关于无穷级数求和问题的探讨论文

1、 本 科 生 毕 业 论 文 关于无穷级数求和问题的探讨方先锋院 系： 数 学 系 专 业： 数学与应用数学 班 级： 072 学 号： 710401209 指导教师： 林美琳 职称（或学位）： 讲师 2011年5月原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文（设计），是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学生签名： 年 月 日 指导声明本人指导的 同学的毕业论文（设计）题目大小、

2、难度适当，且符合该同学所学专业的培养目标的要求。本人在指导过程中，通过网上文献搜索及文献比对等方式，对其毕业论文（设计）内容进行了检查，未发现抄袭现象，特此声明。指导教师签名： 年 月 日目 录0 引言21 利用级数和的定义求和法22 裂项相消法求和法33 利用逐项求导与逐项求积分求和法44 转化数列极限的计算问题求和法75 利用解微分方程求和法96 利用傅里叶级数求和法107 利用拉普拉斯（laplace）变换求和法118 结论12致谢12参考文献1213关于无穷级数求和问题的探讨 方先锋（莆田学院数学系 指导教师：林美琳）摘要：本文介绍了无穷级数求和的几种方法，逐项求导或与逐项积分法、有裂

3、项相消法、利用子列的极限法、转化为函数项级数法等等，以及这几种方法在具体例子中的应用，是为了让读者加深熟练地了解掌握与应用无穷级数求和技巧与方法，进一步促进读者对无穷级数求和的学习和理解，为将来更深入的学习很研究数学做好准备。关键字：级数求和;逐项积分;函数项级数;拉普拉斯变换Abstract: This paper describe some methods of summation of infinite series, such as differential and integral method one by one, cancellation method of splitting

4、, using limit of subsequence, methods for function series，as well as application on specific examples of these methods. In order to make readers deepen understanding grasps and application skillfully infinite series summation techniques and methods Further promote the reader to infinite series summa

5、tion of learning and understanding for the future more in-depth studies very study math ready.Keywords: Series summation; integral one by one; Function of series; Laplace transform0 引言级数是研究函数的一个有效的工具，在理论上和实际应用中都处于非常重要地位，这是由于：一方面我们可以借助级数来表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表示为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非

6、初等函数，以及进行近似计算等。而技术求和又是级数工具的重中之重，级数求和不仅是数学分析中常用的有效工具，而且在很多生物人文科学和经济管理学当中的许多问题都用用到无穷级数求和问题这一强有力的工具。因此，无穷级数求和的研究成为了一个很热门的领域。在对无穷级数的收敛性和发散性，即无穷级数的敛散性的时候, 当无穷级数收敛时, 我们该如何去求和, 很多时候是比较复杂的工作。关于无穷级数求和问题这一方面，蔡炯辉、李素峰、张春平、郑春雨等有一定的探讨和研究，并写了关于无穷级数求和这方面一些文章，对我们读者学习与研究起到了一些启发作用，但他们的文章内容不是很多，深度不够，对我们的帮助不大，本文通过作者研究大量

7、的参考文献，对无穷级数求和方法做了比较系统的介绍，希望可以让读者对这一方面的知识有所提升。1 利用级数和的定义法定义：如果级数的部分和数列有极限，即，则称无穷级数收敛，这时极限叫做这级数的和，并写成；如果没有极限，则称无穷级数发散。例1 求级数 的和.分析：我们可以根据已知级数的特点：后一项中的的次数都比前一项的次数多一，这样我们就可以乘以一个，然后作差，最后再取极限。解：记部分和则两式相减得： 则 取极限后易得： .例 2 求级数的和。分析：由已知级数的通项可知：它的后一项的分母是前一项分母的倍，我们把通项的分母先乘以，然后作差，最后取极限。解：由 由得：即于是则即2 裂项相消法求和法主要适

8、用于无穷级数的通项公式为分式且其分母是因式之积的形式的级数。这种方法的难点是把无穷级数的通项公式转化为两个或多个部分和的形式。诸如，这种类型的求和问题都可以用裂项相消的方法求和。例 3 求无穷级数的和.分析：观察到此无穷级数的通项公式为分式且其分母是因式之积的形式的级数，注意到，然后再求和。解 ：因为 所以即例 4 求无穷级数.分析：首先，乍看下题目给出的级数的通项公式并不满足裂项相消法的条件，其实不然，我们可以对该级数进行分母有理化，再化简，得到的结果就可以满足此裂项相消法条件了，对于像这样的题目我们不能一眼看出来，就只能靠平常的多做题，靠经验，凭感觉，当然这要有一定的的扎实的基础。解：先对

9、通项分母中的和式进行有理化，得所以 从而3 利用逐项积分和逐项求导求和法定理1 如果级数的各项在区间上连续，且在上一致收敛于，则级数在上可以逐项积分，即 其中并且上式右端的级数在上也连续。定理2 如果级数在区间上收敛于和，它的各项都具有连续导数，并且级数在上一致收敛，则级数在上也一致收敛，且可逐项求导，即方法：对符合条件的级数，根据逐项积分或逐项求导定理和原理，将给出的级数转化为已知的函数展开式求原级数的和。例 5 求级数的和.分析：观察到如果先对原级数从到积分，然后再变形就可转化为泰勒展开式了，最后求和。解：记，其中。因为所以，当时，发散。 当时，发散因此的收敛域为，我们可以对其逐项积分，得

10、所以 .例 6 求级数的和。分析：其实这类题目都有一个共同点：他们的分母很有规律，是两个连续整数的乘积，很容易我们就可以想到对该级数逐项求导，这样就可以消去分母，使原函数变得简单易于求和。此级数容易证明其收敛半径为。因此,内可以逐项求导和逐项积分任意多次。解：由则对于级数，两边从积到，得 两边再从积到，得 上式左边正是原级数。所以级数和 例 7 设，求.分析：首先我们将积分算出来，然后又注意到是中的值，由我们想到先求导后积分及可以求出。解：积分：.因此设 求导后再求和，得 积分，得 令，则 . 故 4 转化数列极限求和法 数列的敛散性可由其子列来研究,并且有一个重要的结论：引理 1:数列收敛的

11、充分必要条件是的任一子列都收敛,且有相同的极限。特别地,由引理1,可得引理2:数列收敛于的充分必要条件是的两个子列和都收敛于同一极限，此时， 称两个子列和为互补子序列。其实，我们可以把引理2推广到一般的情况：定理1: 数列收敛于的充要条件是的(是某个正整数)个子列,，都收敛于同一极限.证明:当时,结论显然成立;下面证明当p = 3 时结论成立,其他情形类似可证由引理1可知必要性显然,只要证明“充分性”由条件,由收敛于，则对，当时，有由收敛于，则对上述的，当时，有由收敛于，则对上述的，当时，有取，则时，有且且当时，或或所以故证数列收敛于。定理2：若级数的通项（当时），则收敛于的充分必要条件是部分

12、和数列的子数列收敛于。此时。证明：必要性：由引理可知。 充分性：因为收敛于，由收敛的“” 定义可得：对，当时，有，又因为，由收敛的“” 定义可得：则对上述的，当时，有，则当，考察因此，由收敛的“”的定义得：收敛于，再根据引理，可知收敛于。定理3：若级数的通项（当时），则收敛于的充分必要条件是部分和数列的的一个子列（是某个正整数，收敛于。证明：当时显然结论成立，下面我们就来证明时结论也成立，其他的情形的证明都类似。必要性：由引理可知。充分性：收敛于，由收敛的“” 定义可得：则对，当时，有，又因为，由收敛的“” 定义可得：则对上述的，当时，有，则，考察所以，由收敛的“” 的定义可以得到，收敛于，同

13、时由定理可知收敛于。例 8 求交错级数的和.分析：通过写出观察后，我们可先考虑的极限，然后化简就可以利用定理3知其和。解：该级数，通过观察，我们可以考察原级数部分和数列的子列的极限。又由于 其中成为常数，且。对于原级数，并由式可知即，又因为所以，又根据定理3，原级数必收敛，其和为.例 9 计算级数的和。分析：我们发现原级数每三项就会出项一个负的项，我们这样就可以考虑级数的前项的和，从而得出结果。解：级数的前项的和为 所以收敛于，又因为，再根据定理我们可以得出原级数收敛，其和为。 5 利用微分方程求和法此方法的思想是通过观察和研究原级数的导数与原级数之间有没有符合某微分方程，如果有这样的微分方程

14、，我们可以把求和问题转化为求方程问题，使问题简单化。例 10 求无穷级数的和.分析：我们发现此级数它的本身其实和它的导数的和相等，这样我们就可列出微分方程，求其解，也就是无穷级数的和。解：我们很显然就可以知道原幂级数的收敛，所以原幂级数在内处处收敛，这样原幂级数就可以逐项求导，令 又当时，解一阶微分方程得，即= .例 11 求无穷级数的和.分析：先对原级数求导，而后就会注意到，解这个一阶线性微分方程就得出其和。解：该级数收敛域为，设其和为. 则 即这是一阶线性微分方程，则： 由，得， .6 利用傅里叶级数求和法在把函数展开为傅里叶级数的时候，很多情况下会得到比较简单的三角级数展开式，再通过化简

15、求其和。设在区间上连续的函数的傅里叶级数，其中，它在上收敛，它的和函数例 12 求的和.分析：注意到该级数的和函数在展开的傅里叶级数的关系。解：先求函数的傅里叶级数，所以把原函数在上展为傅里叶级数，可以得到： ；令，则例 13 求无穷级数的和。分析：通过先求的傅里叶级数，再根据原级数和此傅里叶级数的关系求和。解：先求级数的傅里叶级数 ， ，有在处连续 ，有 7 利用拉普拉斯（laplace）变换求和法基本定义和有关定理定义 设函数当时有定义，并且积分 （为复参数）在的某一领域内收敛，则有此积分所确定的函数为 公式称为函数的拉普拉斯变换式。记为 称为的拉氏变换，而称为的拉氏逆变换，记为 例 16

16、 求级数之和.分析：这种题目比较简单，也有其他的方法，我们这里就用拉普拉斯变换来求和。解： 由于，将改成得 ，故得.例 17 求级数之和.分析：这里用拉普拉斯变换来求和，明显有其优越性。解：由于，把改成，即有.所以.8 结论前面我所研究的关于无穷级数求和的几种方法都是根据由易到难，由浅入深的原则来介绍的，希望对我所做的研究对读者在解决无穷级数求和这一问题上有一定的帮助，能起到启发作用，当然以上我所研究的只是无穷级数求和问题的一部分，只会了解和应用以上这些求和方法一定的不够的，还有很多方法需要我们大家一起研究探讨。总的来说，在无穷级数求和的过程中，我们要能灵活运用已有的知识，抱有一题多解的思想，

17、善于融会贯通，对不同的题目能很快得出其最简便的就和方法，对一些比较典型的例题和方法用笔记记录下来。以上就是我认为比较典型的例题和方法，希望读者通过阅读之后能提高解决同一类型题目的解题技巧和解题速度。有时，我们在解无穷级数的部分题目时，只用一种方法求无穷级数的和是解不出来的，只用综合多种求和方法才能求和，这就要求我们随机应变。致谢在此论文撰写过程中，要特别感谢我的导师林美琳的指导与督促，同时感谢她的谅解与包容。没有林美琳老师的帮助也就没有今天的这篇论文。求学历程是艰苦的，但又是快乐的。感谢我的铺导员陈梅香老师、林斌老师，谢谢他们在这四年中为我们全班所做的一切，他们不求回报，无私奉献的精神很让我感

18、动，再次向他们表示由衷的感谢。在这四年的学期中结识的各位生活和学习上的挚友让我得到了人生最大的一笔财富。在此，也对他们表示衷心感谢。 谢谢我的父母，没有他们辛勤的付出也就没有我的今天，在这一刻，将最崇高的敬意献给你们！ 本文参考了大量的文献资料，在此，向各学术界的前辈们致敬！参考文献：1 蔡炯辉，胡晓敏.收敛级数求和的初等方法J.玉溪师范学院院报，2006，22（6）:95-98.2 李素峰.关于无穷级数求和问题的探讨J.邢台学院学报，2008，（4）:12-13.3 张春平.无穷级数的求和探讨J.沈阳师范大学学报，2008，（3）：20-21.4 郑春雨.数项级数和的求法例谈J.海南广播电视大学学报，2006，24（3）:96-97.5 胡适耕,张显文.数学分析原理与方法M. 北京:科学出版社，2008:287-288.6 殷承元.数学分析(下册) M.上海:上海财经大学出版社，2005:40