax2 + (a,b为常数)过点P(2,5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y + 3 = O平行，则a + b=.16. 如图，圆C与X轴相切于点Tao),与)'轴正半轴交于两点A,B(8在

6、/的上方),且 IABI = 2.(I )圆C的标准方程为:(H)过点4任作一条直线与圆O:x2 + r = 1相交于M,N两点，下列三个结论:丽一両；Z両-屈一2；- +其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)17. 某同学用“五点法”画函数/(x) = Asm(6x + )(>0,<在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x+0兀23兀 T2Xi5兀6ASin(x + )05-50(I )请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数/W的解析式；(II)将y = /(X)图彖上所有点向左平行移动8 (& > 0)个单位长度，得

7、到y = g()的 图象.若y = g()图象的一个对称中心为(,0),求&的最小值.1218. 某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：56789682335689581223456789求分数在50,60)的频率及全班人数；求分数在80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中80,90)间的矩形的高.19如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转12(得到的，G是DF的中点(1)设P是CE上的一点，且AP丄BE,求ZCBP的人小;(2)当AB=3, AD = 2时,求二面角E

8、-AG-C的大小20. 己知椭圆E.+ = l(a>b>0)以抛物线y2 = 8x的焦点为顶点，且离心率为丄(1)求椭圆E的方程;(2)若直线.y = kx+tn与椭圆E相交于4、B两点,与直线x = -4相交于O点，P是椭圆E上一点且满足OP = OA + OB (其中O为坐标原点)，试问在X轴上是否存在 一点使得帀7为定值？若存在，求出点T的坐标及帀7的值；若不存在, 请说明理由.21. 已知函数fx) = cc-ax-.vlv,且/(x)0.(1) 求 <2；(2) 证明：/(x)存在唯一的极大值点心，且e'2<()<2-2.22. 在直角坐标系XO

9、y中，圆C的方程为(x+6)2 + r = 25.(I )以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程：X = t COS a4i(II)直线/的参数方程是彳(t为参数)丿与C交于两点，AB =10y = Zsma求/的斜率.23. 已知函数/(x) = x+l-2x-3.(/)在答题卡图中画出y = f()的图像;(/)求不等式(-v)>的解集.101H试卷第5页，总5页参考答案1. C【解析】/ 集合 A = 1,2,4 , 3 = xrz-4x+"7 = , An5 = 1.*. x = l 是方程 X2 -4x+ = O 的解，BP1-4+/? =

10、O/. m = 3： B = x IF - 4x+7 = = x I 亍 一 4x + 3 = = 1,3,故选 C2. D【解析】【分析】【详解】试题分析：设 Z = e + bi,z=c-bi,a,bR ,依题意有 2 = 2,-2b = 2,故 a = l,b = _l,z = l_j.考点：复数概念及运算.【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错除了加减乘除运算外,有时要结合 共轨复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析在复数的四则运算中,只对加 法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算复数代数形式的运算类 似多项式的运算,加法类似合

11、并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘 法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.3. D【解析】M3361试题分析：设= x=-,两边取对数,361NIOSOMIgX = Ig = Ig3361 -IgIOSO = 361 ×Ig3-80 = 93.28 ,所以X = IO932S 即亓最接近IO?',故选 D.答案第16页，总15页【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令X =彳361市，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含

12、IOg“ M + IOga N = IOgtl MN , IOgfl M 一 IOgtJ N = IOgn , NIOgtZMw =? IOga A/ .4. C【解析】【分析】根据奇函数/(x)在R上是增函数可得g(x)为偶函数且在0,+8)上为增函数,从而可判断a,b,c的大小.【详解】g(x)的定义域为/?g(-x) = -V(-) = 一x-/ =Xf (X) = g(X)，故 g(X)为偶函数.因为门刃为R上的奇函数，故/(0) = 0,当x>0时，因为/(X)为R上的增函数，故/(x)>(0) = 0.设任意的 0<兀<%2，则 O<(xJ </

13、(兀)，故 XJM <x2f(x2故g (兀1) V g (X2 )，故g (x)为0,+8)上的增函数,所以 a = g(-Iog2 5.1) = (Iog2 5.1),而3 = Iog2 8 > Iog2 5.1 > Iog2 4 = 2 > 208, 故g(3)>(log25.1)>(2°s),所以c>a>b.故选C.【点睛】本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函 数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的人小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考 虑.5. C【解析】 试题分析：如下图所示，

14、画出g(x) = log2(x+l)的函数图象,从而可知交点>(14), 不 等式/(x) S(X)的解集为(-1,1,故选C.考点：1对数函数的图彖；2.函数与不等式；3.数形结合的数学思想6. A【解析】试题分析：设7(x1,1ii1),(x2,-1iix2)(不妨设x1>l,0<x2 <1),则由导数的几何意 义易得切线人仏的斜率分别为R产丄，& = 一丄由已知得xxIKk2=-I,：.xix2 = ,.2 = 切线A的方程分别为y-iiV =丄(xj,切线人的方1 I A程为y + hx2=一一(x-xj,即 y-In竝=一再 X一一.分别令X = O得

15、无I XJA(O-I+hix1),5(0,l + hx1).又厶与人的交点为'ln + z4X>l,SAPM =+)U-)iXp = V = 1,.OvSae4B <1 (1 +旺1 + x;)2'1,1 1 + x; 1 + x;,故选A.考点：1 导数的几何意义；2两直线垂直关系；3直线方程的应用；4三角形面积取值范I韦|7. B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：AC = LAB = f结合勾股定理,由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是V = rh =兀彳£×1 = ,故选 B.4【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过

16、球心及多面体中 的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利 用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的儿何体的 直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体己知量的关系， 列方程（组）求解.8. C【解析】 设公差为，a4 + a5=ai+3d + al + d = 2q + 7d = 24 ,6x5I 2ct + 7d = 24S6 = 6,1÷-. = 615. = 48,联立仁：+啜皿解得故选匸点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如%为等差数列，若川+ ”= +久 则am + an =ap+ aif.9.

17、 A【解析】【分析】通过非零向的夹角为钝角，满足in<O,而m = n不成立，可判断出结论【详解】解：M为非零向量,存在负数,使得m = An ,则向量M共线且方向相反,可得不.7 C 0 反之不成立，非零向量的夹角为钝角，满足m-n <0 »而m = n不成立 mj'为非零向量，贝卜存在负数入，使得m = i是万力<0”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10. A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z=2x+y,当直线经过B (6, 3)时，取得

18、最小 值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B(6, -3)处取得最小值r=-12 3 = 15.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直 线求得最值.11. A【解析】【分析】根据椭圆G和双曲线G的焦点重合得出7-=2,可得出川、H的大小，再由离心率 公式可得出弓冬与1的人小关系，进而可得出结论.【详解】【点睛】由于椭圆G和双曲线G的焦点重合，则-l = rr + l,则fn2-2=2>01+十丄-丄冷+亡竺=庆三>1， Ir nr HVn V广'广V nrn本题考查利用椭圆和双曲线的

19、焦点求参数的人小关系，同时也考查了两曲线的离心率之积的问题，考查计算能力，属于中等题12. A【解析】由题可得 f,(x) = (2x+a)exl+x2+ax-lexl =x' +( + 2)x+-l exl, 因为/'(2) = 0,所以a = -l, f(x) = (x2-x-i)exlf 故广(X) = (X2+-2)er1,ff(X)> O9 解得 XV2 或 x>l,所以/(x)在(-迄-2),(1,+S)上单调递检 在(-2,1)±单调递减, 所以/(x)的极小值为/(l) = (l-l-l)ew=-l,故选A.【名师点睛】(1)可导函数y=f

20、(x)在点為处取得极值的充要条件是f, U)=0,且在X。 左侧与右侧f, CY)的符号不同：(2)若f(x)在(d,方)内有极值，那么f(x)在(a, b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调 增或减的函数没有极值.137【解析】由 Sin2x = cosx =>cosx= 0或SinX =因为x 0,3r,所以 3> S 5 13龙 l U .X =,，,，共7个2 2 2 6 6 6 6考点：三角函数图像714. 一8【解析】如下图，连结DN9取DN中点P,连结PM , PC,则可知Z刊化 即为异面直线凡V, CM所成角(或其补角)易得PM =AN= >/2 ,PC =

21、PN2+CN2 =2+l = Clf = J卫小_扭广=2JL' cosZPC =8 + 2-32x22×2飞，即异面直线所成角的余弦值为C考点：异面直线的夹角.15 一3所以【解析】曲线 y = x2+-a 点 P(2,-5),则 4 + - = -5,又 y' = 2x-, 4a- = -®,由®®解得f = 7 所以a + b = -3>.42b = -2、【考点】导数与切线斜率.视频D16. ( I ) (X-I)2+(y-)2=2: (II)®【解析】(I )依题意，设C(Lr)(严为圆的半径)，因为Il=2,所

22、以尸=而P7 = J圆心C(ls2),故圆的标准方程为Cr-I)1 + (y-2>1 = 2 .(II)联立方程组丿x=0(X-I)3 + (y-2>2=2r = 0.v = + l因为3在川的上方,所以月(Q血一 1),O= 2+l),令直线Mv的方程为*0,此时J/Af(O-I), .V(OJ),所以 |也=L !B =2 + 2 , A% 二 2 , NB I=因为dU一並，322 MB所以NA _ IMAIH-M=fe+1(-I)=2=2 -1 + +1 = 2*2*,WBI IMAI _ 亠 NA MB 2-22 + 2正确结论的序号是®.考点：圆的标准方程，直

23、线与圆的位置关系17. (I) /(x) = 5 sin(2x - ) J ( II) 6 6【解析】(I)根据表中已知数据，解得A = =2, = -数据补全如下表: 6x+O2兀3兀T2X12y7125兀613 12ASin(x + <p)O5O-5O且函数表达式为/U) = 5sm(2x- £)6(II)由(I) /(x) = 5sin(2x-),得 g(x) = 5sin(2x+2O-兰).6 6因为y = Sinx的对称中心为(加,0) , kcZ .令 2x + 2- = k,解得X= + 一e, k Z .6 2 12一 一由于函数y = g()的图象关于点(詈,

24、0)成中心对称，令斗+善& =誇，JL乙乙 JL乙JL乙解得=keZ.由0>0可知，当k = l时，。取得最小值丄.236考点：“五点法”画函数/(X) = ASin( + )>0<)在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质.18. (1) 25； (2) 0.016.【解析】试题分析：解题思路：(1)通过茎叶图得出数据即可求解：(2)观察频率直方图中的各个矩形的高与面积即可规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布 表给出.试题解析：分数在50、60)的频率为0.00810 = 0.08,由茎叶图知：分数在50.

25、60)之间的频数为2,2所以全班人数为=25.0.08分数在80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4,4频率分布直方图中80.90)间的矩形的高为÷10=0.016.考点：1茎叶图；2.频率直方图.19. (1) 30 ：(2) 60【解析】试题分析：第问,直接证明BE丄平面ABP得到BE丄BP,从而求出ZCBP的大小.第(2) 问，可以利用几何法求，也可以利用向量法求解.试题解析:因为 AP丄BE, AB丄BE, AB, APU平面 ABP, AB AP=A,所以 BE丄平面 ABP.又BPU平面ABP,所以BE丄BP又ZEBC = I20° ,所以ZCBP =

26、 30°(2)方法一：如图，取Ef的中点H,连接EH, GH, CH.因为ZEBC = I20° ,所以四边形BEHC为菱形，所以 AE=GE=AC=GC= + 2 = J3 取AG的中点M,连接EM, CM, EC,则 EM丄AG, CM±AG,所以ZEMC为所求二面角的平面角.又 AM=I,所以 EM=CM= 13-1 = 23.在ZiBEC 中，由于ZEBC=I20° ,由余弦定理得 EC=22+22-2X2×2× cos 120° =12, 所以EC = 23 ,所以AEMC为等边三角形，故所求的角为60。坐标系B-

27、Xyz.分别以BE, BP, BA所在的直线为X, y,Z轴，建立如图所示的空间直角由题意得 A (0,0, 3), E (2,0, 0), G(l, 3 , 3), C(-l, 3, 0),故 = (2,0, -3), AG = (b 3> 0), CG =(2, 0, 3).设加=(Xn yn ZI)是平面AEG的一个法向量,AE = O由 /hAG = 02xl-3zi = 01 + >/3)Tl = 0取z=2,可得平面AEG的一个法向量；=(3, -3 , 2).设” =(X2 9 Y2f ZJ是平面ACG的一个法向量Ih-AG = O*nCG = 0兀 + y2 = 0

28、Ix2 +3z2= 0取Z2=-2,可得平面ACG的一个法向量n =(3, - 3 , 一2)所以 COS?,HJ H _ 1«1 = 2故所求的角为6(r 点睛：本题的难点主要是计算，由于空间向量的运算，所以人家在计算时，务必仔细认真20. (1)壬+# = 1； 存在，且定点T的坐标为(-1,0)【解析】【分析】(1) 求出抛物线的焦点坐标可得出Q的值，由椭圆E的离心率可得C的值，进而可得出b的值，由此可求得椭圆E的方程；(2) 设点A(x1,y1). B(X2,儿)，将直线/的方程与椭圆E的方程联立，列出韦达定理，求出点P的坐标，由点P在椭圆E上得出4F = 4/ + 3，并求

29、出点0的坐标，设点T(匚0), 计算出OP tQ，由0力7为定值求出/,由此可求得定点T的坐标.【详解】(1)抛物线y2 = 8x的焦点坐标为(2,0),由题意可知 = 2,且 e = - = -9 .c = l,则 If - Ja2 -c2 - J ,a 2VV因此椭圆E的方程为+ = 1；43(2)设点A(XPyI). 3(兀22)，y = kx+m联立f F+14>r=I3,消去 y 并整理得（4Z:2 +3）x2 +87x+4h2 -12 = 0由韦达定理得Xl + X2Skm则）i +儿=* （坷+ XJ + 2加=6mAk2+ 3.丽=亦面十+ S + yJ +翟,舄），即点

30、（Shn 6n ）4T + 3'4T+3丿由于点P在椭圆E上，则卜趕6m4g + 3 丿 1化简得4tn2 =4k2+3 = kx+m x = -4Z八x = -4呵皿则点心片心设在X轴上是否存在一点(r,0),使得0?迈为定值，TQ = (-4-tjn-4kyOp.fQ= Zkm （r + 4）+ 6m （Zn -必）4T + 3Sktm + 8km + 6m2W2k（f + l）Hl3+尹定值,则 f +1 0 > fxl f 1 因此 在X轴上存在定点(-l,0),使得OP fQ为定值.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中存在定点满足某条件问题的求解，考查计算

31、 能力，属于中等题.21. (1) a二 1； (2)见解析.【解析】【分析】(1)通过分析可知/(X)$0等价于力(%) =ax - a - IIIXOf进而利用於(x) =-丄可得h(X)min = h (),从而可得结论;a(2)通过(1)可f (x) =X2 -X- XlnX9 记/ (X) =fr (X) =2x - 2 - Inx,解不等式可知 t (X) n,in=t ( y ) =Inl - 1<0,从而可知 f' (X)=O 存在两根 o, X：,利用/(X) 必存在唯一极大值点Xo及XoV丄可知/(Xo) <,另一方面可知/(xo).24e【详解】(I)

32、解：因为/ (X) =OXl - CIX - XInX=X (ax - a - InX) (x>0),则 f (x) $0 等价于 ? (x) =ax - a - wO,求导可知/?'(x) =-丄.X则当W0时/厂(-) <0,即y=h (x)在(0, +)上单调递减，所以当心>1时， (A-O) <h (1) =0,矛盾，故>0.因为当OVX<丄时X (X) <0、当x>丄时” (%) >0,aa所以 h (x) min=h (),a又因为/? (1) = a - InI=O9所以一=1,解得«=1；a另解：因为/(I

33、) =0,所以f () 20等价于/(x)在X>O时的最小值为/(1),所以等价于/(X)在X=I处是极小值，所以解得=l:(2)证明：由(1)可知 f(X)=X2 - - - 7u, f' (X)=2x - 2 - Inx,令f (X) =0,可得 2a - 2 - Inx=O,记 f (x) =2x - 2 - /?x,则 (x) =2-,X令 f' (X) =0,解得：X=,2所以t (X)在区间(0,-)上单调递减，在(丄，+)上单调递增，2 2所以t (X) min=t ( ) =In2 - 1<0,从而t(X)=0有解，即f (X) =0存在两根畑 2V2,且不妨设f (X)在(0, )上为正、在(X0，-z)上为负、在(X2，+8)上为正，所以f (x)必存在唯一极人值点Yo