高等数学：1-2 数列的极限

1、第二节第二节 数列的极限数列的极限一、概念的引入一、概念的引入二、数列的定义二、数列的定义三、数列的极限三、数列的极限四、数列极限的性质四、数列极限的性质“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的

2、杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1二、数列的定义二、数列的定义定义定义:按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数

3、轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 .)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn播放播放三、数列的极限三、数列的极限问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题:

4、“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它. 1nxnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有, 0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数N, ,使得对于使得对于Nn 时的

5、一切时的一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限, ,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a, ,记为记为 ,limaxnn 或或).( naxn如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：;. 1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn . 2有关有关与任意给定的正数与任意给定的正数 N., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有

6、限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每一个或任给的每一个或任给的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成成立立 ,0 任给任给所以所以,0 ,n对于一切

7、自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求证求证且且设设证证, 0 任给任给.lima

8、xnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn时恒有时恒有使得当使得当axaxaxnnn 从而有从而有aaxn a1 四、四、数列极限的性质数列极限的性质1、唯一性、唯一性定理定理1 1 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使得使得., 021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时才能成立时才能成立上式仅当上式仅当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.P28 例42、有界性有界

9、性定义定义: 对数列对数列nx, 若存在正数若存在正数M, 使得一切自使得一切自然数然数n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 则称数列则称数列nx有界有界,否则否则, 称为无界称为无界.例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上.有界有界无界无界定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一

10、切自然数 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .例例5.)1(1是发散的是发散的证明数列证明数列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成立成立有有时时使得当使得当则则 axNnNn),21,21(, aaxNnn时时即当即当区间长度为区间长度为1.,1, 1两个数两个数无休止地反复取无休止地反复取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内., ,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx3 3、 收敛数列具有保号性收敛数列具有保号性( (

11、定理定理3)3)若若lim,nnxa 且且0,a ,nN 当当时时有有0nx (0) (0) 证证: 对对 a 0 , 取取,2a ,nN 当当时时nxa2anx 02aa ax2a2a推论推论: 若数列从某项起若数列从某项起0,nx lim,nnxa 且且0a 则则(0) (0). (用反证法证明用反证法证明)ON ,N 则则N ,N 则则4、子数列的收敛性、子数列的收敛性 的子数列（或子列）的子数列（或子列）的一个数列称为原数列的一个数列称为原数列到到中的先后次序，这样得中的先后次序，这样得这些项在原数列这些项在原数列保持保持中任意抽取无限多项并中任意抽取无限多项并定义：在数列定义：在数列

12、nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx .knxxxkxxkknnnnkkk 项，显然，项，显然，中却是第中却是第在原数列在原数列而而项，项，是第是第中，一般项中，一般项在子数列在子数列注意：注意：例如，例如，定理定理4 4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同相同证证 的任一子数列的任一子数列是数列是数列设数列设数列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒有恒有时时使使,NK 取取,时时则当则当Kk .kKNnnnN. axkn.limaxknk 证毕证毕 由定理由定理4可知，若数列可知，若数列 有两个子数列收敛有两个子数列收敛

13、nx于不同的极限，那么数列于不同的极限，那么数列 是发散的。是发散的。 nx例如数列例如数列 。 1( 1)n 一个发散的数列也有收敛的子列。一个发散的数列也有收敛的子列。五、小结五、小结数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限: :极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性、唯一性、保号性、子数列的收敛性有界性、唯一性、保号性、子数列的收敛性.1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概

14、念的引入一、概念的引入1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引

15、入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、

16、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋