波利亚怎样解题实例分析报告

1、怎样解题一、熟悉问题1、未知是什么？ 2、已知是什么？ 3、你能复述它吗？二、寻找解题方法1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？ 2、与未知已知 相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、 概念的直接应用吗？ 3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 4、你能利用 已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 5、根据与未知相关的定 理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定 理、公式、法则、概念吗？若不能解题，可考虑：1、已知条件都用上了吗？ 2、能不能得到一个比较特殊的情况？三、书写过程1、你能按步骤写出你的

2、分析过程吗？2、你所写的步骤都正确吗？四、总结与回顾1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？3、解题过程能简化吗？例 1 、已知：如图，在 ABC中, AB=AC求证：/ B=Z C分析：冋题1、未知是什么？你能复述它吗？答：/ B=Z C冋题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在三角形ABC中，AB=AC问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：似乎没有。不能直接用定理解出此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。问题

3、6你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：似乎不能。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求/ B=Z C,在以前学过的定理中有根据平行线证角相等、利用角 平分线证角相等、利用度数证角相等、利用全等三角形证角相等。由于这些都没 有出现，是不是能引入辅助元素？观察/ B、/ C所处的位置，平行线、角平分 线都不合适、角的度数没有出现，考虑运用全等三角形来解此题。 但此题中/ B、 /C处在同一个三角形中，需要将此两角放入到两个不同的三角形中，需引入一条线将此三角形分成两个三角形，

4、并将/ B / C分别处于两个三角形中，可在A 点引下一条线与BC相交。2、新问题出现了：如何证明/ ABD/ACD答：已知中含有 AB=AC从图中可 得AD=AD尚缺少一个条件。3、新问题：加入什么条件就可以了？答：/ BAD2 CAD可利用角边角进行判定。 或BD=CD可利用边边边进行判定。或AD丄BC,可利用直角三角形的全等的判定 进行判定。4、新问题：如何实现？答：在做线的时候可以利用做图做出其中的某一个条件。 如做角A的角平分线，或做BC边上的中线，或做BC的垂线。到此，此题可解。冋题8、如何书写过程？答：先写线的做法，然后写全等证明，最后得到未知求证。问题9、解题过程能简化吗？答：

5、尚无更简化方法。问题10、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：此题条件少，没有直接出现三角形，需要构造出三角形求解。可得到一个结 论：利用三角形全等证明一个图形中的两角相等进可行的。要求是要将此两角放到两个三角形中，然后找全等的条件。例2、求二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标。 冋题1、未知是什么？你能复述它吗？ 答：二次函数图象的顶点坐标。冋题2、已知是什么？你能复述它吗？答：二次函数解析式y=-3x 2-6x+5问题3、以前做过类似的题吗？答：做过。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式?答:能直接运用公式（一b ， 4证一"）求解。2a4

6、a问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答:此类题型主要考查对二次函数的顶点坐标的掌握情况， 以及准确的计算能力 例3、已知：如图，在 ABC中，AB=5, AC=3 D为BC中点，求AD取值范围冋题1、未知是什么？你能复述它吗？ 答：求AD的取值范围。冋题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在 ABC中, AB=5, AC=3 D为 BC中点问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：我知道三角形三边关系：三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：条件中两条边的边长分别是 AB

7、 AC所属三角形为 ABC,而所求AD边长所属是 ACDS ADC问题6你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：已知中的边长为AB、AC,要想使用三角形三边关系，需将 AB AC和AD边 联合到一个三角形中。考虑：需移动AB或AC并到AC或AB与AD或包含AD的线 段构成一角三角形。移动的方法考虑使用全等三角形的方法。延长 AD至E,使AD=AE 则可出现厶 ACDA EBD 可得 AC=BE 贝U 2<AE<8可得 1<AD<4问题7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、有三角形的中线，可构造全等三角形。2、当条件分散时，可向

8、定理集中。例4、 已知：如图， ABC中, BF平分/ ABC CF平分/ ACB ED/ BC,求证：DE=BE+CD冋题1、未知是什么？你能复述它吗? 答：线段DE的长等于EF与FD的和 问题 2、已知是什么？你能复述它吗？答：角平分线BF和CF,平行线DE平行于BC问题 3、以前做过类似的题吗？答：没有。问题 4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答： 角分线定理,平行线性质。问题 5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答： 从图中可得,此题角平分线与平行线有重合部分。问题 6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：根据角平分线性质，可得/ CBF= E

9、BF根据平行线性质可得/ CBF= EFB 进而可得/ EFBK CBF可以得到等腰三角形EBF,可得BE=EF根椐对称原则可 得CD=FD进而此题可解。问题 7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答： 1、有角平分线和平行线，可得等腰三角形。2、求证线段和可以用分段相等的形式得到结论。例6已知x = 1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2 +2mn+rf的值。问题 1 、未知是什么？你能复述它吗？答：代数式 m2 +2mn+n2 的值。问题 2、已知是什么？你能复述它吗？答：x =1是一元二次方程 x2 +mx+n=0的一个根。问题 3、以前做过类似的题吗？答：没

10、有。问题 4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答： 不能直接运用公式求解。问题 5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答： 不能。问题 6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：根据方程根的含义可知12 +1X m+ n二0，进而可得m+n=Q问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法 吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？ 答：根据因式分解的公式可将未知变形为 m2+2mn+六=(m+n 2，即若知m+n的值可得未知。到此，此题可解。例7、如图，在四边形 ABCD中，已知A吐CD M N、P分别是AD, BC的中点,

11、；3/ BDC=70 cos/ ABD亠 ，求/ NMP勺度数。 2冋题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求/ NM啲度数。冋题2、已知是什么？你能复述它吗？答：A吐 CD M N、P分别是 AD, BC的中点，/ BDC=70 cos/ ABD=。2问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：相关的定理有中点现的中位线，由三角函数可求出相应的角的值；不能直 接运用公式求解。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：1、由中位线定理可知，AB=2MP cos / ABD山可知/ ABD=3$进而可得/ 2MPD=3°32、由中位

12、线定理可知 DC=2NP由/ BDC=70可知/ BPN=70;进而可得/ NPD=110 进而可得/ MPN=14°33、由中位线定理和已知 AB=CD知MP=NP进而可知MP=NP进而可得/ PMN=/ PNM综合以上因素，可得/ NMPMMNP=20Q到此，此题可解。问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、利用一切机会将已知重新分组与组合，可得新的结论，将新结论与其它 已知相结合可得更新的结论，可能能到达终点。2、有中位线，可寻找相等的线段。例8、如图所示：已知/ xO尸9Q0,点A, B分别在射线Ox Oy上移动，/ OAB 的内角平分线与/ OBA

13、勺外角平分线交于C,求/ ACB的度数。冋题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求/ ACB的度数冋题2、已知是什么？你能复述它吗？答：/ xOy= 90°,点A，B分别在射线Ox Oy上移动，/ OAB勺内角平分线与/ OBA的外角平分线交于C问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：三角形内角和定理，三角形外角定理，角平分线定理。不能直接用定理解出 此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：/ ABO的外角的度数与/ BAC是有关联的，但这中间似乎很乱。清理一下：/ ABO的外角/ABE在度数上等于（90°

14、;+Z OAB，则外角的一半/ EDB应等于-(90°+/ OAB,而/ ABC应等于(900- / OAB,则/ ABC应等于二者之和：21 1 / ABC= ( 90°+ / OAB) + ( 90°- / OAB) = ( 135°-/ OAB)问题6你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法 吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求/ ACB的度数，利用三角形内角和定理，将未知转化成求式子 1800/ CBA-/ BAC的度数。2、根据以

15、上所得，则有/ ACB=180/ CBA-/ BAC=180 ( 1350- - / OAB -2 2 / OAB=45 原题得解。即无论A、B如何运动，只要角平线不改，/ ACB永远等 于 45。o问题8、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：例9、如图， ABC为正三角形，BD是中线，延长BC至 E,使CE=CD求证：DB=DE冋题1、未知是什么？你能复述它吗?答：求证：DB=DE 冋题2、已知是什么？你能复述它吗?答： ABC为正三角形，BD是中线，CE=CD 问题3、以前做过类似的题吗？问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：等腰三角形性质和判定。不能直接

16、用定理证明。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？11答：根据已知中厶ABC为正三角形，BD是中线可得/ DBC=1 / ABC=1 / ACB。22问题6你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：根据已知中CE=CD可得/ CEDM CDE问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求证DB=DE如何能出现？答：在以前学过的定理中等腰三角形的判断，只要/ DBCM CDE即可；2、新问题：与此相关联的角有那些？答：与/ DBC相关联的角是/ ACB而/ ACB又是厶DCE的外角

17、，这似乎可行；3、有新进展吗？答：由三角形外角定理可得/ CED=1 / ACB进而可得/ DBCM CDE原2题得证。冋题8如何书写过程？问题9、解题过程能简化吗？答：尚无更简化方法。问题10、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、证同一三角形中的边相等时，可考虑等腰三角形的判定。2、在同一三角形中有等边就有等角。例10.人。是厶ABC的角平分线，DE, DF分别是 ABDPACD的高，求证：AD 垂直平分EF。冋题1、未知是什么？你能复述它吗？答：AD垂直平分EF冋题2、已知是什么？你能复述它吗？答：AD是厶ABC勺角平分线，DE DF分别是 ABDfA ACD的高问题

18、3、以前做过类似的题吗？答：做过。解过有关角平分线性质和线段垂直平分线性质的证明。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：角平分线定理。垂直平分线定理。不能直接用定理解出此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：AD是厶ABC的角平分线，DEDF分别是 ABDffiAACD的高，联和可得DE=DF 问题6你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 答：似乎不能。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：未知是求AD垂直平分EF，在以前学过的定理中有垂直平分线定理的逆定理， 只要能证明DE=DFW可。原题得证。例11、父亲死后留下1600克朗给三个儿子，遗嘱上说，老大应比老二多分 200 克朗，老二比老三多分100克朗，问他们各分了多少？冋题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求兄弟三人各分多少钱。冋题2、已知是什么？你能复述它吗？答：共有1600克朗，老大比老二多分200克朗，老二比老三多分100克朗。